Tabelas_Análise de Estruturas

Prévia do material em texto

IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 
 
 
Departamento de 
Engenharia Civil 
 
 
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabelas de Análise de Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grupo de Análise de Estruturas 
IST, 2002 
 
 
 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 1 
Formulário de Lajes 
 
 
 
Eq. de Lagrange: ∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
4
4
4
2 2
4
42
w
x
w
x y
w
y
q
D
+ + = 
 
Equação de equilíbrio: ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
2
2
2
2
2
2
m
x
m
y
m
x y
qx y xy+ + = − 
 
Relações constitutivas:
,
100
01
01














−
=






xy
y
x
xy
y
x
D
m
m
m
χ
χ
χ
ν
ν
ν
,
100
01
01
)1(
1
2 













+
−
−
−
=






xy
y
x
xy
y
x
m
m
m
D
ν
ν
ν
νχ
χ
χ
 
 
Rigidez de flexão da laje: D Eh= −3 212 1/ ( )ν 
 
Relação curvatura-deslocamento: χ ∂ ∂x w x= − 2 2/ 
χ ∂ ∂y w y= − 2 2/ 
χ ∂ ∂ ∂xy w x y= − 2 / 
 
Esforço transverso: 
v
m
x
m
yx
x x y
x a
= +




=
∂
∂
∂
∂
ay
xyy
y
x
m
y
m
v
=




+=
∂
∂
∂
∂
 
 
Esforço transverso efectivo: 
r v
m
yx x
x y
x a
= +
=
∂
∂ .
 
.
ay
xy
yy
x
m
vr
=
+= ∂
∂
 
 
Condições de fronteira: encastramento, ww = , nn θθ = 
apoio simples, ww = , nn mm = 
bordo livre, nn rr = , nn mm = 
 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 2 
Formulário 
 
 
 
Elemento de barra (viga) 
 
Esforços e deformações independentes 








=
j
j
i
N
M
M
X , 








θ
θ
=
j
j
i
e
u 
 
Matriz de flexibilidade elementar 








=
A
IEI
L
6
21
12
6
F 
Relações deformações-esforços 
uXFu += 
 
 
 
Viga simplesmente apoiada 
 
Deslocamentos transversais )(xy e momentos flectores )(xM 
 
T1.1 
x
y
L
δi δj
 
M x( ) = 0 
y x
L
xi
j i( ) = +
−
δ
δ δ
 
T1.2 
x
y
L
MjMi
 
M x M
M M
L
xi
j i( ) = + − 
( )y x LEI M M x ML x
M M
L
xi j
i i j( ) = + − +
−


6 2
3 2
2
3
 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 3 
T1.3 
x
y
L
a b
P
 
 
Caso particular: a=b=L/2 
4
)
2
( PLLxM == 
EI
PLL
xy
48
)
2
(
3
== 
 
M x
P
b
L
x x a
P a
a
L
x a x L
( ) =
≤ ≤
−



 ≤ ≤



0
 
 
( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]y x
P
LEI
ab b a x bx x a
P
LEI
a b a a b ab a x a b a x ax a x L
( ) =
+ − ≤ ≤
− + + + + − + + ≤ ≤



6 2 0
6 2 4 3 3
3
3 2 2 2 3
 
T1.4 
x
y
L
a b
M
 
Caso particular: momento a meio-vão 



≤≤


+−+−
≤≤


+−
=
LxLxLxxLL
LEI
M
L
xxx
L
LEI
M
xy
2
3
4
11
4
3
6
2
0
46)(
32
23
3
2
 
 
M x
M
L
x x a
M
M
L
x a x L
( ) =
− ≤ ≤
− ≤ ≤



0
 
 
( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]


≤≤++−++++−
≤≤+−−
=
Lxaxxbaxbababaa
LEI
M
axxxabab
LEI
M
xy
32222
322
34253
6
022
6)( 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 4 
T1.5 
x
y
L
p i p j
 
Caso particular: p uniforme 
( )2
2
)( xLxpxM −=



+−= 43
3
x
24
1
x
12
L
x
24
L
EI
p)x(y
EI
pLL
xy
384
5)
2
(
4
==
 
 
( )M x p L p L x p x p p L xi j i i j( ) = +  − + − 3 6 12 162 3 
( )y x EI p L p L x p L p L x p x p p L xi j i j i i j( ) = +



