Aula LINHAS DE INFLUENCIA(1)

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Professor: Erwin Ulises Lopez Palechor, MSc. 
Mecânica para Engenharia II 
Professor: Erwin Ulises Lopez Palechor. 
Email: erwin.lopez@ufca.edu.br 
Professor: Erwin Ulises Lopez Palechor, MSc. 
LINHAS DE 
INFLUÊNCIA 
Professor: Erwin Ulises Lopez Palechor, MSc. 
1-) INTRODUÇÃO 
 
As linhas de influência tem uma importante aplicação no projeto de estruturas 
submetidas a carregamentos móveis, tais como: pontes, viadutos, passarelas. 
 
 Nos capítulos anteriores foram desenvolvidas técnicas para analisar 
estruturas isostáticas submetidas a carregamento fixo. Será mostrado agora 
como os esforços solicitantes numa estrutura isostática variam com a posição 
do carregamento móvel. 
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Classificação das ações atuantes nas estruturas 
As ações atuantes nas estruturas, que são as causas que provocam esforços ou 
deformações, podem ser classificadas segundo sua variabilidade no tempo em 
três categorias: 
 
• Ações permanentes 
São as cargas que ocorrem com valores constantes ou de pequena variação em 
torno de sua média, durante praticamente toda a vida da construção. (peso 
próprio da estrutura) 
 
• Ações variáveis 
São as cargas que ocorrem com valores que apresentam variações significativas 
em torno de sua média, durante a vida da construção. São as cargas móveis ou 
acidentais das construções, isto é, cargas que atuam nas construções em função 
de seu uso (pessoas, mobiliário, veículos, materiais diversos, etc.). 
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Ações excepcionais 
 
São as cargas que têm duração extremamente curta e muito baixa probabilidade 
de ocorrência durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas nos 
projetos de determinadas estruturas. Por exemplo, ações excepcionais podem ser 
decorrentes de explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes ou sismos 
excepcionais. 
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Cargas Móveis 
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Linhas de influência : 
Uma linha de influência mostra como um determinado esforço numa seção varia 
quando uma carga concentrada move sobre a estrutura. A linha de influência é 
construída sobre o eixo da estrutura sendo que as abscissas representam as 
posições da carga móvel e as ordenadas representam os respectivos valores do 
esforço considerado. 
Exemplo: Linha de influência de momento fletor para uma seção S 
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𝑀𝑠=a para P=1 , localizada no ponto A 
𝑀𝑠=-b para P=1 , localizada no ponto B 
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Observação: 
As linhas de influência podem ser de reações de apoio, esforços ou deformações. 
Em geral qualquer efeito elástico (superposição de efeitos). 
Obtenção das linhas de influência para as estruturas isostáticas: 
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Procedimento para análise: 
 
1) Obter a linha de influência para o efeito desejado, considerando que as linhas de 
influência são calculadas para uma carga unitária. 
2) Conhecido o trem tipo ou a solicitação da estrutura, obter os efeitos devidos a 
esse trem-tipo. 
E s = P1𝜂1 + P2𝜂2… . . 𝑃𝑖𝜂𝑖 E s = 𝑞
𝑏
𝑎
𝑑𝑧 
E s = (𝑃𝑖𝜂𝑖 + 𝑞Ω) 
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Será mostrado a seguir os procedimentos para se construir uma linha de influência 
de um esforço numa determinada seção. 
Viga Biapoiada: 
Seja uma carga móvel vertical “P” deslocando-se sobre a viga AB mostrada 
abaixo, e x a posição desta carga. 
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Viga Biapoiada: 
Linha de influência das reações de apoio: 
ΣMA = 0 + 
VB.L – P(x-a) = 0 
VB = P(x-a)/L 
A B 
P 𝑉𝐵 =
𝑥 − 𝑎
𝐿
=
𝑥
𝐿
 −
𝑎
𝐿
 
Linha de influência da 
Reação VB. 
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x = a ⇒ VB = 0 (carga sobre o apoio A) 
x = L+a ⇒ VB = (L+a-a)/L ⇒ VB = 1 (carga sobre o apoio B) 
x = 0 ⇒ VB = -a/L (carga na extremidade do balanço esquerdo) 
x = a+L+b ⇒ VB = (a+L+b-a)/L ⇒VB = (L+b)/L > 1 
𝑽𝑩(𝑥) =
𝑥 − 𝑎
𝐿
=
𝑥
𝐿
 −
𝑎
𝐿
 
