Prova opcional - 2015-1

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Prova Substitutiva de Ca´lculo II - MAT156
03 de julho de 2015.
1) 2) 3) 4) 5) Nota
Nome: Matr´ıcula:
Nome do seu professor:
IMPORTANTE: Justificar de forma clara e organizada as suas respostas.
1a Questa˜o: Calcule as integrais:
1.
∫
arctg x dx.
2.
∫
5x2 − 2x+ 3
(x2 + 1)(x− 1)
dx.
2a Questa˜o: Calcule a a´rea da regia˜o compreendida entre os gra´ficos de y = x2 e y = 2 − x2, com
−2 ≤ x ≤ 1.
3a Questa˜o: Determine apenas as integrais que representam o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o,
em torno da reta x = −2, da regia˜o delimitada por y = x2 e y = 2− x2, para −2 ≤ x ≤ 1, usando o
Me´todo dos Discos e o Me´todo das Cascas. Esboce a regia˜o.
4a Questa˜o: Seja S uma superf´ıcie de equac¸a˜o 4x2 − y2 + 4z2 + 20x+ 2y + 4z + 25 = 0.
(a) Identifique a superf´ıcie.
(b) Deˆ o eixo de rotac¸a˜o e uma curva geratriz desta superf´ıcie de revoluc¸a˜o.
(c) Descreva os trac¸os da superf´ıcie.
5a Questa˜o: Seja f(x, y) =


xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
a) Determine
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0).
b) Verifique se f e´ cont´ınua em (0, 0).
c) Verifique se f e´ diferencia´vel em (0, 0).
6a Questa˜o: Seja a func¸a˜o f(x, y) = x3 + 3x2 − y3 + 3y2.
(a) Determine os pontos cr´ıticos de func¸a˜o f e classifique-os.
(b) Determine os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f na regia˜o
D = {(x, y) ∈ R2| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.