 − +



 + − −




1 8
360
7
360 18 36
1
24
1
120
3 3
3 4 5
 
 
Utilização das tabelas 
Sendo válida a sobreposição é conveniente decompôr as acções (ou os seus 
efeitos) em parcelas mais simples. Seja, por exemplo, a acção representada na 
tabela anterior, Tabela 1.5. 
Esta carga trapezoidal pode ser representada pela recta bmxp += com 
L
pp
m
ij −
= e ipb = . É fácil observar que a mesma recta pode ser obtida pela 
sobreposição de duas rectas particulares (que tomem o valor unitário numa das 
extremidades e o valor nulo na outra) devidamente escaladas: 
 
 
 
 
 
 
 
i
ij px
L
pp
p +
−
= = 
 = ipL
x )1( − + jpL
x
 
Nas tabelas seguintes recorrer-se-á a esta decomposição ou à decomposição 
alternativa em que se separa o termo constante (o b no caso anterior) do termo 
linear ( o mx no caso anterior). 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 5 
Viga simplesmente apoiada sujeita a variações de temperatura 
T1.6 
 
 Variações de Temperatura 
Deve identificar-se claramente a: 
• variação no vão; 
• variação na (altura da) secção. 
Os 3 casos de variação no vão que constam das tabelas são: 
1. variação uniforme no vão o que significa que todas as secções da viga 
têm a mesma variação de temperatura; 
2. variação crescente no vão a qual varia linearmente desde um valor 
zero até ao valor máximo na extremidade oposta; 
3. variação decrescente no vão a qual varia linearmente desde um valor 
máximo até ao valor zero na extremidade oposta. 
Graficamente representam-se estes casos de variação no vão na forma seguinte: 
 (constante) (crescente) (decrescente) 
 
 
A variação na secção deverá, quando necessário e para utilização da tabela, ser 
decomposta em: 
1. variação linear na altura da secção com valores idênticos (mas de sinal 
contrário) para as temperaturas nas fibras inferior e superior; denota-se 
esta variação de temperatura por Lθ a qual se considera positiva 
quando a variação de temperatura na fibra inferior for positiva. 
2. variação uniforme em altura, a qual se denota por Uθ e se considera 
positiva quando a variação de temperatura for positiva. 
Graficamente representam-se estes casos de variação na secção na forma 
seguinte: 
(uniforme) (linear) 
 
 
Exemplo (de variação na secção com variação nula no vão, ou seja, ji θ=θ ) : 
Se a temperatura na fibra inferior é de 5ºC e a temperatura na fibra superior é de 
15ºC então: 
CL º5−=θ e CU º10=θ 
 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 6 
 
Distribuição de temperatura linear na secção, Lθ : 
 
M x( ) = 0 
Caso de variação constante no vão: 
[ ]2)( xLx
h
xy L −
αθ
= 
Caso de variação crescente no vão: 



−
αθ
=
3
3
1
3
1)( x
L
x
h
xy L 
Caso de variação decrescente no vão: 



+−
αθ
=
32
3
1
3
2)( x
L
xx
L
h
xy L 
 
em que α é o coeficiente de dilatação térmica do material e h é a altura da secção 
Distribuição de temperatura uniforme na secção, Uθ : 
0)( =xN 
Caso de variação constante no vão: 
LLu Uαθ=)( 
Caso de variação crescente no vão: 
2
)( LLu Uαθ= 
Caso de variação decrescente no vão: 
2
)( LLu Uαθ= 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 7 
Viga simplesmente apoiada sujeita a cargas axiais 
 
T1.7 
x
y
L
a b
Q
 
 
N x
Q x a
a x L( ) =
≤ ≤
≤ ≤

0
0 
∫= 000 )(1)( x dxxEAxu ε 
 
 
T1.8 
x
y
L
qi qj
 
 
( ) ( )N x q q L q x q q L xi j i i j( ) = + − + − 2 12 2 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 8 
T2 Deformações independentes em barras com cargas de vão- Termos 
correctores 
Carga de vão iθ jθ je 
LEI
bLPab
6
)( +
 
LEI
aLPab
6
)( +
 
 
x
y
L
a b
P
 
Caso particular a=L/2 
EI
PL
16
2
 
Caso particular a=L/2 
EI
PL
16
2
 
 
0 
x
y
L
a b
Q
 
 
0 
 
0 
 
EA
Qa
 
LEI
LbM
6
)3( 22 −
 
LEI
aLM
6
)3( 22 −
 
 
x
y
L
a b
M
 
Caso particular a=L/2 
EI
ML
24
− 
Caso particular a=L/2 
EI
ML
24
 
 
0 



+
360
7
360
81 33 LpLp
EI ji
 
 



