MecanicaI_VetoresForca_21Mai2021

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21/05/2021
1
Mecânica para Engenharia Civil I
Vetores Força
Prof: Evandro Parente Junior
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
1
Escalares e vetores
2
§ As grandezas utilizadas na Mecânica podem ser escalares ou
vetoriais.
§ Grandezas escalares:
• São caracterizadas apenas pela sua magnitude (pode ser
positiva ou negativa).
• Ex:massa, tempo, temperatura, ...
§ Grandezas vetoriais:
• São caracterizadas pela suamagnitude, direção e sentido.
• Ex: deslocamento, velocidade, aceleração, força, ...
2
Vetores
3
§ Representação gráfica:
§ Operações vetoriais:
• Multiplicação por escalar.
• Soma de vetores.
3
Multiplicação por escalar
4
§ Amultiplicação de um vetorA por um escalar α ∈ ℝ gera um novo
vetor B:
• 𝐁 = α𝐀.
• B é paralelo aA (𝐁 ∥ 𝐀).
• 𝐁 = α |𝐀|.
• Sentido de B depende do sinal de α:
4
Soma vetorial
5
§ Asoma de vetores é feita de acordo com a Lei do Paralelogramo:
𝐑 = 𝐀 + 𝐁
O vetor soma corresponde à diagonal do paralelogramo.
5
Soma vetorial
6
§ Asoma de vetores é comutativa:
𝐑 = 𝐀 + 𝐁 𝐑 = 𝐁 + 𝐀
𝐑 = 𝐀 + 𝐁 = 𝐁 + 𝐀
§ Asoma de vetores colineares se reduz a uma soma algébrica:
𝑅 = 𝐴 + 𝐵
6
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Subtração de vetores
7
𝐃
𝐃 = 𝐀 − 𝐁 = 𝐀 + (−𝐁)
A subtração de vetores não é comutativa: 𝐀 − 𝐁 ≠ 𝐁 − 𝐀
7
Força resultante
8
§ Aforça resultante de duas forças é a soma vetorial destas forças:
𝐅! = 𝐅" + 𝐅#
A menos que as forças sejam colineares, é necessário usar 
a Lei do Paralelogramo para determinar a resultante.
8
Decomposição de forças
9
§ Um força qualquer pode ser decompostas em duas direções não
paralelas utilizando a Lei do Paralelogramo:
Este processo é bem mais simples quando as direções 
escolhidas são perpendiculares entre si.
𝐅 = 𝐅$ + 𝐅%
9
Lei dos senos e dos cossenos
10
§ Como as componentes e a resultante formam um triângulo, suas
magnitudes podem ser calculadas utilizando as leis dos senos e dos
cossenos:
𝐴
sin 𝑎
=
𝐵
sin 𝑏
=
𝐶
sin 𝑐
𝐶# = 𝐴# + 𝐵# − 2𝐴𝐵 cos 𝑐
A lei dos cossenos se reduz ao Teorema de Pitágoras quando c = 90º .
10
Soma de várias forças
11
§ A resultante de várias forças pode ser calculada pela aplicação
repetida da Lei do Paralelogramo considerando duas forças de
cada vez:
Este processo é bastante trabalhoso quando existem muitas forças.
𝐅 = 𝐅" + 𝐅# + 𝐅&
𝐅’ = 𝐅" + 𝐅#
𝐅 = 𝐅’ + 𝐅&
11
Componentes cartesianas
12
§ A soma de várias forças é mais simples utilizando componentes
cartesianas:
Projeções ortogonais de 
F sobre os eixos x e y.
𝐅 = 𝐅' + 𝐅(
𝐹' = 𝐹 cos 𝜃
𝐹( = 𝐹 sin 𝜃
𝐹 = |𝐅| = 𝐹(
# + 𝐹'
# tan 𝜃 =
𝐹(
𝐹'
Fx e Fy são positivas quando 
estiverem no sentido positivo 
dos respectivos eixos.
12
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Componentes cartesianas
13
§ A componentes cartesianas podem ser expressas em função dos
vetores unitários i e j:
𝐅 = 𝐅' + 𝐅( = 𝐹' 𝐢 + 𝐹( 𝐣 Fx e Fy são positivas quando 
estiverem no mesmo sentido 
de i e j, respectivamente.
|𝐢| = |𝐣| = 1
13
Resultante de forças coplanares
14
§ A resultante de várias forças pode ser calculada somando as
componentes cartesianas:
𝐅! = 𝐅" + 𝐅# + ⋯+ 𝐅)
𝐅! = (𝐅"'+ 𝐅"() + ⋯+(𝐅)' + 𝐅)()
𝐅! = 𝐹"' 𝐢 + 𝐹"( 𝐣 + ⋯+ (𝐹)' 𝐢 + 𝐹)( 𝐣)
𝐅! = 𝐹"' + ⋯+ 𝐹)' 𝐢 + (𝐹"( + ⋯+ 𝐹)()𝐣
𝐅! = C𝐹' 𝐢 + C𝐹( 𝐣
14
Exemplo 1.1
15
Solução (forças em N):
§ Determine a força resultante atuante no gancho abaixo:
C𝐹' = 300 + 400 cos 30* − 250
4
5
𝐹! = 𝐹'# + 𝐹(# = 567.3 N
C𝐹' = 446.4 N
C𝐹( = 400 sin 30* + 250
3
5
= 350 N
tan 𝜃 =
350
446.4
⟹ 𝜃 = 38.10*
FR
15
Exemplo 1.2
16
§ Determine o ângulo q de forma que a resultante das forças FA e FB seja dirigida 
horizontalmente para a direita. Qual a magnitude da força resultante?
