números complexos

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APÊNDICE A 
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Apêndice A 
 
A.1 Números Complexos 
 
Número complexo: z = (x, y), x, y ∈ ℜ 
Parte real: x = Re{z} Parte imaginária: y = Im{z} 
Unidade imaginária: j = (0, 1) 
Adição: z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) 
Multiplicação: z1 z2 = (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1) 
Das definições anteriores, pode-se escrever (x, 0) = x e jy = (0, 1)(y, 0) = (0, y) 
Então, z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + jy 
Representação forma retangular: z = x + jy 
Conseqüências das definições: 
1) j2 = -1 
2) z1 + z2 = (x1 + jy1) + (x2 + jy2) = (x1 + x2) + j(y1 + y2) 
3) z1 z2 =(x1 + jy1)(x2 + jy2) = x1x2 + jx1y2 + jx2y1 + j2y1y2 = (x1x2 - y1y2) + j(x1y2 + x2y1) 
4) z1 - z2 = (x1 - x2) + j(y1 - y2) 
5) 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
z x jy ( x jy )( x jy ) x x y y x y x yj
z x jy ( x jy )( x jy ) x y x y
+ + − + −
= = = +
+ + − + +
 
6) Propriedades: comutativa, associativa e distributiva. 
 
A.1.1 Representação geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Representação geométrica de números complexos 
 
A.1.2 Conjugado de um número complexo 
 
O conjugado de um número z x jy= + é definido por z x - jy= . 
Re (eixo real) 
Im (eixo imaginário) 
2 
3 
-2 
-1 
z1 
z2 
Plano 
Complexo 
z1 = (2, 3) = 2 + j3 
z2 = (-2, -1) = -2 - j 
 
APÊNDICE A 
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Propriedades: 
 
1) 1 2 1 2( z z ) z z+ = + 
2) 1 2 1 2( z z ) z z= 
3) 1 1
2 2
z z
z z
 
= 
 
 
4) 2 2z z x y= + 
 
A.1.3 Forma polar de números complexos 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Forma polar de números complexos 
 
A forma retangular de z é dada por x jy+ . Da Figura 2 tem-se 
x r cosθ=
 
y rsenθ=
 
Portanto, a forma polar é dada por: ( )z r cos jsenθ θ= + 
Módulo, valor absoluto ou norma de z: 2 2z x y z z= + = 
Ângulo, argumento ou fase de z: yarg z z arctg
x
θ = = ∠ = 
 
Valor principal do argumento: pi θ pi− < ≤ 
 
Sejam dois números complexos dados na forma polar: 1 1 1 1z r (cos jsen )θ θ= + e 
2 2 2 2z r (cos jsen )θ θ= + . A operação de multiplicação é da forma: 
 
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2z z | z | .| z | . cos jsenθ θ θ θ = + + +  
E a divisão: 
 
( ) ( )1 1 1 2 1 2
2 2
z | z |
cos jsen
z | z | θ θ θ θ = − + −  
 
Im 
Re 
x 
y z 
|z| 
θ 
APÊNDICE A 
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A.1.4 Forma exponencial de números complexos 
 
Da relação de Euler je cos jsenθ θ θ± = ± , a forma polar ( )z | z | cos jsenθ θ= + pode ser escrita 
como 
jz | z | e θ= . 
 
Sejam dois números complexos dados na forma exponencial: 1j1 1z | z | e θ= e 2j2 2z | z | e θ= . A 
operação de multiplicação é dada por: 
 
1 2j( )
1 2 1 2z z | z | .| z | .e θ θ+= 
E a divisão: 
1 2j( )1 1
2 2
z | z |
e
z | z |
θ θ−
=
 
 
A.2 Função Complexa 
 
w = f(z) = u(x, y) + jv(x,y) 
 
Exemplo: w = f(z) = z2 + 3z é definida ∀ z, i.e., seu domínio é C. 
 
A.2.1 Funções analíticas (holomórficas) 
 
Uma função é analítica em um domínio D se ela é definida e derivável em todos os pontos de D. 
 
A.2.2 Função exponencial 
 
Relação de Euler: jye cos y jseny± = ± 
 
z x jy x jy xe e e e e (cos y jseny )+= = = +
 
 
Propriedades: 
1) z zd ( e ) e
dz
=
 
2) 1 2 1 2z z z ze e e+ = 
3) z xe e= 
4) ze y∠ = 
 
A.2.3 Função polinomial 
 
2 n
0 1 2 nf ( z ) c c z c z ... c z= + + + + 
 
onde c0, ..., cn são constantes complexas. 
 
A.2.4 Função racional 
 
N( z )F( z )
D( z )= 
 
onde N(z) e D(z) são funções polinomiais. F(z) é analítica exceto nos pontos onde D(z) = 0.