A ordenada “ys” representa o valor da reação de apoio VB quando a carga 
móvel unitária estiver sobre a seção “s”. Analogamente, obtêm-se VA 
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VA : 
ΣMB = 0 + 
-VA.L +P(L+a-x) = 0 
𝑉𝐴 = 𝑃(𝐿 + 𝑎 − 𝑥)/𝐿 
𝑽𝑨(𝒙) =
𝐿+𝑎−𝑥
𝐿
 
Dando valores para x, obtêm-se: 
x = a ⇒ VA = (L+a-a)/L ⇒ VA = 1 (carga sobre o apoio A) 
x = L+a ⇒ VA = [(L+a-(L+a)]/L ⇒ VA= 0 (carga sobre o apoio B) 
x = 0 ⇒ VA = (L+a)/L > 1 (carga na extremidade do balanço esquerdo) 
x = a+L+b ⇒ VA = [-(a+L+b)+L+a]/L ⇒ VA = -b/L 
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Resumindo, pode-se concluir que as linhas de influência das reações de 
apoio de uma viga biapoiada são lineares e têm valor unitário no apoio 
analisado, e zero no outro apoio, prolongando-se a reta até as 
extremidades dos balanços. 
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Linha de influência da força cortante numa seção entre os apoios: 
A linha de influência de QS pode ser obtida a partir das linhas de influência de 
VA e VB. 
Chamando a carga unitária de P = 1 e as reações de VA e VB , tem-se: 
x<a+c ⇒ Qs = -VB 
x>a+c ⇒ Qs = VA 
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Resultando portanto: 
A ordenada “ys1” representa o valor da força cortante na seção “S”, quando a 
carga unitária estiver na seção “S1”. 
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Linha de influência do momento fletor numa seção entre os apoios 
A linha de influência de Ms pode também ser obtida a partir das linhas de 
influência de VA e VB. 
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Fazendo a carga unitária P = 1 e as respectivas reações A V e B V , tem-se: 
x<a+c ⇒ Ms = VB*d (tração no lado de referência) 
x>a+c ⇒ Ms = VA*c 
Resultando portanto: 
A ordenada “YS1” representa o valor 
do momento fletor na seção “S” 
quando a carga unitária móvel 
estiver sobre a seção “S1”. Neste caso 
os valores de S M não são 
adimensionais pois foram obtidos do 
produto de A V ou B V por uma 
distância “c” ou “d”, tendo portanto 
a dimensão de comprimento. As 
ordenadas positivas podem ser 
marcadas de qualquer lado desde 
que se indique o sinal. 
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Envoltória Limite de Esforços As envoltórias limites de um determinado esforço em 
uma estrutura descrevem para um conjunto de cargas móveis ou acidentais, os 
valores máximos e mínimos deste esforço em cada uma das seções da estrutura, de 
forma análoga a que descreve o diagrama de esforços para um carregamento fixo. 
Assim, o objetivo da Análise Estrutural para o caso de cargas móveis ou acidentais é 
a determinação de envoltórias de máximos e mínimos de momentos fletores, 
esforços cortantes, etc., o que possibilitará o dimensionamento da Cargas Móveis, 
Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 29 estrutura submetida a este tipo de 
solicitação. As envoltórias são, em geral, obtidas por interpolação de valores 
máximos e mínimos, respectivamente, de esforços calculados em determinado 
número de seções transversais ao longo da estrutura. 
Envoltória Limite de Esforços 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS: 
 
• R. C. HIBBELER, Resistência dos Materiais, Pearson, 2010, 7ª Edição. 
• F. P. BERR e E. R. Johnaton, Resistência dos Materiais, Makron Books, 
1995, 3ª Edição. 
• R. C. HIBBELER, Resistência dos Materiais, Pearson, 2010, 7ª Edição. 
• Apostila curso Mecânica dos Sólidos B, Prof. José Carlos Pereira.
OBRIGADO ! 
Até a Próxima Aula 
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