Conjunto dos números naturais e suas representações

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Matemática 
 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução ..................................................................................................................................... 2 
Objetivo ......................................................................................................................................... 2 
 
1. Conjunto dos Números Naturais ......................................................................................... 2 
1.1. Conjuntos dos números naturais e suas representações ............................................... 2 
1.2. Propriedades dos números naturais ............................................................................... 4 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 6 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Na apostila da aula anterior, Propriedades e Condições de Conjuntos, 
aprendemos sobre as diversas propriedades e condições dos conjuntos. Iniciamos 
conhecendo as propriedades que regem os conjuntos, sendo um total de 10 
propriedades e após conhecemos as condições dos conjuntos que estão 
relacionadas à forma de representação deles. 
No aprendizado de hoje, vamos conhecer o conjunto dos Números Naturais, 
seu conceito, formas de representações e maneiras de construir este conjunto tão 
amplo e importante na Matemática e no dia a dia. Também serão estudadas as 
propriedades de adição e multiplicação que integram este conjunto. 
Objetivo 
• Compreender os conjuntos dos números naturais, seu conceito e suas formas 
de representação e construções; 
• Conhecer as propriedades do conjunto dos números naturais. 
 
1. Conjunto dos Números Naturais 
1.1. Conjuntos dos números naturais e suas representações 
 
Representação de conjuntos 
É muito comum nos perguntarmos quantos alunos há em uma sala de aula, 
quantas capitais têm o seu país, quantas diagonais tem um triângulo e para toda 
resposta, teremos como resultado uma contagem de unidades. 
 
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Tendo por base esta explanação, dizemos que qualquer número resultante de 
uma contagem de unidades, é chamado de número natural. 
O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo “ene” (N), e 
este conjunto é formado pelos números 0, 1 ,2 ,3, 4... e quando queremos indicar o 
conjunto dos números naturais não nulos, indicamos N*. 
Assim temos: 
N = {0, 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9,10,11...} 
N*= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...} 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
 
 
 
 
Em nosso dia a dia, os números naturais são utilizados o tempo todo, seja no 
supermercado, na padaria, nos smartphones, calculadoras e de um modo geral 
estão em praticamente tudo. 
Os números naturais também apresentam formas específicas de construção, 
vamos aprender estas quatro formas de construção, são elas: 
1. Todo número natural tem um sucessor (número que vem depois do 
número dado), considerando também o zero. 
Para exemplificar, vamos considerar que x seja um número natural. Hora, 
então temos que o sucessor de x é x + 1 e seguindo o mesmo raciocínio, o sucessor 
de 0 é 1, o sucessor de 2 é 3, o sucessor de 19 é 20. 
2. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números 
juntos são chamados números consecutivos. 
Aqui temos que 1 e 2 são consecutivos, 3 e 4 são consecutivos, 19 e 20 
também são consecutivos. 
Os números pertencentes ao grupo dos números 
naturais são chamados de indo-arábicos. 
Um breve relato sobre a história consta que no 
século VII, os árabes invadiram a índia, difundindo o 
seu sistema numérico. 
O zero foi criado pelos hindus para suprir a 
deficiência de algo nulo. 
 
 
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3. Vários números formam uma coleção de números naturais 
consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, terceiro é sucessor 
do segundo, o quarto é sucessor do terceiro sucessivamente. 
Como exemplo temos que 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos, 5, 6 e 7 são 
consecutivos, 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 
4. Todo número natural (N) dado, tem um antecessor, exceto o zero. 
Tomando x como número natural diferente de zero, teríamos que seu 
antecessor é x – 1 e seguindo temos que o antecessor de 2 é 1, o antecessor de três é 
2, o antecessor de 20 é 19. 
1.2. Propriedades dos números naturais 
Nos conjuntos dos números naturais, são definidas, duas operações 
fundamentais: a adição e a multiplicação, que apresentam algumas propriedades. 
a) Fechamento da adição: dizemos que a adição dentro do conjunto dos 
números naturais é fechado, pois quando somamos dois números naturais, sempre 
teremos como resultado um número natural. 
 
b) Associativa da adição: na adição de três ou mais parcelas de 
números naturais quaisquer, é possível associar, de quaisquer modos, as parcelas, 
por isso dizemos que a adição no conjunto dos números naturais é associativa. De 
um modo exemplificativo somando o primeiro com o segundo e ao resultado 
somarmos um terceiro, obteremos um resultado igual a soma do primeiro com a 
soma do segundo e o terceiro. 
 
c) Comutativa da adição: dizemos que no conjunto dos números 
naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma. 
Somando a primeira parcela com a segunda, teremos o mesmo resultando somando 
a segunda com a primeira parcela. 
 
a
b
a + b
C= A + +BA + B + C
A + B = B + A
 
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d) Elemento neutro da adição: o zero é o elemento neutro no conjunto 
dos números naturais, pois se somarmos qualquer número natural com zero, o 
resultado sempre será o próprio número natural. 
 
e) Associativa da multiplicação: por este fundamento, podemos 
associar três ou mais fatores, de formas diferentes, ou seja, multiplicando o primeiro 
fator pelo segundo e depois por um terceiro número natural, o mesmo resultado 
será observado se por multiplicamos o terceiro pelo produto do primeiro pelo 
segundo. 
 
