Portfólios de Elementos de Equação Diferencial pra prova

Prévia do material em texto

Portfólios de Elementos de Equação Diferencial
Portfólio 01
1ª. Questão: (3pts = 1pt cada item) – Resolver as integrais. Dica: usar produtos notáveis...
a) 
b) 
c) 
2ª. Questão (3pts = 1pt cada item) – Resolver as seguintes equações diferenciais separáveis, indicando domínio. Dica: deixar cada variável em um membro da igualdade:
 
c) 
3ª. Questão (2pts) – Resolver a equação diferencial de primeira ordem resultante da substituição z = dy/dx no exemplo 2 deste tópico.
Atenção! Resolver para comprovar! 
4ª. Questão (2pts) – Pesquise aplicações (pelo menos duas) de equações diferenciais. Deve-se citar a fonte de sua pesquisa. 
Exemplo 01: Modelo de epidemia. 
Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma doença, dotado das hipóteses:
1. Uma fração x de uma determinada população tem uma doença infecciosa. Assim, uma fração S = (1-x) não a tem. 
2. A variação de x é proporcional a x e S. Em conseqüência destas hipóteses, temos que o modelo é dado pela equação 
 onde r é uma constante positiva. Esta é uma equação diferencial ordinária separável. 
Resolvendo-se a equação:
 
 
 x1 – x = k ert , k = e-c
Aplicando a condição inicial x(0) = xo, obtemos: 
Quando t → ∞, x →1: mais cedo ou mais tarde cada pessoa vai contrair a doença, não importando quantas pessoas estavam infectadas inicialmente, a menos que a condição inicial xo seja igual a 0 (zero), pois neste caso teríamos x = 0 para todo t. 
Felizmente, este modelo é muito simplificado e não leva em consideração, por exemplo, a possibilidade de que as pessoas infectadas sejam isoladas ou que se recuperem da doença. 
Exemplo 2. 
Crescimento populacional: Uma cultura de bactérias, por exemplo, cresce com taxa proporcional ao número de bactérias presentes a cada instante. Denotando por N (t) este número a população deve satisfazer a equação
onde k é uma constante positiva, para indicar crescimento da população. Esta constante depende do tipo da população considerada e deve ser medida empiricamente. A solução para este problema é
N(t) = N0 ekt
N0 a população inicial. Suponha que a observação tenha indicado que, medindo o tempo em horas, a experimentação tenha indicado que, após 1 dia a população inicial terá se multiplicado por 1000 ou seja.
N(24) = 1000N0.
Podemos então determinar o valor de k.
e24k = 1000 → 24k = ln 1000 ≈ 6, 91 → k ≈ 2,88 * 10-1 horas-1 .
Ao final de 10 dias (ou seja, 240 horas) existirão
N(240)= N0 exp (240 * 2,88 * 10 -1) ≈ 1030N0
 bactérias, um número muito superior que o número inicial! Evidentemente nenhuma população pode crescer indefinidamente nesta taxa exponencial o que indica que este nosso primeiro modelo é demasiamente simplista. Um modelo mais preciso para descrever estas populações foi proposto por Verhuslt, um biólogo e matemático que sugeriu a seguinte equação:
 onde a é uma constante indicadora do número de nascimentos e B do número de óbitos. Esta é uma equação separável
 
que pode ser integrada pelo método das frações parciais. Notando que
Temos
.
ou ainda
 
 Escrevendo N(0) = N0 e resolvendo para obter N explicitamente temos
Portfólio 02
Escolha e resolva SOMENTE um dos itens de cada questão.
1. As EDOs abaixo são separáveis, encontre a solução geral:
a) Y’ = 1 + x + y² + xy²
(i)→ Precisamos agrupar e fatorar os termos da EDO 
y´= (1 + x) + y2 (1+x) 
y´= (1 + x) (1+ y2)
(ii) Precisamos identificar f(x) e g(g)
y´= (1 + x). (1+ y2) 
 f(x) g(x)
Temos: 
dx/dy = (1+x) . (1+y) 
(iii) → Precisamos integrar os membros da igualdade, assim temos:
 = dx → arctg y = 
arctg y = x + C
Solução geral: 
y = tg (x +)
b) 
(y+ey)dy = (x-ex)dx
y2/2 + ey = x2/2 + ex + C
Solução geral
Y2 + 2ey = x2 + 2 ex + C
2. Resolva:
a) 
Resolvendo
y´+ 2xy = 0 → y´/ y = -2x
 
 Temos
y = ke-x2 → vejamos
y = p(x) e-x2 → p(x) é polinomial
y = (p(x) e(-x2)´+ 2x(p(x) e(-x2) )= 2xe(-x2)
p´(x)e(-x)2 = 2xe(-x)2
p´(x) = 2x
Integrando
 ,
p(x) = x +C , logo,
y = (x2+C ) e(-x2)
y(1) = (1+C ) e(-1)= 0. Seguindo C=-1 fica:
y = (x2-1 ) e(-x2)
b) 
3. Determine a solução de:
a) Y’ + xy = x³y³
b) Y – y’.cosx = y²cosx(1 – senx)
4. Verifique se a EDO é exata e encontre a solução geral.
a)(y³ – x)y’ = y
Resolução
(y3 – x) dy = ydx → (y3 – x) dy – ydx = 0
(i)
M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0
M (x,y) = -y
N (x,y) = y3 – x
(ii) Precisamos encontrar as derivadas
 , temos 
Para a EDO ser exata, temos um sistema:
 
(iii) Integrar em x.
 
f(x,y) = 
f(x,y) = - y . x + f(y)
Derivar em y e igualar a N(x,y).
 
 Integrando;
f(y) = 
Solução geral:
 
b)(x – 4y)y’ + y – 3x² = 0
5. Verifique se a EDO é: (i) exata, (ii) homogênea, e (iii) encontre a solução geral, sendo ou não exata:
a) X + 4y + 2x.y’ = 0
b)  X² + y² + (2xy + y²)y’ = 0
Portfolio 03
1 – Encontre a solução geral de y’’ – 4y = x².
2 – Encontre a solução geral de y’’ – 4y’ = 12sen(7x).
3 – Encontre a solução geral de 4y’’ – y = e2x.
4 - Encontre a solução geral de y’’ – 2y’ + 5y = xe2x.
Portfolio 04
1 – Resolver o sistema:
2 – Resolver o sistema: