Séries de Maclaurin e Taylor

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Séries de Maclaurin e Taylor 
 
 
 
Sumário 
1. Introdução 4 
1.1 Introdução à Série de Potências 4 
2. Série de Taylor 5 
2.1 Definição 1 5 
2.2 Definição 2 6 
2.3 Expansão de uma função na sua série de Taylor 6 
Conclusão e considerações 7 
Referências 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução 
 
 
1.1 Introdução à Série de Potências 
 
A série de potências é um modo natural de construir funções analíticas e um dos 
instrumentos mais importantes no tratamento dessas funções é primordial para se entender 
a Série de Taylor . Por exemplo : , a série de potência com raio de(x )∑
∞
k=0
ck − a
k 
convergência não nulo define uma função por . O objetivo agora é R f (x )f (x) = ∑
∞
k=0
ck − a
k 
estudar o processo inverso. Ou seja, começando com uma função , nós tentaremos f 
encontrar uma série de potencias que convirjam para ela; isto é, tentando expandir como 
uma séria de potencias. Embora uma expressão em série de potências nem sempre possa 
ser obtida, a maioria das séries de potencias no cálculo pode ser representada como soma 
de serie de potencias convergentes. 
Suponha que uma função pode ser expandida em uma serie de potências, ou seja 
 para .(x )f (x) = ∑
∞
k=0
ck − a
k α − R < x < α + R 
Então pela propriedade da derivada, é diferenciável no intervalo . E f α , )( − R α + R 
temos : para .c (x )f ′ (x) = ∑
∞
k=1
k k − a
k−1 α − R < x < α + R 
Assim não é somente diferenciável, mas a derivada de de pode ela mesma f f ′ f 
ser expandida em uma serie de potências. Logo, podemos novamente derivar . f ′ 
 para .(k )c (x )f ′′ (x) = ∑
∞
k=2
k − 1 k − a
k−2 α − R < x < α + R 
Isso nos permite continuar derivando a função: 
;(k )(k )c (x )f ′′′ (x) = ∑
∞
k=3
k − 1 − 2 k − a
k−3 
 
 
 
;(k )(k )(k )c (x )f ′′′′ (x) = ∑
∞
k=4
k − 1 − 2 − 3 k − a
k−4 
;(k )(k )(k )(k )c (x )f ′′′′′ (x) = ∑
∞
k=5
k − 1 − 2 − 3 − 4 k − a
k−5 
e assim por diante, para O modelo aqui descrito é trivial evidentemente .α − R < x < α + R 
 para (k )c (x )f n (x) = ∑
∞
k=n
k (k )− 1 (k )− 2 … − n + 1 k − a
k−n .α − R < x < α + R 
Algo interessante acontece na fórmula acima quando , todos os termos da série αx = 
infinita se reduzem a zero, exceto o primeiro termo (para o qual ), já que todos os k = n 
termos depois do primeiro contém o fator . Portanto: x )( − α 
;. 3·2·1c n!)cf n (a) = n (n )− 1 (n )− 2 … n = ( n 
Segue- se que ; ​daí os coeficientes da série de potências são dados pela cn = n!f (a)
n 
mesma fórmula que os coeficientes do polinômio de Taylor para .f 
2. Série de Taylor 
Antes de iniciarmos a definição de série de Taylor ou Polinômio de Taylor, devemos 
observar uma definição importante sobre Função infinitamente diferenciável. 
2.1 Definição 1 
Uma função ​definida em um intervalo aberto é dita ser infinitamente diferenciável f τ 
em se tem derivadas de todas as ordens em .τ f f (x) ≥1n τ 
O polinômio de Taylor de grau de uma função em torno de um ponto fixo, x)( 
digamos , é o polinômio que interpola a função e suas derivadas até a ordem noα x)( 
ponto . Ou seja, os valores da função e de suas derivadas, até ordem , no pontoα x)( α
 coincide com os valores do polinômio e suas derivadas de ordens correspondentes neste 
mesmo ponto. É claro que, para que seja possível falar de um polinômio de grau é x)( 
necessário que a função em questão possa ser derivada pelo menos vezes no ponto n 
desejado. 
Três informações são portanto necessárias para especificar um polinômio: a função, 
o ponto e o grau. Frequentemente a função e o ponto estão implícitos na discussão e 
costuma-se indicar apenas o grau na notação para o polinômio, por exemplo , . Da (x)px 
definição do polinômio de Taylor de grau de uma função em torno do ponto é fácil x)( f (x) 
desenvolver a fórmula de construção do polinômio. 
.α α (x ) α (x ) px (x) = 0 + 1 (x )− a + α2 − a
2 + … + n − a n 
Com uma simples prova por indução, podemos observar a semelhança do polinômio 
de Taylor com sua série. 
 
 
 
 = f (a) = pn (a) α0 ⇔ (a)α0 = f 
 = f ′ (a) = p′n (a) α1 ⇔ (a)α1 = f ′ 
 = f ′′ (a) = p′′n (a) α2 2 ⇔ α2 = 2!
f (a)′′ 
 = f ′′′ (a) = p′′′n (a) 3·2α3 ⇔ α3 = 3!
f (a)′′′ 
 .
.. .
.. 
 = f (n) (a) = p(n)n (a) n!αn ⇔ αn = n!
f (a)(n) 
 
2.2 Definição 2 
 
Seja a função infinitamente diferenciável em um intervalo aberto e seja α um f τ 
número em . Então, a série de Taylor para em é a série de potências. τ f α 
 onde ​para k = 0,1,2,3.... ​(1)(x )∑
∞
k=0
ck − a
k ck = k!
f (a)(k)
 
A série de Taylor para em define um outro tipo de série, denominado de f α = 0 
Série de Maclaurin para . Observe que não a há implicação na definição 2 de que a série f 
de Taylor de realmente convirja para . Também observe que a distinção entre o f f 
polinômio de Taylor para em ,simon − é f a 
.(x )px (x) = ∑
∞
k=0
k!
f (a)(k) − a k 
O primeiro é um polinômio de grau no máximo, enquanto o último é uma série infinita. 
De fato, é a soma parcial da série de Taylor. 
 
 ​2.3 Expansão de uma função na sua série de Taylor 
O Teorema de Expansão de uma função na sua série de Taylor é muito importante, 
pois retrata a relação intima entre série e função​. 
Seja uma função infinitamente diferenciável em algum intervalo aberto contendo o f 
número . Suponha que exista um número positivo e uma constante positiva tal que:a f M 
 ​(2)Mf (x)||
(n) |
| ≤ 
se verifica para todos os valores de no intervalo e todos os inteiros positivos . x α , )( − R α + R n 
Então pode ser desenvolvida numa série de Taylor;f 
 
 
 
 ​(3)(x )f (x) = ∑
∞
k=0
k!
f (a)(k) − a k 
se verifica para todos os valores de nos intervalos xα , )( − R α + R R 
 
Conclusão e considerações 
 
De maneira geral a série de Mclaurin e Taylor são utilizadas para convergir uma 
função uniformemente em torno do ponto dado na função. E dessa maneira f (x) x = a 
construir um polinômio, com certo grau ​k, ​tal que este vá ser uma boa aproximação para 
certa função. 
 
Referências 
 
1. https://www.mar.mil.br/dhn/dhn/ead/pages/matematica/unidade10/explica.htm. 
2. Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th 
ed.), Addison Wesley, ​ISBN 0-201-53174-7​ (em ​inglês​).