OBJETIVA 2 - GABARITO

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
 
Disciplina: Matemática Empresarial 
Professora: Magda Leyser 
Créditos: 4 Unidade/EAD:1000 
Horas/Aula totais:68 
Ano/Sem:2019/1 
 
Prova Objetiva virtual 2 – Peso 10 (20% do G2) 
 
Questão 1: Um comerciante do mercado público dispõe de R$1.852,00 para comprar sacos 
de batata de 50kg a um custo de R$68,38 e sacos de cebola de 25Kg a um custo de R$31,58. 
Suponde que ele comprará x sacos de batata e y sacos de cebola. A restrição orçamentária do 
comerciante para essa compra é ___________________. Se ele adquirir 16 sacos de batata ele 
poderá comprar _______ sacos de cebola. A alternativa que completa corretamente as lacunas 
está na: 
Alternativa 1: 68,38𝑥 − 31,58𝑦 = 1852 ; 7. 
Alternativa 2: 68,38𝑥 − 31,58𝑦 = 1852 ; 24. 
Alternativa 3: 68,38𝑥 − 31,58𝑦 − 1852 = 0 ; 6. 
Alternativa 4: 68,38𝑥 + 31,58𝑦 = 1852 ; 24. 
Alternativa 5: 68,38𝑥 + 31,58𝑦 = 1852 ; 20. 
 
Orientações para solução: 
A restrição orçamentária onde x representa o número de sacos de batata então se compro x 
sacas o custo das sacos de batata será 68,38x. 
Da mesma maneira se y representa a quantidade de sacos de cebola então se compro y sacos 
de cebola o custo dos sacos de cebola será 31,58y. 
Portanto o custo genérico da compra a restrição orçamentária para um gasto a partir do valor 
disponível será 68,38𝑥 + 31,58𝑦 = 1852 
Assim, se adquirir para essa situação 16 sacos de cebola, significa que 68,38 × 16 +
31,58𝑦 = 1852 e, portanto o número de sacos de batata será 1094,08 + 31,58𝑦 = 1852 
31,58𝑦 = 1852 − 1094,08 
𝑦 =
1852 − 1094,08
31,58
 
𝑦 = 24 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑏𝑜𝑙𝑎 
 
 
Questão 2: O custo de produção de uma mercadoria em função da quantidade q produzida é 
𝐶(𝑞) = 13𝑞2 + 266𝑞 − 4444. A função demanda para esse produto é 𝑞 = 50 − 𝑝. Onde 𝒑 é 
o preço unitário e 𝒒 a quantidade demandada. A função lucro, 𝐿(𝑞), e lucro médio, 𝐿𝑚𝑒(𝑞), 
são respectivamente: 
Alternativa 1: 𝐿(𝑞) = −14𝑞2 − 216𝑞 + 4444; 𝐿𝑚𝑒(𝑞) = −14𝑞 − 216 +
4444
𝑞
 
Alternativa 2: 𝐿(𝑞) = −14𝑞2 + 316𝑞 − 4444; 𝐿𝑚𝑒(𝑞) = −14𝑞 + 316 −
4444
𝑞
 
Alternativa 3: 𝐿(𝑞) = −14𝑞2 − 216𝑞 + 4444; 𝐿𝑚𝑒(𝑞) = −28𝑞 − 216 
Alternativa 4: 𝐿(𝑞) = 14𝑞2 + 216𝑞 − 4444; 𝐿𝑚𝑒(𝑞) = 14𝑞 + 260 −
4444
𝑞
 
2 
 
Alternativa 5: 𝐿(𝑞) = 14𝑞2 − 260𝑞 − 4444; 𝐿𝑚𝑒(𝑞) = 28𝑞 − 260 
Orientações para solução: 
A função demanda para esse produto é 𝑞 = 50 − 𝑝 e portanto o preço unitário do produto 
é: 
𝑝 = 50 − 𝑞 
 A receita de uma produção q é determinada pela quantidade q vezes o preço p, assim: 
𝑅(𝑞) = 𝑝 × 𝑞 
𝑅(𝑞) = (50 − 𝑞) × 𝑞 
𝑅(𝑞) = (50𝑞 − 𝑞2) 
A função lucro da produção/venda de q unidades é 
𝐿(𝑞) = 𝑅(𝑞) − 𝐶(𝑞) = (50𝑞 − 𝑞2) − (13𝑞2 + 266𝑞 − 4444) 
𝐿(𝑞) = (50𝑞 − 𝑞2) − (13𝑞2 + 266𝑞 − 4444) 
𝐿(𝑞) = 50𝑞 − 𝑞2 − 13𝑞2 − 266𝑞 + 4444 
𝐿(𝑞) = −216𝑞 − 14𝑞2+4444 
𝐿𝑚𝑒(𝑞) =
−216𝑞 − 14𝑞2 + 4444
𝑞
 
