aula4_distribuição de probabilidade

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02/05/2019
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Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatório: Chamamos de variáveis Aleatório
aquele experimento que, repetido em idênticas condições,
produz resultados diferentes. (lançamento de um dado)
Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de
cada valor de uma variável aleatória.
Para toda distribuição de probabilidades define-se:
função de probabilidade, esperança, 
variância e desvio padrão.
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MODELOS TEÓRICOS DISCRETOS DE 
PROBABILIDADES
Variável aleatória discreta: Seja ܺ uma variável aleatória
definida no espaço amostral ܵ. Diz-se que ܺ é uma variável
aleatória discreta (v.a.d.) se assume um número finito, ou
enumerável, de valores. De outro modo, ܺ é discreta se
existe um conjunto enumerável {ݔଵ , ݔଶ , … , ݔ௡ }, contido em
R .
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Distribuição de Probabilidades
Função de Probabilidade: Seja X uma variável aleatória
discreta. Sejam ݔଵ; ݔଶ; ݔଷ; … seus possíveis valores. A cada
resultado ݔ௜ associaremos um número ݌(ݔ௜) = ܲ(ܺ = ݔ௜),
denominado probabilidade de ݔ௜, tal que:.
•(a) 0 ≤ ܲ ܺ = ݔ௜ ≤ 1 para todos os ݔ௜
•(b) ∑ ܲ(ܺ = ݔ௜) = 1
ஶ
௜ୀଵ
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Distribuição de Probabilidades
Exemplo: Seja X a v.a.d. que indica o total de
resultados iguais a 6, obtidos em cinco lançamentos de
um dado. Então X ={0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}. As
probabilidades são dadas por:
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Distribuição de Probabilidades
Exemplo: Um lote contém 20 unidades de um
componente, sendo quatro defeituosas. São retiradas
quatro peças e X representa o número de unidades
defeituosas entre as quatro retiradas. Neste caso a
variável X assume seus valores no conjunto ܵ =
 {0 , 1 , 2 , 3 , 4}. O espaço de probabilidade P é dado por
ܲ = {0,3756 ; 0,4623 ; 0,1486 ; 0,0132 ; 0,0002}.
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Esperança
• O valor esperado da variável aleatória ܺ (ou 
esperança matemática de X), representado por ܧ(ܺ), é 
uma média ponderada de todos os valores de ܺ. O 
peso, ou ponderação, de cada valor é igual a 
probabilidade de X tomar esse valor. O valor esperado 
é sempre um número real.
ࣆ = ࡱ ࢄ = ෍ ࢞࢏ࡼ(ࢄ = ࢞࢏)
࢑
࢏ୀ૚
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Esperança
• O valor esperado de uma variável aleatória não é 
necessariamente um de seus possíveis valores. 
Exemplo: qual o valor esperado de número Y que 
aparece num dado:
ܧ(ܺ) = 3,5
Mas Y não assume o valor de 3,5.
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Esperança
• Exemplo: Uma seguradora paga R$ 30.000,00 em caso 
de acidente de carro e cobra uma taxa de R$ 1.000,00. 
Sabe-se que as chances de que um carro sofra um acidente 
é de 3%, quanto a seguradora espera ganhar por carro 
segurado?
•Assim, ܧ ܺ = ܴ$100,00
X P(X) X.P(X)
1.000 0,97 970
-29.000 0,03 -870
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Esperança
• Propriedades da Esperança:
i) ܧ(݇) = ݇, sendo k uma constante;
•ii) ܧ ݇. ܺ = ݇. ܧ(ܺ);
•Iii) ܧ ܺ ± ܻ = ܧ ܺ ± ܧ(ܻ)
•iv) ܧ ܺ. ܻ = ܧ ܺ . ܧ(ܻ) desde que X e Y sejam 
independentes.
•Exemplo: Suponha que você ganhe R$ 100,00 multiplicado 
pelo número que aparece quando se joga um dado. Se Y é 
variável aleatória que representa o número do dado, e W 
representa o seu ganho, então W = 100.Y. podemos calcular:
ࡱ ࢃ = ࡱ(૚૙૙. ࢅ)
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VARIÂNCIA
•O conhecimento da média de uma distribuição é importante, 
mas não nos dá ideia do grau de dispersão da probabilidade 
em torno da média. A medida que dá o grau de dispersão (ou 
de concentração) de probabilidade em torno da média é a 
Variância.
࣌૛ = ࡱ ࢞ − ࣆ ૛ = ෍(࢞࢏−ࣆ)²ࡼ(ࢄ = ࢞࢏) 
࢑
࢏ୀ૚
࣌૛ = ࡱ ࢞૛ − ࡱ૛(࢞)
Onde, ܧ ݔଶ = ∑ ݔ௜
ଶܲ(ݔ_݅)௞௜ୀଵ
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VARIÂNCIA
•Exemplo: Vamos agora calcular a variância para a 
distribuição abaixo:
• ܸܣܴ ܺ = ܧ ܺଶ – ܧଶ ܺ =
ଵ଴
଼
− 1 = 0,25
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VARIÂNCIA
•Propriedades:
• Propriedades da variância:
•݅) ܸ (݇) = 0;
•݅݅) ܸ (݇. ܺ) = ݇ଶܸ (ܺ);
•݅ݒ) ܸ (ܺ. ܻ ) = ܸ (ܺ) + ܸ (ܻ ) + 2ܿ݋ݒ(ܺ, ܻ ).
• DEFINIÇÃO - Covariância entre X e Y:
• c݋ݒ(ܺ, ܻ ) = ܧ((ݔ − ܧ(ܺ))(ܻ − ܧ(ܻ )))
•A covariância mede o grau de dependência entre as duas 
variáveis X e Y.
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VARIÂNCIA
•Propriedades:
• OBS: Quanto menor a Variância, menor o grau de dispersão 
de probabilidades em torno da média e vice-versa; quanto 
maior a variância, maior o grau de dispersão da probabilidade 
em torno da média.
• OBS: A variância é uma medida quadrada, e muitas vezes 
torna-se artificial. Por exemplo: altura média de um grupo de 
pessoas é 1,70 m e a variância é 25 cm2. Fica um tanto 
quanto esquisito cm2 de altura. Contornaremos esse 
problema definindo o desvio padrão.
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Desvio Padrão
•É a raiz quadrada da Variância.
࣌ = ࢂ࡭ࡾ ࢄ�
No exemplo anterior: ߪ = 0,25� = 0,5 
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Desvio Padrão
•Exemplo: Os empregados A, B, C e D ganham 1, 2, 2 e 4 
salários mínimos, respectivamente. Retiram-se amostras com 
reposição de dois indivíduos e mede-se o salário médio da 
amostra retirada. Qual a média e desvio padrão do salário 
médio amostral?
(X)
ࡱ ࢄ =
ࢂ࡭ࡾ ࢄ =
ࡰࡼ =
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Desvio Padrão
•Exemplo: Num jogo de dados, Cláudio paga R$20,00 a 
Lúcio e lança 3 dados. Se sair face 1 em um dos dados 
apenas, Cláudio ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em dois 
dados apenas, Cláudio ganha R$ 50,00 e se sair 1 nos três 
dados, Cláudio ganha R$ 80,00. Calcule o lucro médio de 
Cláudio em uma jogada. Calcule o desvio padrão.
ܺଶܲ(ܺ)
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MODELOS TEÓRICOS CONTÍNUOS DE 
PROBABILIDADES
Variável aleatória contínua: Seja X uma variável aleatória
definida no espaço amostral S. Diz-se que X é uma variável
aleatória contínua (v.a.c.) se assume seus valores em um
intervalo de números reais.
Exemplo – Seja t a variável aleatória que representa o
tempo entre duas falhas consecutivas apresentadas por um
equipamento. Neste caso t é uma variável aleatória
contínua, e ܵ = {ݐ ∈ ܴ ; 0 ≥ ݐ}.
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Distribuição de Probabilidades
Função Densidade de Probabilidade: Seja X uma variável
aleatória contínua em um espaço amostral S. Diz-se que f
(x) é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) se:
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Distribuição de Probabilidades
Exemplo: Sejam uma v.a.c. X , 0 ≤ ܺ e a função ݂(ܺ) = ݁–௑.
A função dada é uma f.d.p., pois:
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• Esperança
ࣆ࢞ = ࡱ ࢄ = න ࢄࢌ ࢄ ࢊࢄ
ାஶ
ିஶ
• VARIÂNCIA
࣌૛ = ࡱ ࢞ − ࣆ ૛ = න ࢄ − ࡱ ࢄ ૛ࢌ ࢄ ࢊࢄ
ାஶ
ିஶ
࣌૛ = ࡱ ࢞૛ − ࡱ૛(࢞)
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Distribuição de Probabilidades
Exemplos:
1) Considere a função ݂ ݔ = ݔଶ + 1. Verifique se a função
f(x) é função de densidade de probabilidade.
2) Considere a função ݂ ݔ = ݁ି ௫ିସ . Verifique se a função
f(x) é função de densidade de probabilidade.