O Raio de convergência

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Cálculo II 
 
 
 
 
O RAIO DE CONVERGÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Raio de Convergência ........................................................................................................... 2 
1.1. Série de potência .......................................................................................................... 2 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 4 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 4 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Inicialmente, vamos fazer uma introdução sobre a série de potências de x, ou 
seja, uma generalização de um polinômio. A expressão de uma função conhecida sob 
uma soma infinita de termos é interessante para integrar funções que não têm 
anderivadas e, então, conseguimos aproximá-las de funções por polinômios. Isso é 
realizado como forma de simplificação de expressões. 
O raio de convergência pode ser denominado como um valor, parara o qual a 
série se comporta como absolutamente convergente para X<R e divergente para x>R. 
Além disso, quando a série tiver comportamento divergente para qualquer valor X, 
então o raio de convergência será infinito. Em contrapartida, para x=0, a série de 
potência será sempre convergente, portanto, para este caso, o raio será 0. 
Nesta aula, introduziremos os conceitos de séries de potências e serão vistas 
as formas de se achar o Raio de convergência. 
Objetivos 
• Entender os conceitos e definições referentes às as Séries de Potência; 
• Entender as condições para encontrarmos o raio de convergência das séries. 
 
1. Raio de Convergência 
1.1. Série de potência 
Antes de iniciarmos nosso estudo de raio de convergência, será necessário 
estudar um pouco sobre a série de potência, que ainda não é o nosso foco de estudo, 
pois teremos uma aula inteirinha para essa linda, ok? 
Inicialmente vamos definir série de potência como, 
( )
0
n
n
n
a x

=

 ou 
( )
0
n
n
n
a x c

=
−
, neste último caso diz-se que a série está centrada 
em c. 
Bom, outra coisa, que será assunto da próxima aula é o que chamamos de 
intervalo de convergência, que é quando uma série converge, ou seja, os valores de 
x
 
que permite que a série seja convergente. 
Sem mais delongas, precisamos saber definitivamente que para que uma série 
de potência do tipo 
( )
0
n
n
n
a x c

=
−
 convirja existem três possibilidades, conforme 
seguem: 
 
3 
 
i. A série irá convergir apenas para 
x c=
, o que quero dizer é que no mínimo 
ela irá convergir para este valor. 
ii. Para todo 
x
 a série vai convergir. 
iii. Existe um número real 
R
(olha quem estamos estudando aí, o raio de 
convergência) para o qual a série converge para 
x c R− 
, do contrário ele 
irá divergir. 
Então, acabamos de falar sobre o belo raio de convergência 
R
. 
Um exemplo básico seria dizer que uma série geométrica apresenta raio de 
convergência igual a 1, ou seja, a série irá convergir para 
x R
,caso contrário, irá 
divergir. 
Mas do que se trata o raio de convergência, você saberia me dizer? 
Simplesmente é a distância entre o centro da série até um determinado limite 
do intervalo de convergência. Satisfeito? 
 
1 
Intervalo de convergência 
 
Conseguiu captar a ideia? 
Inicialmente, você só precisa saber que o raio de convergência está 
diretamente ligado com a existência de um intervalo de convergência. 
Tá, mas como vamos encontrar o raio de convergência? 
Tenho alguns macetes para encontrá-lo, olha só. 
Para uma série 
( )
0
n
n
n
a x c

=
−
, se 1
lim n
n
n
a
L
a→
+
=
 então teremos o raio de 
convergência 
1
R
L
=
, a demonstração disso faremos mais adiante, quando 
estudarmos sobre teste da razão, ok? 
Da mesma forma, podemos encontrar o raio de convergência por meio do teste 
da raiz. Continua valendo o que disse anteriormente, vamos focar em entender como 
encontrar o raio de convergência, ok? 
 
4 
 
Para uma série 
( )
0
n
n
n
a x c

=
−
, se 
lim n n
n
a L
→
=
 então teremos o raio de 
convergência 
1
R
L
=
 
Portanto, temos duas opções para encontrar o raio de convergência. 
 
EXEMPLO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. (UNB, 2017) Determine a natureza da série: 2
2
1n
x
n

=
=
. 
2. (Autora, 2019) Determine se a série 
( ) ( )
2
0
1 4,5
n
n
n x

=
= + +
 converge ou 
diverge. 
Gabarito 
1. A série 2
2
1n
x
n

=
=
pode ser uma série de termos positivos ou uma série alternada, 
pois isto depende do valor atribuído à (x), portanto deve-se fazer um teste que 
possa ser utilizado em série de termos positivos e negativos. 
 
Encontre o raio de convergência da série 
0 !
n
n
Z
n

=

. 
Vamos aplicar o teste da razão e teremos: 
1
!
nc
n
=
 
( ) ( )
1 1 1
lim lim ! lim 0
1 ! 1
n
n n n
n
c
n L
c n n→ → →
+
= = = =
+ +
 
Sabendo que 
1
R
L
=
, então teremos: 
1
0
R = = 
 
R=
 
 
 
5 
 
Então denota-se 2
2n
x
b
n
=
, então: 
( )
1 2
2
2
1
lim lim .
1
1
lim
1
1
n
n
nn n
n
n
b x n
b xn
x
n
x
+
→ →
→
+
=
+
 
 
=  
 +
 
=
 
Portanto, o raio de convergência depende do valor atribuído a (x), neste caso: 
Será convergente se 
( )1 1x−  
e divergente se 
( )1x 
. 
2. Para a série 
( )
0
1
n n
n
nx

=
= −
, pode-se utilizar o teste da razão e teremos: 
( )
11 ( 1)
lim lim
1
lim
1
n
n
nn n
n
n
b n x
b nx
n x
n
x
+
→ →
→
+ +
=
+ 
=  
 
= 
 
Portanto a série converge. 
 
Resumo 
Nesta aula foi realizada uma introdução sobre a série de potências de (x), ou 
seja, uma generalização de um polinômio. A expressão de uma função conhecida sob 
uma soma infinita de termos é interessante para integrar funções que não têm 
anderivadas e então, conseguimos aproximá-las de funções por polinômios. Isso é 
realizado como forma de simplificação de expressões. 
Foi possível determinar o raio de convergência, que pode ser denominado 
como um valor, parara o qual a série se comporta como absolutamente convergente 
para X<R e divergente para x>R. Fizemos por dois critérios, o da razão e o da raíz. Além 
disso, introduzimos os conceitos de séries de potências e serão vistas as formas de se 
achar o Raio de convergência. 
 
 
 
6 
 
Referências bibliográficas 
GOUVÊA, Fernando Q. Séries Infinitas, Apostila, Escola Politécnica da USP e Instituto de Matemática 
da USP, 1983. 
 
FONSECA, Daila Silva Seabra de Moura. Convergência de sequênciase séries numéricas no Cálculo: 
um trabalho visando à corporificação dos conceitos. (Dissertação) Ouro Preto: Universidade Federal 
de Ouro Preto, 2012. 
 
STEWART, James.Cálculo. 7.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.