𝐿𝑚𝑒(𝑞) = −14𝑞 − 216 +
4444
𝑞
 
 
Questão 3: A derivada de primeira ordem da função 𝑦 = 𝑅(𝑥) = (−5𝑥2 + 6𝑥 − 4)3 é: 
Alternativa 1: 𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 3(−5𝑥2 + 6𝑥 − 4)2 
Alternativa 2: 𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = (−10𝑥2 − 6)2 
Alternativa 3: 𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = (−5𝑥2 + 6𝑥 − 4)2(−10𝑥 + 6) 
Alternativa 4: 𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = (−5𝑥2 + 6𝑥 − 4)2(−30𝑥 + 18) 
Alternativa 5: 𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = (−5𝑥2 + 6𝑥 − 4)(−30𝑥 + 18) 
Orientações para solução: 
A derivada da função 𝑦 = 𝑅(𝑥) = (−3𝑥2 + 6𝑥 − 4)3 pela Regra geral do expoente – 
Função Composta 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 3(−3𝑥2 + 6𝑥 − 4)3−1(−3𝑥2 + 6𝑥 − 4)′ 
Calculando a derivada da expressão (−3𝑥2 + 6𝑥 − 4)′ pela regra da adição/subtração 
de funções 
3 
 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 3(−3𝑥2 + 6𝑥 − 4)2((−3𝑥2)′ + (6𝑥)´ − (4)′) 
 
𝐑𝐞𝐠𝐫𝐚 𝐝𝐨 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 
 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 3(−3𝑥2 + 6𝑥 − 4)2(−3(𝑥2)′ + 6(𝑥)´ − (4)′) 
 
Função Potência 
 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 3(−3𝑥2 + 6𝑥 − 4)2(−3 × 2 × 𝑥2−1 + 6 × 1 × (𝑥1−1) − (4)′) 
Função Constante 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 3(−3𝑥2 + 6𝑥 − 4)2(−6𝑥 + 6 + 0) 
Portanto 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = 3(−6𝑥 + 6)(−3𝑥2 + 6𝑥 − 4)2 
𝑦′ = 𝑅′(𝑥) = (−18𝑥 + 18)(−3𝑥2 + 6𝑥 − 4)2 
 
Questão 4: Considere a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 6𝑥4 − 192𝑥2 + 10 . Avalie as afirmações a 
respeito dos pontos críticos, mínimos e máximos locais e comportamento crescente e 
decrescente dessa função. 
I. Os pontos críticos da função são: -4, 0 e 4. 
II. O ponto de inflexão da função é x=0. 
III. Os valores de x=4 e x=-4 são mínimos locais da função. 
IV. A função é crescente para x>4. 
V. A função é decrescente para todos os valores de x no intervalo]−4, 4 [. 
É correto apenas o que se afirma na alternativa: 
Alternativa 1: I e III. 
Alternativa 2: II e IV. 
Alternativa 3: III e IV. 
 Alternativa 4: I, II e V 
Alternativa 5: I, III e IV. 
Orientações para solução: 
A solução da equação derivada primeira igual a zero determina os pontos críticos da função assim: 
𝑦′ = 𝑓′(𝑥) = 0 
(6𝑥4 − 192𝑥2 + 10)′ = 0 
 
6 × 4 × 𝑥4−1 − 192 × 2 × 𝑥2−1 + 0 = 0 
24𝑥3 − 384𝑥 = 0 
24𝑥(𝑥2 − 16) = 0 
24𝑥(𝑥 − 4)(𝑥 + 4) = 0 
Produto é zero quando um dos fatores é zero, ou seja, 𝑥 = 0, 𝑥 = 4 𝑒 𝑥 = −4. 
Portanto, a afirmação I é verdadeira. 
 
O sinal da 𝑓′(𝑥) = 24𝑥3 − 384𝑥 
Escolhendo um valor na vizinhança de 𝑥 = 0, por exemplo, 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = 1 temos 
4 
 
𝑓′(−1) = 24(−1)3 − 384(−1) = 360 > 0 
𝑓′(1) = 24(1)3 − 384(1) = −360 < 0 
Para o ponto critico x=0 é um máximo local. Portanto a afirmação II é falsa. 
Escolhendo um valor na vizinhança de 𝑥 = −4 por exemplo 𝑥1 = −5 e 𝑥2 = −3 temos 
𝑓′(−5) = 24(−5)3 − 384(−5) = 3 − 1080 < 0 
𝑓′(−3) = 24(−3)3 − 384(−3) = 504 > 0 
Para o ponto critico 𝑥 = −4 é um mínimo local. 
Escolhendo um valor na vizinhança de 𝑥 = 4, por exemplo, 𝑥1 = 3 e 𝑥2 = 5 temos 
𝑓′(3) = 24(3)3 − 384(3) = −504 < 0 
𝑓′(5) = 24(5)3 − 384(5) = 1080 > 0 
Para o ponto critico 𝑥 = 4 é um mínimo local. 
Portanto a afirmação III é verdadeira. 
 
Como já calculamos x>4, escolhemos x=5 que é maior que 4 e verificamos que 
𝑓′(5) = 24(5)3 − 384(5) = 1080 > 0 
Concluímos que a função é crescente para valores maiores que 4. 
Portanto a afirmação IV é verdadeira. 
Como calculamos a derivada nesta região sabemos que entre -4 e 4 existe o ponto crítico x=0 
que é um máximo local, portanto entre -4 e zero a função é crescente e entre zero e 4 a função 
é decrescente. Portanto, a afirmação V é falsa. 
Conclusão são verdadeiras I, III e IV. 
Resumo no gráfico da função 
5 
 
 
 
 
Questão 5: Seja a função lucro 𝑦 = 𝐿(𝑥) = −5𝑥4 + 4320𝑥 + 3560 . O intervalo do 
domínio da função onde a imagem da função tem comportamento crescente é: 
Alternativa 1: ]−∞, 4 [ 
Alternativa 2: ] − ∞, 6 [ 
Alternativa 3: ]4, +∞[ 
Alternativa 4: ]6, +∞[ 
Alternativa 5: ] − ∞, 65 [ 
 
Orientações para solução: 
A solução da equação derivada primeira igual a zero determina os pontos críticos da função assim: 
𝑦′ = 𝐿′(𝑥) = 0 
(−5𝑥4 + 4320𝑥 + 3560)′ = 0 
−5 × 4 × 𝑥4−1 + 4320 × 1 × 𝑥1−1 + 0 = 0 
−20𝑥3 + 4320 = 0 
−20𝑥3 = −4320 
𝑥3 =
−4320
−20
 
𝑥3 = 216 
𝑥 = √216
3
 
𝑥 = 6 
Escolhendo um valor na vizinhança de 𝑥 = 6, por exemplo, 𝑥1 = 5 e 𝑥2 = 7 temos: 
6 
 
𝑓′(5) = −20(5)3 + 4320 = 1820 > 0 Portanto nesta vizinhança a função L(x) é crescente 
𝑓′(7) = −20(7)3 + 4320 = −2540 < 0 Portanto nesta vizinhança a função L(x) é 
decrescente 
Para o ponto critico 𝑥 = 6 é um máximo da função pois a função não tem outro ponto critico 
alem de x=6, então a função é crescente no intervalo x < 6 𝑜𝑢 ]−∞, 6[. 
 
 
 
Alguns alunos resolveram usando a função 𝐿(𝑥) = −5𝑥4 − 4320𝑥+ 3560 
(−5𝑥4 − 4320𝑥 + 3560)′ = 0 
−5 × 4 × 𝑥4−1 − 4320 × 1 × 𝑥1−1 + 0 = 0 
−20𝑥3 − 4320 = 0 
−20𝑥3 = 4320 
𝑥3 =
4320
−20
 
𝑥3 = −216 
𝑥 = √−216
3
 
𝑥 = −6 
Escolhendo um valor na vizinhança de 𝑥 = 6, por exemplo, 𝑥1 = −7 e 𝑥2 = −5 temos: 
7 
 
𝑓′(−7) = −20(−7)3 − 4320 = 2540 > 0 Portanto nesta vizinhança a função L(x) é 
crescente 
𝑓′(−5) = −20(−5)3 − 4320 = −1820 < 0 Portanto nesta vizinhança a função L(x) é 
decrescente 
Para o ponto critico 𝑥 = −6 é um máximo da função, pois a função não tem outro ponto 
critico alem de 𝑥 = −6, então a função é crescente no intervalo x < −6 ou ]−∞, −6[. 
 
