Álgebra linear e vetorial

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1. A figura que segue apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se também que os vértices
do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento também, cada segmento de reta que é
criado com todas estas intersecções pode ser considerado como sendo as extremidades de um vetor. Com base no
exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e assinale a alternativa que apresenta a
sequência CORRETA:
 a) F - V - V - F - V.
 b) V - V - F - F - V.
 c) V - F - V - V - F.
 d) F - V - F - V - F.
2. Dentre os conceitos mais importantes dos espaços vetoriais está o de Base do Espaço. A base de um espaço é um
subespaço de vetores LI (Linearmente Independentes) que geram o espaço vetorial. A respeito deste conceito, dado
o espaço vetorial V = {(x, y, z) de R³, tal que x = 0}, analise quais subespaços de R³ abaixo podem ser bases.
Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
 
( ) [(0,2,2) ; (0,4,1)].
 ( ) [(0,2,2) ; (0,4,4)].
 ( ) [(1,0,1) ; (-1,1,0)].
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F.
 b) F - F - V.
 c) V - V - F.
 d) V - F - V.
3. A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria
através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596
-1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Com base nos pontos A(1, -2) e B(-2, -6), determine o vetor
formado pelo segmento AB e a sua norma respectivamente. Analise as seguintes opções e assinale a alternativa
CORRETA:
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção I está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
4. Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento
contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores
é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado
nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD:
 a) {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}
 b) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
 c) {(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}
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 d) {(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}
5. O tetraedro regular é um sólido platônico representante do elemento fogo, figura geométrica espacial formada por
quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais). É então constituído por 4 vértices,
4 faces e 6 arestas. Para definirmos um tetraedro qualquer por vetores, devemos representá-lo por três vetores, os
quais representam suas arestas principais, sendo as outras três representações congruentes às citadas. Dado que
um tetraedro está definido pelos vetores u = (-3, -4, 2), v = (-1, 2, -2) e w = (2, -3, -1), sobre o volume do tetraedro,
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
 
( ) 5.
 ( ) 6.
 ( ) 7.
 ( ) 8.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - F.
 b) F - F - V - F.
 c) F - F - F - V.
 d) F - V - F - F.
6. Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e analisamos o ângulo formado entre eles, há duas
operações vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado ou simplesmente fazer uma analogia
com relação a estes ângulos e determinar uma denominação apropriada àquela posição. Pensando nisso, determine
qual alternativa apresenta a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (-2, 4, -1) e v = (4, 3, -3).
Analise as sentenças a seguir:
 
I- Os vetores são perpendiculares.
 II- Os vetores formam um ângulo agudo.
 III- Os vetores formam um ângulo obtuso.
 IV- Os vetores são complementares.
 
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a sentença IV está correta.
 b) Somente a sentença III está correta.
 c) Somente a sentença II está correta.
 d) Somente a sentença I está correta.
7. Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento
contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores
é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado
nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LI:
 a) {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}
 b) {(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}
 c) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
 d) {(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}
8. A normalização de um vetor é a simples transformação dele em um vetor unitário caso não seja. Este é um dos
processos utilizados para delimitar vetores que são ortonormais (como nos estudos no Processo de GRAM-
SCHMIDT), ou seja, além de serem ortogonais entre si, possuem comprimento igual a 1. Determine qual dos itens a
seguir apresenta a normalização do vetor v = (4, 1, -8) e assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção I está correta.
 b) Somente a opção III está correta.
 c) Somente a opção II está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
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9. Ao falarmos do Produto Interno, podemos nos confundir, muitas vezes. Por exemplo, em física, em particular nas
aplicações da teoria da Relatividade, o produto interno tem propriedades um pouco diferentes do que as usuais.
Podemos ter equívocos quanto ao produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, que é um caso
especial de produto interno. Portanto, quanto à necessidade de definirmos Produto Interno corretamente, analise as
sentenças a seguir: 
 
I- O produto interno se faz necessário por facilitar e tornar mais coerente, num espaço vetorial qualquer, noções como
comprimento e distância.
 II- O produto interno se faz necessário para a generalização dos conceitos de autovalor e autovetor.
 III- O produto interno se faz necessário porque facilita o cálculo do determinante.
 IV- O produto interno se faz necessário porque determina se a transformação linear é um operador linear.
 
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a sentença III está correta.
 b) Somente a sentença IV está correta.
 c) Somente a sentença II está correta.
 d) Somente a sentença I está correta.
10. Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estas
situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. Contudo, quando falamos de
retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição destas retas não é
uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores, analise as opções a seguir sobre os itens
que possuem ângulos agudos:
 
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2)
 II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1)
 III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3)
 IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4)
 V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3)
 
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As opções I e IV estão corretas.
 b) As opções III e V estão corretas.
 c) As opções I, III e IV estão corretas.
 d) Somente a opção II está correta.