1_UFRR R1-Tensão e Deformação 2019 2

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Resistência dos 
Materiais I
AULA 1- CONCEITOS DE 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
Prof. Dra. Elaine Albuquerque
Depto de Engenharia Civil
UFRR
Hipóteses na análise elástica de tensões deformações:
1. O material tem comportamento elástico: é quando um corpo 
que sujeito a forças externas, retorna completamente a sua 
forma inicial quando as forças são retiradas (no fim do 
descarregamento ε = 0)
2. O material tem comportamento elástico linear: a relação ente 
tensão e deformação é linear
σ
ε
 
E 
ε 
σ 
carregamento 
descarregamento 
Comportamento 
elástico não-linear
Comportamento 
elástico linear
1- Conceito de Tensão e Deformação
1.1- Introdução
3. O material é homogêneo: todos os pontos do corpo têm
as mesmas propriedades, ou seja, seguem as mesmas
equações
4. O material é isótropo: as propriedades elásticas (E e n)
são iguais em todas as direções.
5. Há continuidade dos deslocamentos: os deslocamentos
de nós vizinhos são iguais, não há falhas internas ou
fraturas
6. Os deslocamentos e as deformações são pequenos
1.1- Introdução (cont...)
• Seja um corpo em equilíbrio sujeito a um conjunto de forças.
• Se separarmos o corpo em duas partes (A e B) através de um corte qualquer,
para que cada parte permaneça em equilíbrio devem aparecer no CG da seção
do corte forças internas ( e ) equivalentes à parte que foi retirada. Assim
cada parte fica em equilíbrio separadamente.
C: CG da seção do corte
C Fx
Fy
Fz
: vetor da força resultante no 
CG, devido à parte que foi 
retirada
Fx, Fy, Fz :componentes 
de F em x, y e z
m
PARTE A 
(em equilíbrio)
F

m

F

m

F

1.2- Revisão de Mecânica das Estruturas 
(Esforços Simples)
C
F
Fx
Fy
Fz
m
PARTE A 
(em equilíbrio)
e são obtidos reduzindo as forças da parte B ao CG da seção do corte 
na parte A.
As forças internas e no CG da seção da parte B são iguais em módulo, 
mas têm sentidos contrários à força e o momento na seção da parte A 
(se as forças externas de A e B se equilibram, as forças internas de A e B 
também devem se equilibrar).
F

m

F

m

F

m

1.2- Revisão de Mecânica das Estruturas 
(Esforços Simples)
 
C 
F

 
Q

 
N

 
Seção S 
São obtidos decompondo a força e o momento que atuam no CG da 
seção S do corte em 2 componentes: uma perpendicular ao plano do corte 
(força e momento ) e outra no plano do corte (força e momento ).
N
 T

Q

M

F

m

DECOMPOSIÇÃO DA FORÇA DECOMPOSIÇÃO DO MOMENTO
1.2- Revisão de Mecânica das Estruturas 
(Esforços Simples)
 
C 
F

 
Q

 
N

 
Seção S 
 
C 
m

 
M

 
T

 
Seção S 
N

T

Q

M
 Esforços simples atuantes na seção S
Pode ser feito reduzindo as forças da parte A para o CG da seção na parte 
B ou reduzindo as forças da parte B para o CG da seção na parte A 
(escolhe-se o lado que der menos trabalho para calcular). 
Cálculo dos esforços em uma seção S qualquer da estrutura:
 
 
S 
 
F1 
F2 
RH 
Rv 
 
 
S 
 
F1 
F2 
Rv 
Pelas forças da 
direita:
Pelas forças da 
esquerda:
1.2- Revisão de Mecânica das Estruturas 
(Esforços Simples)
N
 Esforço Normal
Q

T

M

Esforço Cortante
Momento Torçor
Momento Fletor
1.3- Tensão
Conceito de 
Tensão 
Seja um corpo em equilíbrio sujeito a um conjunto de forças. Se 
fizer um corte paralelo ao eixo yz, aparecerão nos pontos do corte 
forças internas devido à parte que foi retirada. Assim cada parte 
fica em equilíbrio separadamente.
P: ponto qualquer do corte
∆A: área na vizinhança de P, de 
normal paralela a x
∆F: vetor da força resultante em 
∆A, devido à parte que foi 
retirada











z
y
x
F
F
F
F



 ∆Fx, ∆Fy, ∆Fz :componentes de ∆F em x, y e z
1.3- Definição de Tensão
P
∆F
∆Fx
∆Fy
∆Fz
ds
dF
A
F
limt
0A

 