f) Comutativa da multiplicação: quando temos dois números naturais 
quaisquer e multiplicamos um pelo outro, a ordem dos fatores não altera o produto, 
ou seja, multiplicando o primeiro pelo segundo ou o segundo pelo primeiro, teremos 
o mesmo resultado. 
 
g) Elemento neutro da multiplicação: para a multiplicação, dentro do 
conjunto dos números naturais, o número 1 é considerado elemento neutro, pois se 
multiplicamos qualquer número natural por 1, o resultado sempre será o próprio 
número natural. 
 
h) Fechamento da multiplicação: assim como na adição, a 
multiplicação dentro do conjunto dos números naturais é fechado, pois quando 
multiplicamos dois números naturais ou mais, o resultado sempre será um número 
natural. 
 
i) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: se 
multiplicarmos um número natural pela soma de dois números naturais, o mesmo 
será se multiplicar o fator por cada uma das parcelas e em seguida adicionar os 
resultados obtidos. 
 
+ =+ =
( ● 5 ) = 603 ● 4 ) ● 5 = 3 ● ( 4
● AA ● B = B
● 1 = 51 ● 5 = 5
a
b
a ● b
+ B●● A + B = A●
 
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Exercícios 
1. (Autor, 2019) Nas afirmativas abaixo coloque V para verdadeiro e F para 
Falso: 
 
a) Sendo n umnúmero natural, o seu sucessor é n + 1. 
b) Se multiplicarmos um número natural por outro número natural 
qualquer, o resultado não será um número natural. 
c) Dado um número natural n, se multiplicarmos por m também natural, 
devemos sempre manter a ordem de multiplicação para manter 
também o resultado. 
d) 26 e 27 são números consecutivos. 
e) O conjunto dos números naturais é representado pela letra Z. 
 
2. (Autor, 2019) Dados os conjuntos A={1,2,3,4,5,6}, B={1/2,5,6} e C={-1,-2,-3,-
4}, responda: 
 
a) Qual destes conjuntos tem apenas números naturais: 
b) A ∩ B formará um conjunto com apenas números naturais? 
c) Quantos elementos do conjunto C são números naturais? 
 
3. (Autor, 2019) O conjunto dos números naturais é um conjunto infinito e 
sendo assim podemos dizer que entre os números 30 e 40 existem 
infinitos números naturais? 
Gabarito 
1. V, F, V, F, V 
2. Seguem as respostas: 
a) O conjunto A tem apenas número naturais. 
b) A ∩ B = {5,6} sim apenas números naturais. 
c)Nenhum elemento do conjunto C é número natural. 
 
3. Entre 30 e 40 temos os números naturais 31,32,33,34,35,36,37,38,39, ou 
seja, são finitos e não infinitos. 
 
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Resumo 
Nesta aula aprendemos que o conjunto dos números naturais é representado 
pelo símbolo “ene” (N), e este conjunto é formado pelos números 0, 1 ,2 ,3 , 4... 
Estudamos também as formas específicas de construção dos números 
naturais. 
 A primeira forma de construção afirma que todo número natural tem um 
sucessor (número que vem depois do número dado), considerado zero. A segunda 
diz que se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são 
chamados números consecutivos. A terceira afirma que vários números formam uma 
coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, 
terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro sucessivamente. E a 
última e quarta forma de construção diz que todo número natural dado n, exceto o 
zero, tem um antecessor. 
Também aprendemos que o conjunto dos números naturais, são definidos 
por duas operações fundamentais: a adição e multiplicação. Cada uma dessas 
definições apresenta propriedades específicas, conforme o quadro abaixo: 
 
Fechamento da adição 
a soma de dois números naturais o 
resultado é um número natural 
Associativa da adição 
na adição de três ou mais parcelas de 
números naturais quaisquer, é possível 
associar, as parcelas de quaisquer 
modos. (a+b +c = a + b+c) 
Comutativa da adição 
a ordem das parcelas não altera a soma, 
ou seja, a + b = b + a 
Elemento neutro da adição na adição o zero é o elemento neutro 
Associativa da multiplicação 
podemos associar três ou mais fatores, 
de formas diferentes. 
Comutativa da multiplicação 
a ordem dos fatores não altera o 
produto 
Elemento neutro da multiplicação 
o número 1 é o elemento neutro da 
multiplicação. 
 
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Autor, 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fechamento da multiplicação 
na multiplicação de dois números 
naturais o produto será um número 
natural 
Distributiva da multiplicação 
relativamente à adição 
Multiplicando um número natural pela 
soma de dois números naturais 
é o mesmo que multiplicar o fator por 
cada parcela e somar os resultados 
 
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Referências bibliográficas 
MURAKAMI, G. Izzi Carlos. Fundamentos da matemática elementar. 3ª ed. Vol. 1. Atual. São Paulo-SP. 1985. 
PAIVA, M. Matemática: volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999 
Uel. Matemática Essencial. Disponível em: www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/naturais/naturais1.htm - 
Acessado em 02/08/2019 às 15h24.