+
360
8
360
71 33 LpLp
EI ji
 
 
x
y
L
p i p j
 Caso particular ji pp = 
EI
Lpi
24
3
 
Caso particular ji pp = 
EI
Lpi
24
3
 
 
0 
 
x
y
L
qi qj
 
 
0 
 
0 
 
EA
Lq
EA
Lq ji
6
2
6
22
+
 
Variação de 
temperatura uniforme 
no vão 
 
h
LLαθ
 
 
 
h
LLαθ
 
 
 
LUαθ 
Variação de 
temperatura crescente 
no vão 
h
LL
3
αθ
 
h
LL
3
2αθ
 
LUαθ2
1
 
Variação de 
temperatura 
decrescente no vão 
h
LL
3
2αθ
 
h
LL
3
αθ
 
LUαθ2
1
 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 9 
T.3 Deformadas para deslocamentos impostos 
 
Tipo de barra Imposição de rotação à 
esquerda 
Imposição de deslocamento 
transversal 
bi-encastrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
encastrada-rotulada 
 
 
 
 
 
 
 
encastrada-enc desliz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deformada da barra sujeita apenas a esforço 
normal 
 
 
 
 
NOTA: 
A deformada final da barra é sempre obtida 
considerando a sobreposição dos diversos efeitos 
nomeadamente: 
• a(s) rotação(ões) independentes; 
• o deslocamento transversal relativo entre 
extremidades; 
• o deslocamento axial relativo entre extremidades; 
• o efeito das solicitações de vão. 
 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 10 
 