 
 
Questão 6: A função demanda de um produto é 𝑦 = 𝐷(𝑝) = 630 − 8𝑝 onde p representa o preço 
unitário para uma demanda de y unidades. Avalie as seguintes afirmações e a relação proposta entre 
elas. 
Afirmação 1: Quando o preço de R$12,00 sofre uma variação de 1% a demanda irá aumentar 
0,1797%. 
PORQUE 
Afirmação 2: 
A função elasticidade do preço da demanda para cada preço p é 𝐸(𝑝) =
−8𝑝
630−8𝑝
 e 𝐸(12) =
−0,1797. 
A respeito dessas afirmações, assinale a opção correta. 
Alternativa 1: As duas afirmações são proposições verdadeiras, e a afirmação 2 é uma 
justificativa correta da afirmação 1. 
Alternativa 2: As duas afirmações são proposições verdadeiras, mas a afirmação 2 não 
é justificativa correta da afirmação 1. 
8 
 
Alternativa 3: A afirmação 1 é uma proposição verdadeira, e a afirmação 2, uma 
proposição falsa. 
Alternativa 4: A afirmação 1 é uma proposição falsa, e a afirmação 2 é uma proposição 
verdadeira. 
Alternativa 5: Tanto a afirmação 1 quanto a afirmação 2 são proposições falsas. 
 
Orientações para solução: 
A derivada 𝑦 = 𝐷′(𝑝) = −8 
𝐸(𝑝) =
𝑝 𝐷′(𝑝)
𝐷(𝑝)
=
𝑝(−8)
630 − 8𝑝
=
−8𝑝
630 − 8𝑝
 
Substituindo 𝑝 = 12 
 
𝐸(12) =
−8 × 12
630 − 8 × 12
=
−96
630 − 96
=
−96
534
= −0,1797 
 
 
Afirmação 1: Quando o preço de R$12,00 sofre uma variação de 1% a demanda irá aumentar 
0,1797%, é falsa pois o correto é diminuir porque 𝐸(12) = −0,1797 é negativa 
 
Afirmação 2: é verdadeira. 
 
Questão 7: A integral indefinida da função ∫(3𝑥 − 10)2𝑑𝑥 é 
 
Alternativa 1: 3𝑥3 − 30𝑥2 + 100𝑥 + 𝑐 
Alternativa 2: 18𝑥2 − 60𝑥 + 𝑐 
Alternativa 3: 6𝑥3 + 100𝑥 + 𝑐 
Alternativa 4: 9𝑥3 − 60𝑥2 + 100𝑥 + 𝑐 
Alternativa 5: 9𝑥3 − 30𝑥2 + 100𝑥 + 𝑐 
Orientações para solução: 
A integral indefinida é o cálculo da primitiva da função sem os limites de integração. 
 
∫(3𝑥 − 10)2𝑑𝑥 = ∫(3𝑥 − 10)(3𝑥 − 10)𝑑𝑥 = ∫(9𝑥2 − 30𝑥 − 30𝑥 + 100)𝑑𝑥 = 
∫(9𝑥2 − 60𝑥 + 100)𝑑𝑥 = ∫ 9𝑥2𝑑𝑥 − ∫ 60𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 100 𝑑𝑥 = 
9 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 − 60 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 100 ∫ 1𝑑𝑥 = 
9 (
𝑥3
3
+ 𝑐1) − 60 (
𝑥2
2
+ 𝑐2) + 100 (
𝑥1
1
+ 𝑐3) = 3𝑥
3 − 30 + 100𝑥 + 𝑐 
 
 
 
Questão 8: A integral definida de limite inferior 2 e limite superior 5, para a função 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 10, representado por ∫ 3𝑥2 − 10 𝑑𝑥
5
2
 é: 
Alternativa 1: −10 
Alternativa 2: 30 
9 
 
Alternativa 3: 51 
Alternativa 4: 78 
Alternativa 5: 87 
Orientações para solução: 
A integral definida é o cálculo da primitiva da função e aplicando o teorema fundamental do calculo 
nos limites de integração indicados. 
A integral indefinida é: 
∫ 3𝑥2 − 10 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥2𝑑𝑥 − ∫ 10 𝑑𝑥 = 
3 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 − 10 ∫ 1 𝑑𝑥 = 
3 (
𝑥3
3
+ 𝑐1) − 10 (
𝑥1
1
+ 𝑐2) = 𝑥
3 − 10𝑥 + 𝑐 
Daí a integral definida nos limites 2 e 5 
 
∫ 3𝑥2 − 10 𝑑𝑥
5
2
= 𝑥3 − 10𝑥 + 𝑐|2
5 = 
(5)3 − 10(5) + 𝑐 − ((2)3 − 10(2) + 𝑐) = 
= 125 − 50 + 𝑐 − (8 − 20 + 𝑐) 
= 75 + 𝑐— 12 + 𝑐 
= 75 + 𝑐 + 12 − 𝑐 
= 87 
 