P
∆F
∆Fx
∆Fy
∆Fz
Força média (por unidade de área) 
em ∆A é 
t = vetor de tensão em P 
A
F













xz
xy
x
t



A
F
lim x
0A
xxx 

 

tensão normal em P 
A
F
lim
y
0A
xyxy 


 

tensão cisalhante em P na direção y 
A
F
lim z
0A
xzxz 

 

tensão cisalhante em P na direção z 
1.3- Definição de Tensão (cont.)
σij
1º índice (i) indica o eixo que é perpendicular à face onde atua a tensão
2º índice (j) indica a direção da tensão
Como a tensão reflete a ação que consiste de uma força
distribuída contínua agindo sobre a seção transversal em P, a
unidade de tensão no SI é dada por N/m2, também conhecida
como Pascal (Pa). Como esta unidade é pequena no contexto
dos materiais estruturais, usualmente utilizam-se prefixos
como quilo, mega e giga, ou seja, kPa, MPa e GPa,
respectivamente.
1.3- Definição de Tensão (cont.)
Um ponto P qualquer de um sólido é representado por um cubo de 
dimensões infinitesimais (dx, dy, dz). O estado de tensões em P é 
definido pelas tensões que agem em 3 faces perpendiculares do cubo.
dx
dz
dy
σx
σy
σx
σy
σz
σz
x
Tensor de tensões em P 
 











zzyzx
yzyyx
xzxyx




ou 
 











zzyzx
yzyyx
xzxyx




[σ] é simétrico: 
yzzy   xzzx   yxxy  
1.3- Definição de Tensão (cont.)
Tensor das tensões
σij
1º índice (i) indica o eixo que é perpendicular à face onde atua a tensão
2º índice (j) indica a direção da tensão
zx
zy
dx
dz
dy
σx
σy
σx
σy
σz
σz
x
yx
 Convenção de sinais: 
σ > 0 se produzir tração
σ < 0 se produzir 
compressão
 Se σ de tração for no sentido 
positivo do eixo
0
Se for no sentido do 
eixo
0
Se for no sentido 
contrário do eixo
 Se σ de tração tiver o sentido contrário do eixo:
0
Se for no sentido do eixo
0
Se for no sentido contrário do eixo
1.3- Definição de Tensão (cont.)
Corpo submetido apenas a uma tensão normal 
Barra em equilíbrio sujeita a 2 forças P (de tração ou compressão) 
nas suas extremidades
Se fizer um 
corte em a
P
P
P
F
A = área na seção do corte
F = Força interna que age na 
seção do corte
F > 0 se P é de tração
F < 0 se P é de compressão
Tensão normal no corte
A
P

Obs: todas as outra componentes de tensão são nulas
1.3- Definição de Tensão (cont.)
Exercício 1:
A barra na fig. abaixo tem largura constante de 35 mm
e espessura de 10 mm. Determine a tensão normal
média máxima na barra quando ela é submetida à carga
mostrada.
R=85,7 MPa
Exercício 2: 
A peça fundida mostrada abaixo é feita de aço cujo peso
específico é γ=80 kN/m³. Determine a tensão de compressão
média que age nos pontos A e B.
R P=8,04 kN
σ = 64,0 kN/m²
Exercício 3: 
A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e
BC como mostrada abaixo. Se AB tiver diâmetro de 10
mm e BC de 8 mm, determine a tensão normal média
em cada haste.
R= 7,86 MPa (BC)
R= 8,05 MPa (BA)
Corpo submetido apenas a uma tensão de cisalhamento 
A parte superior do corpo está sendo arrastada por uma força P: o 
corpo está sendo cisalhado.
Se fizer um corte 
separando as 2 
partes
A = área na seção do corte
V = Força interna que age na seção do corte
Tensão cisalhante média no corte
A
P
A
V
m 
1.3- Definição de Tensão(cont.)
Corpo submetido apenas a uma tensão de cisalhamento (cont.) 
Exemplo: O rebite, que une 2 corpos que estão sendo tracionados, é 
cisalhado na interface que une os 2 corpos:
rebite
Se fizer um corte na interface de 
união das 2 chapas
A = área do rebite na seção do corte
V = Força interna que age na seção do corte
Tensão cisalhante média no corte
A
P
A
V
m 
1.3- Definição de Tensão (cont.)
Exercício 1:
O elemento inclinado está submetido a uma força de compressão de 3.000 N. 
Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano 
horizontal definido por EDB.
Exercício 1:
O elemento inclinado está submetido a uma força de compressão de 3.000 N. 
Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano 
horizontal definido por EDB.
  
