Calculo_Diferencial_LE06_Derivada_produto_cadeia_para_N2

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Cap´ıtulo 1
Lista de Exerc´ıcios 06 - Regras de
Derivac¸a˜o
1. Um empresa´rio estima que quando x unidades de certo produto sa˜o vendidas, a receita bruta associada ao
produto e´ dada por C = 0, 5x2 + 3x − 2 milhares de reais. Qual e´ a taxa de variac¸a˜o da receita quando 3
unidades esta˜o sendo vendidas? Interprete o resultado obtido.
2. Determine a taxa de variac¸a˜o do volume de uma esfera e´ dado por V =
4pir3
3
em relac¸a˜o ao seu raio r para:
(a) r arbitra´rio
(b) r= 1m
3. Uma mancha de o´leo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variac¸a˜o da a´rea A da superf´ıcie da
mancha em relac¸a˜o aoa raio r do c´ırculo para:
(a) r arbitra´rio
(b) r= 200m
4. O modelo N =
t2 − t+ 1
t2 + 1
mede a percentagem do n´ıvel de oxigeˆnio em uma lagoa; t e´ o tempo em semanas,
apo´s o lanc¸amento de detritos orga˜nicos na lagoa. Ache a taxa de variac¸a˜o de N em relac¸a˜o a t quando:
(a) t=0,5
(b) t=2
(c) t=8
5. Despeja-se areia sobre o cha˜o fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone como diaˆmetro
de base igual a` altura. Quando a altura do monte e´ de 1m, a taxa de variac¸a˜o com que a areia e´ despejada
e´ de 0, 01m3/min. Qual a taxa de variac¸a˜o da altura do monte quando esta for de 3m? Volume do cone
V = pir
2
3 · h
6. No instante t = 0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pe´s de altura. Como a velocidade inicial do
mergulhador e´ de 16 pe´s por segundos, sua func¸a˜o posic¸a˜o e´ H = −16t2 + 16t+ 32:
(a) Em que instante o mergulhador atinge a a´gua?
(b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto?
7. Um bala˜o esfe´rico e´ inflado com ga´s he´lio a` taxa de20m3/min. Com que velocidade o raio do bala˜o esta´
variando no instante em que seu raio e´ de 2 metros?
8. Um pecuarista possui 200 cabec¸as de gado, sendo que cada animal pesa, atualmente, 300 kg. Ate´ agora, ele
gastou R$ 380.000,00 com a criac¸a˜o dos bois e continuara´ gastando R$ 2,00 por dia para manter cada um
deles. Os animais aumentam seu peso a uma taxa de 1,5 kg/dia. O prec¸o de venda, no dia de hoje, e´ de R$
18,00 o quilo, mas sabe-se que diminuira´ R$ 0,05 por dia. Quantos dias o pecuarista deveria aguardar para
vender seu gado a fim de obter o lucro ma´ximo?
9. Um paciente com caˆncer apresenta um tumor com formato esfe´rico. Sabendo-se que o raio do tumor cresce
a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual sera´ a taxa de aumento do volume do tumor no instante em que seu
raio for de 0,5 cm?
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