Questão 9: A área da região limitada pelo vértice do gráfico da parábola descrita pela 
função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10𝑥 + 25 como eixo x e a reta y=10, correspondentes a área da 
região sombreada em vermelho na figura é: 
 
 
10 
 
 
 
Alternativa 1: ∫ 2𝑥 − 10 = 125 𝑢. 𝑎.
10
5
 
Alternativa 2: ∫ 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 41,67 𝑢. 𝑎.
10
5
 
Alternativa 3: ∫ 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 83,33 𝑢. 𝑎.
10
0
 
Alternativa 4: ∫ 𝑥2 − 10𝑥 = 83,33 𝑢. 𝑎.
10
5
 
Alternativa 5: ∫ 𝑥2 − 10𝑥 = 166,67 𝑢. 𝑎.
10
0
 
 
Orientações para solução: 
A área da região sombreada em vermelho é determinada pela região limitada pela parábola e o eixo x 
entre os valores cinco que é o vértice da parábola e dez. 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
10
5
= ∫ (𝑥2 − 10𝑥 + 25)𝑑𝑥
10
5
 
Determinando a integral indefinida 
∫(𝑥2 − 10𝑥 + 25)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 − 10 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 25 ∫ 1 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+ 𝑐 − 10 (
𝑥2
2
+ 𝑐) + 25𝑥 + 𝑐 
𝑥3
3
− 5𝑥2 + 25𝑥 + 𝑐 = 𝐹(𝑥) 
Avaliando a primitiva acima nos limites indicados 5 e 10 temos 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
10
5
= ∫ (𝑥2 − 10𝑥 + 25𝑥)𝑑𝑥
10
5
= 𝐹(10) − 𝐹(5) 
=
103
3
− 5(10)2 + 25(10) + 𝑐 − (
53
3
− 5(5)2 + 25(5) + 𝑐) 
=
1000
3
− 500 + 250 + 𝑐 − (
125
3
− 125 + 125 + 𝑐) 
=
1000
3
− 250 + 𝑐 − (
125
3
+ 𝑐) 
=
1000
3
− 250 + 𝑐 −
125
3
− 𝑐 =
1000 − 750 − 125
3
=
125
3
= 41,67 
 
 
Questão 10: Uma empresa produz x unidades de um produto por mês. O custo marginal 
é 𝑪𝒎𝒈(𝒙) = 𝟎, 𝟕𝟎𝒙 − 𝟐𝟎. O custo fixo dessa produção mensal é de R$13.680,00. Sendo o 
preço de venda desse produto R$6,39. A função lucro dessa produção mensal de x unidades é: 
11 
 
Alternativa 1: 𝒚 = 𝑳(𝒙) = 𝟎, 𝟑𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟔, 𝟑𝟗𝒙 + 𝟏𝟑𝟔𝟖𝟎 
Alternativa 2: 𝒚 = 𝑳(𝒙) = −𝟎, 𝟑𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟑𝟔𝟖𝟎 
Alternativa 3: 𝒚 = 𝑳(𝒙) = −𝟎, 𝟑𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟔, 𝟑𝟗𝒙 − 𝟏𝟑𝟔𝟖𝟎 
Alternativa 4: 𝒚 = 𝑳(𝒙) = 𝟎, 𝟑𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟑, 𝟔𝟏𝒙 − 𝟏𝟑𝟔𝟖𝟎 
Alternativa 5: 𝒚 = 𝑳(𝒙) = −𝟎, 𝟑𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟑, 𝟔𝟏𝒙 − 𝟏𝟑𝟔𝟖𝟎 
Orientações para solução: 
Cmg(x) = 0,70x − 20 
Cf = 13680 
R(x) = 6,39x 
L(x) = R(x) − C(x) 
C(x) = ∫ Cmg(x)dx = ∫ 0,70x − 20 dx = 
C(x) = 0,70 ∫ x dx − 20 ∫ 1 dx = 
C(x) = 0,70
x2
2
+ c − 20x + c = 0,35x2 − 20x + 𝑐 
 
C(0) = 0,35x2 − 20x + c = 0,35(0)2 − 20(0) + 𝑐𝑓 
C(0) = 13680 = 𝑐𝑓 
C(x) = 0,35x2 − 20x + 13680 
L(x) = 6,39x − (0,35x2 − 20x + 13680) 
L(x) = 6,39x − 0,35x2 + 20x − 13680 
L(x) = −0,35x2 + 26,39x − 13680