Forças de fixação devidas a cargas de vão 
na barra bi-encastrada 
 
 AM BM AV BV AN BN 
8
PL
 
8
PL
− 
2
P
 
2
P
 
2
Q
− 
2
Q
− 
2
2
L
Pab
 2
2
L
Pba
− 3
2 )3(
L
baPb +
 
3
2 )3(
L
baPa +
 
L
Qb
− 
L
Qa
− 
4
M
 
4
M
 
L
M
2
3
 
L
M
2
3
− 
0 0 
2
)2(
L
baMb −
 
2
)2(
L
abMa −
 
3
6
L
Mab
 
3
6
L
Mab
−
 
0 0 
12
2pL
 
12
2pL
− 2
pL
 
2
pL
 
2
qL
− 
2
qL
− 
30
2pL
 
20
2pL
− 20
3pL
 
20
7 pL
 
6
qL
− 
3
qL
− 
20
2pL
 
30
2pL
− 20
7 pL
 
20
3pL
 
3
qL
− 
6
qL
− 
0 0 m m− 0 0 
12
mL
 
12
mL
− 
2
m
 
2
m
− 
0 0 
12
mL
− 
12
mL
 
2
m
− 
2
m
 
0 0 
T∆ 
h
EILαθ2
 
h
EILαθ
−
2
 
0 0 EAUαθ EAUαθ− 
T∆ 0 
h
EILαθ
−
2
 
Lh
EILαθ
−
2
 
Lh
EILαθ2
 
2
EAUαθ
 
2
EAUαθ
− 
T∆ 
h
EILαθ2
 
0 
Lh
EILαθ2
 
Lh
EILαθ
−
2
 
2
EAUαθ
 
2
EAUαθ
− 
 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 11 
 
Forças de fixação devidas a cargas de vão 
na barra encastrada-rotulada 
 
 AM Bθ AV BV AN BN 
16
3PL
 
EI
PL
32
2
 16
11P
 
16
5P
 
2
Q
− 
2
Q
− 
22
)(
L
bLPab +
 
EIL
Pba
4
2
 3
22
2
)3(
L
bLPb −
3
2
2
)3(
L
aLPa −
 
L
Qb
− 
L
Qa
− 
8
M
 
EI
ML
16
− 
L
M
8
9
 
L
M
8
9
− 
0 0 
2
22
2
)3(
L
bLM −
 
EIL
abMa
4
)2( −
− 32
)(3
L
bLMa +
 
32
)(3
L
bLMa +
−
0 0 
8
2pL
 
EI
pL
48
3
 8
5pL
 
8
3pL
 
2
qL
− 
2
qL
− 
120
7 2pL
 
EI
pL
80
3
 120
27 pL
 
120
33pL
 
6
qL
− 
3
qL
− 
120
8 2pL
 
EI
pL
120
3
 120
48 pL
 
120
12 pL
 
3
qL
− 
6
qL
− 
0 0 m m− 0 0 
8
mL
 
EI
mL
48
2
 8
5m
 
8
5m
− 
0 0 
8
mL
− 
EI
mL
48
2
− 8
3m
 
8
3m
− 
0 0 
T∆ 
h
EILαθ3
 
h
LL
2
αθ
 
Lh
EILαθ3
 
Lh
EILαθ
−
3
 
EAUαθ EAUαθ− 
T∆ 
h
EILαθ
 
h
LL
2
αθ
 
Lh
EILαθ
 
Lh
EILαθ
− 
2
EAUαθ
 
2
EAUαθ
− 
T∆ 
h
EILαθ2
 
0 
Lh
EILαθ2
 
Lh
EILαθ
−
2
 
2
EAUαθ
 
2
EAUαθ
− 
 
 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 12 
Forças de fixação devidas a cargas de vão 
na barra encastrada-encastrada deslizante 
 
 AM BM AV Bδ AN BN 
8
3PL
 
8
PL
 
P 
EI
PL
24
3
 2
Q
− 
2
Q
− 
L
LbPa
2
)( +
 
L
Pa
2
2
 
P 
EI
baPa
12
)3(2 +
 
L
Qb
− 
L
Qa
− 
2
M
− 
2
M
− 
0 
EI
ML
8
2
− 
0 0 
L
Mb
− 
L
Ma
− 
0 
EI
Mab
2
− 
0 0 
3
2pL
 
6
2pL
 
pL 
EI
pL
24
4
 2
qL
− 
2
qL
− 
24
5 2pL
 
24
3 2pL
 2
pL
 
EI
pL
240
7 4
 6
qL
− 
3
qL
− 
24
3 2pL
 
24
2pL
 2
pL
 
EI
pL
240
3 4
 3
qL
− 
6
qL
− 
2
mL
− 
2
mL
− 
0 
EI
mL
12
3
− 
0 0 
6
mL
− 
3
mL
− 
0 
EI
mL
24
3
− 
0 0 
3
mL
− 
6
mL
− 
0 
EI
mL
24
3
− 
0 0 
T∆ 
h
EILαθ2
 
h
EILαθ
−
2
 
0 0 EAUαθ EAUαθ− 
T∆ 
h
EILαθ
 
h
EILαθ
− 
0 
h
LL
6
2αθ
 
2
EAUαθ
 
2
EAUαθ
− 
T∆ 
h
EILαθ
 
h
EILαθ
− 
0 
h
LL
6
2αθ
 
2
EAUαθ
 
2
EAUαθ
− 
 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 13 
Elemento de barra - deslocamentos prescritos 
 
Deslocamentos independentes a considerar em cada nó 
• rotação; 
• deslocamento transversal. 
A deformada obtém-se por sobreposição das 4 deformadas, correspondentes a cada um dos 4 
deslocamentos considerados: 
∑
=
=
4
1
)()(
i
ii xxy ϕδ 
Efeito de δ1=1, δi=0 ∀ i≠ 1 
x
y
L
1
 
T4.1 
 
( )32221 21)( xLxxLLx +−−=ϕ 
 
Efeito de δ2=1, δi=0 ∀ i≠ 2 
 
x
y
L
1
 
T4.2 
 
( )3222 1)( xLxLx +−−=ϕ 
 
Efeito de δ3=1, δi=0 ∀ i≠ 3 
 
x
y
L
1
 
T4.3 
 
( )32333 231)( xLxLLx +−−=ϕ 
Efeito de δ4=1, δi=0 ∀ i≠ 4 
 
x
y
L
1
 
T4.4 
 
( )3234 231)( xLxLx −−=ϕ 
Existindo deformação axial também se devem considerar os modos de deformação associados aos 
deslocamentos independentes axiais. Contudo, estes modos não alteram a função )(xy , a distância 
da corda à posição deformada em cada ponto, que é o que se designa por deformada. 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 14 
Deformadas e forças de fixação na barra bi-encastrada 
 
T5.1 
x
y L
a b
1VA VB
MA MB
 
( )M EI
L
a bA = − −
2
22 
( )M EI
L
b aB = −
2
22 
( )EI
L
b aA = −
6
3 
( )EI
L
a bB = −
6
3 
y x
L a
L
x
a L
L
x x a
a x
L a
L
x
a L
L
x a x L
( ) =
−


 +
−


 ≤ ≤
− +
−


 +
−


 ≤ ≤




2 3 2
0
2 3 2
2
2
3
3
2
2
3
3
 
T5.2 
 
x
y
L
a b
1
VA VB
MA MB
 
M
EI
LA
= −
6
2 M
EI
LB
= −
6
2 
EI
LA
= −
12
3 
EI
LB
=
12
3 
y x L
x
L
x x a
L
xL
x a x L
( ) =
− + ≤ ≤
− + ≤ ≤