  
(Resposta) N/mm 20,1
4050
400.2
(Resposta) N/mm 80,1
4025
800.1
2
2


BC
AB


  
(Resposta) N/mm 60,0
4075
800.1 2
méd 
Tensões admissíveis; fator de segurança
Para garantir a segurança de uma estrutura, é necessário escolher uma
tensão admissível que restrinja a carga aplicada, a uma que seja menor que
aquela que a estrutura possa suportar. Grosso modo, é isso que as normas
técnicas recomendam em seus equacionamentos. Há vários motivos para
isso:
1.3- Definição de Tensão (cont.)
- Imprecisão de cálculo;
- Imperfeições oriundas do processo de fabricação;
- Variabilidade nas propriedades mecânicas dos materiais;
- Degradação do material, etc.
Uma das maneiras de especificar a tensão admissível é definir um coeficiente 
de segurança dado por:
As tensões de ruptura e escoamento são determinadas experimentalmente e
o coeficiente de segurança é selecionado baseado no tipo de estrutura e suas
aplicações.
Significado físico da deformação
Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o
tamanho dele. Tais mudanças são denominadas de DEFORMAÇÃO. A
deformação pode ser imperceptível em materiais estruturais, sendo
necessários equipamentos para fazer medições em experimentos
relacionando a deformação com tensões que atuam no interior dos corpos
ou cargas aplicadas.
1.4- Definição de Deformação
Portanto, a deformação é a mudança de forma do sólido. É dada pela
variação dos deslocamentos num sólido.
Contudo, se todos os pontos do sólido têm o mesmo deslocamento, não há
variação dos mesmos e, portanto, não há deformação. Diz-se então, que o
sólido possui movimento de corpo rígido.
 
u0 
v0 
x 
y 
Posição inicial 
Posição deslocada 
Todos os pontos da barra se deslocam 
de u0 na direção x e v0 na direção y
Deformação linear ou específica (ε)
Barra sujeita à força axial P (de tração) na sua extremidade: a barra 
sofre um alongamento ∆L.
∆L
L
L = comprimento inicial da barra
Deformação linear (ε) = alongamento por 
unidade de comprimento
L
L
 (grandeza adimensional, normalmente 
expressa em mm/mm ou em %)
∆L = alongamento da barra
se P é de compressão ε < 0 a barra sofre contração
se P é de tração ε > 0 a barra sofre alongamento
1.4- Definição de Deformação (cont.)
1.4- Deformação Específica
No caso de uma barra com comprimento L e
seção transversal de área constante A, a
deformação específica ε mantém um valor
constante que pode ser calculado por:
Deformação 
específica
1.4 Deformação Específica
Deformação 
Específica sob Carga 
Axial
No caso de uma barra com comprimento L e seção transversal de
área variável a tensão normal σ = P/A também varia ao longo da
barra. Torna-se necessário definir a deformação específica em um
determinado ponto Q , considerando um pequeno elemento de
comprimento inicial Δx. Chamando de Δδ à deformação do elemento
sob a ação do carregamento, vamos definir a deformação específica
normal no ponto Q :
Deformação linear ou específica (ε) (cont.)
Se o corpo se deforma nas direções x, y e z sendo:
x
u
x



y
v
y



z
w
z



Deformação linear na direção x
Deformação linear na direção y
Deformação linear na direção z
 u: deslocamento na direção x
 v: deslocamento na direção y
 w: deslocamento na direção z
1.4- Definição de Deformação (cont.)
Exemplo
Exemplo
Uma estrutura construída a partir de um tubo vazado circular de alumínio suporta uma carga de
compressão de 26 kips. Os diâmetros interior e exterior do tubo são de 4,0 in e 4,5 in,
respectivamente, e o seu comprimento é de 16 in.
O encurtamento do tubo devido à carga é medido como 0,012 in.
Determine a tensão de compressão e a deformação no tubo. (Desconsidere o peso próprio do
tubo, e assumir que a base não deforma sob a atuação a carga.)
1.4 Deformação Transversal
 Se σ de tração tiver o sentido contrário do eixo:
0
Se for no sentido do eixo0
Se for no sentido contrário do eixo
 Se σ de tração for no sentido positivo do eixo
0
Se for no sentido do eixo
0 Se for no sentido contrário do eixo
Deformação angular (ou cisalhante ou tangencial) (g): Mudança de ângulo
ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente perpendiculares
entre si.
Elemento infinitesimal sujeito a tensões cisalhantes:
 Se a deformação angular ocorre no plano yz:
z
v
y
w
yz






 No plano xy:
x
v
y
u
xy






 g no plano xz:
x
w
z
u
xz






 
yz 
γ alteração angular que ocorre nos ângulos inicialmente retos 
(o ângulo BAC que era reto foi reduzido de g)
 
A C 
B’ D’ 
90 
 
deformação ou
A
B
C
D
1.4- Definição de Deformação (cont.)
Uma chapa é deformada até a forma representada pelas linhas tracejadas mostradas na
figura ao lado. Se, nessa forma deformada, as retas horizontais na chapa permanecerem
horizontais e seus comprimentos não mudarem, determine (a) a deformação normal ao
longo do lado AB e (b) a deformação por cisalhamento média da chapa em relação aos
eixos x e y.
Exercício 1:
Solução:
Parte (a)
A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB’ após a deformação. 
Logo, o comprimento da reta é:
Portanto, a deformação normal média para AB é:
O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB.
  mm 018,24832250' 22 AB
    (Resposta) mm/mm 1093,7
250
250018,248' 3
méd





AB
ABAB
AB
Parte (b)
Como observado, o ângulo BAC entre os lados da chapa, em relação aos eixos 
x, y, que antes era 90°, muda para θ’ devido ao deslocamento de B para B’.
Visto que , então é o ângulo mostrado na figura. Assim,
'
2
  xy xy

(Resposta) rad 0121,0
2250
3
tg 1 






 xy