AP1 Métodos Determinísticos 2 2019 2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Me´todos Determin´ısticos II
Questa˜o 1 [2,0 pontos]: Encontre a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1, 5) e que e´ paralela
a reta 5x+ 2y − 8 = 0.
Soluc¸a˜o: (Se conseguir encontrar o coeficiente angular vale 1,0pt + a equac¸a˜o da reta vale 1,0pt.)
Como 5x + 2y − 8 = 0 e´ equivalente a y = −52x + 4, segue que o coeficiente angular da reta
procurada deve ser m = −52 , logo
y − 5 = −52(x− 1)⇔ 2y = −5x+ 15.
Questa˜o 2 [2,0 pontos]: Determine se as seguintes func¸o˜es sa˜o par, ı´mpar ou nenhuma delas.
a) a(x) = x3 − x7 b) b(x) = e−x2 .
Soluc¸a˜o: (Cada item vale 1,0pt)
a) Veja que a(−x) = (−x)3 − (−x)7 = −x3 + x7 = −(x2 − x7) = −a(x). Portanto, a(x) e´ ı´mpar.
b) Veja que b(−x) = e−(−x)2 = e−x2 = b(x). Portanto, b(x) e´ uma func¸a˜o par.
Questa˜o 3 [2,0 pontos]: Calcule os limites:
a) lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − 3x+ 2 b) limx→+∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1 .
Soluc¸a˜o: (Cada limite vale 1,0pt)
a) ao avaliar x2+x−2 e x2−3x+2 em x = 1 vemos que 1 e´ raiz destes dois polinoˆmios. Portanto,
podemos escreeˆ-los x2 + x− 2 = (x− 1)(x+ 2) e x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), da´ı
lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − 3x+ 2 = limx→1
(x− 1)(x+ 2)
(x− 1)(x− 2) = limx→1
x+ 2
x− 2 =
3
−1 = −3.
b)
lim
x→+∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1 = limx→+∞
x2
x2
3− 1/x− 2/x2
5 + 4/x+ 1/x2 = limx→+∞
3− 1/x− 2/x2
5 + 4/x+ 1/x2 =
3
5 .
Questa˜o 4 [2,0 pontos]: Resolva as seguintes equac¸o˜es:
a) ln
(√
x+
√
x+ 1
)
= 1 b) ln x+ ln(x− 1) = 1.
Me´todos Determin´ısticos II AP1 2a/2019
Soluc¸a˜o: (Cada item vale 1,0pt)
a)
ln
(√
x+
√
x+ 1
)
= 1⇒ √x = e1−√x+ 1⇒ x = e2−2e√x+ 1+x+1⇒ x =
(
e2 + 1
2e
)2
−1.
b) Veja que
ln x+ ln(x− 1) = 1⇒ ln
(
x2 − x
)
= 1⇒ x2 − x− e = 0
Resolvendo a equac¸a˜o obtemos
x = 12
(
1−√4e+ 1
)
, x = 12
(
1 +
√
4e+ 1
)
Observe ainda que como o dom´ınio do ln sa˜o os reais maiores que zero. Enta˜o somente x =
1
2
(
1 +
√
4e+ 1
)
> 1 pode ser soluc¸a˜o.
Questa˜o 5 [2,0 pontos]: Ache f−1(4) se f(x) = ln(x+ 3).
Soluc¸a˜o: (Nesta questa˜o na˜o existe soluc¸a˜o parcial. O aluno so´ recebera´ 2,0pt se ele encontrar o
valor de x)
Precisamos encontrar x ∈ R tal que f(x) = 4, isto e´,
4 = ln(x+ 3)⇒ e4 = x+ 3⇒ x = e4 − 3.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