3 2
0
1
3 2
2
2
3
3
2
2
3
3
 
 
 
Forças de fixação para força e momento unitários 
T5.3 
x
y
L
a b
1
VA VB
MA MB
M
L a La a
LA
= −
− + −2 2 3
2
2
 
M
La a
LB
=
− +2 3
2 
L La a
LA
=
− +3 2 3
3
3 2
 
La a
LB
=
−3 22 3
3 
T5.4 
x
y
L
a b
1
VA VB
MA MB
M
L La a
LA
= −
− + −2 2
2
4 3
 
M
La a
LB
=
− +2 3 2
2 
La a
LA
=
− +6 6 2
3 
La a
LB
=
−6 6 2
3 
 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 15 
Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-apoiada 
T6.1 
x
y L
a b
1VA VB
MA
Libertação em B: 
b
L
EIM A 2
3
= b
L
EIVA 3
3
= b
L
EIVB 3
3
−= 
Libertação em A: 
a
L
EIM B 2
3
= a
L
EIVA 3
3
−= a
L
EIVB 3
3
= 
 
Libertação em B: 
y x
L a
L
x
a L
L
x x a
a x
L a
L
x
a L
L
x a x L
( ) =
−


 +
−


 ≤ ≤
− +
−


 +
−


 ≤ ≤





3 3
2 2
0
3 3
2 2
2
2
3
3
2
2
3
3
 
Libertação em A: 



≤≤

 −
+

 −
≤≤−+

 −
+

 −
−
=
axx
L
bL
x
L
Lb
LxabLx
L
bL
x
L
bL
xy
0
22
3
22
33
)(
3
3
3
3
Notar que a (b) é a distância desde a extremidade inicial 
(final) à secção da descontinuidade. 
T6.2 
x
y
L
a b
1
VA VB
MA
 
Libertação em B: 
M
EI
LA
= −
3
2 
EI
LA
= −
3
3 
EI
LB
=
3
3 
Libertação em A: 
2
3
L
EIM B −= 
EI
LA
= −
3
3 
EI
LB
=
3
3 
Libertação em B: 
y x L
x
L
x x a
L
x
L
x a x L
( ) =
− + ≤ ≤
− + ≤ ≤



3
2
1
2
0
1
3
2
1
2
2
2
3
3
2
2
3
3
 
Libertação em A: 



≤≤+−
≤≤+−
=
axx
L
x
L
Lxax
L
x
Lxy
0
2
1
2
3
2
1
2
31
)(
3
3
3
3
 
 
Forças de fixação para força e momento unitários 
T6.3 
x
y
L
a b
1
VA VB
MA
 
M
L a La a
LA
= −
− + −2 3
2
2 2 3
2 
L La a
LA
=
− +2 3
2
3 2 3
3 
La a
LB
=
−3
2
2 3
3 
T6.4 
x
y
L
a b
1
VA VB
MA
 
2
22
2
362
L
aLaLM A
−+−
−= 
La a
LA
=
− +6 3
2
2
3 
La a
LB
=
−6 3
2
2
3 
IST - DECivil 
Grupo de Análise de Estruturas 16 
Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-encastrada deslizante 
 
T7.1 
x
y L
a b
1VA
MA MB
 
M
EI
LA
=
 
M
EI
LB
= −
 A = 0 
 
Libertação em B: 
y x L
x x a
a x
L
x a x L
( ) =
≤ ≤
− + ≤ ≤



1
2
0
1
2
2
2
 
Libertação em A: 



≤≤++−
≤≤+−
=
axx
L
bL
Lxax
L
x
L
xy
0
2
1
2
2
1
2)(
2
2
 
T7.2 
x
y
L
a b
1 VA
MA MB
M A = 0 MB = 0 A = 0 
Libertação em B: 
y x
x a
a x L
( ) = ≤ ≤
≤ ≤

0 0
1 
Libertação em A: 


≤≤
≤≤−
=
Lxa
ax
xy
0
01)( 
 
Forças de fixação para força e momento unitários 
T7.3 
x
y
L
a b
1
VA
MA MB
 
M
La a
LA
= −
− +2
2
2
 
M
a
LB
=
2
2
 
A = 1 
 
T7.4 
x
y
L
a b
1
VA
MA MB
 
L
aLM A
−
= 
L
aM B = 
A = 0