16
Exemplo 1.2
17
Solução (forças em kN):
§ Determine o ângulo q de forma que a resultante das forças FA e FB seja dirigida 
horizontalmente para a direita. Qual a magnitude da força resultante?
C𝐹( = 8 cos 𝜃 − 6 cos 40* = 0
cos 𝜃 = + ,*- ./
0
1
⟹ 𝜃 =	54.93*
𝐹! = C𝐹' = 8 sen 𝜃 + 6 sen 40* = 10.41 kN
FR
17
Exemplo 1.3
18
Solução (forças em kN):
§ Determine a magnitude da força F de maneira que a resultante das três forças 
seja a menor possível. Qual a magnitude da força resultante?
𝐹!' = C𝐹' = 8 − 𝐹 cos 45* − 14 cos 30*
𝐹! = 𝐹!'# + 𝐹!(# ⟹ 𝐹!# = 𝐹!'
# + 𝐹!(#
𝐹!( = C𝐹( = −𝐹 sen 45* + 14 sen 30*
Minimizando FR:
2345
23
= 0 ⟹ 2𝐹!' −cos 45* + 2𝐹!( −sin 45* = 0
18
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4
Exemplo 1.3
19
2345
23
= 0 ⟹ 𝐹!' + 𝐹!( = 0
8 − 𝐹 cos 45* − 14 cos 30* − 𝐹 sen 45* + 14 sen 30* = 0
Substituindo o valor das forças:
Portanto: 𝐹 =
8 − 14 cos 30* + 14 sen 30*
sen 45* + cos 45*
⟹ 𝐹 = 2.033	kN
𝐹!' = 8 − 𝐹 cos 45* − 14 cos 30* =	-5.562	kN
𝐹! = 𝐹!'# + 𝐹!(# = 7.866 kN
𝐹!( = −𝐹 sen 45* + 14 sen 30* = 5.562	kN
Finalmente:
19
Exemplo 1.3
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
F (kN)
7.8
7.9
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Fr
 (k
N
)
20
Vetores no espaço
21
§ Uso de um sistema de eixos cartesianos baseados na Regra da Mão
Direita (RMD):
𝐀 = 𝐀’ + 𝐀6
𝐀 = 𝐀' + 𝐀( + 𝐀6
𝐀’ = 𝐀' + 𝐀(
Componentes do vetor
Aplicações sucessivas da 
Lei do Paralelogramo.
21
Vetores no espaço
22
§ Representação cartesiana com uso dos vetores unitários i, j e k:
𝐀' = 𝐴' 𝐢
𝐀( = 𝐴( 𝐣
𝐀6 = 𝐴6𝐤
𝐀 = 𝐴' 𝐢 + 𝐴( 𝐣 + 𝐴6𝐤
|𝐢| = |𝐣| = |𝐤| = 1
𝐴 = |𝐀| = 𝐴'# + 𝐴(# + 𝐴6#
𝐴# = 𝐴’# + 𝐴6#
𝐴’# = 𝐴'# + 𝐴(#
22
Vetores no espaço
23
§ Direção de um vetor (ângulos diretores):
𝐮7 =
𝐀
|𝐀|
=
𝐴'
𝐴
𝐢 +
𝐴(
𝐴
𝐣 +
𝐴6
𝐴
𝐤
Cossenos diretores
cos 𝛼 =
𝐴'
𝐴
cos 𝛽 =
𝐴(
𝐴
cos 𝛾 =
𝐴6
𝐴
Vetor unitário
𝐮7 = cos 𝛼 𝐢 + cos 𝛽 𝐣 + cos 𝛾 𝐤
cos# 𝛼 + cos# 𝛽 + cos# 𝛾 = 1
23
Vetores no espaço
24
§ A soma de vetores no espaço é feita somando as componentes
cartesianas dos vetores:
𝐑 = 𝐀 + 𝐁
𝐑 = (𝐀'+ 𝐀( + 𝐀6) + (𝐁'+ 𝐁( + 𝐁6)
𝐑 = 𝐴' 𝐢 + 𝐴( 𝐣 + 𝐴6𝐤 + 𝐵' 𝐢 + 𝐵( 𝐣 + 𝐵6𝐤
𝐑 = 𝐴' + 𝐵' 𝐢 + (𝐴( + 𝐵()𝐣 + 𝐴6 + 𝐵6 𝐤
𝐅! = C𝐹' 𝐢 + C𝐹( 𝐣 + C𝐹6 𝐤
Força 
resultante
24
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5
Exemplo 2.1
25
§ Determine o ângulo b e expresse a força como um vetor cartesiano:
25
Exemplo 2.1
26
§ Determine o ângulo b e expresse a força como um vetor cartesiano:
Solução (forças em N):
cos# 𝛼 + cos# 𝛽 + cos# 𝛾 = 1
cos# 60° + cos# 𝛽 + cos# 45° = 1
cos# 𝛽 = 1 −
1
2
#
−
2
2
#
=
1
4
cos 𝛽 = ± "
#
⟹ 𝛽 = 60° ou 𝛽 = 120°
Como a componente y é negativa: 𝛽 = 120°
𝐅 = 60(cos 60° 𝐢 + cos 120° 𝐣 + cos 45° 𝐤) 𝐅 = 30 𝐢 − 30 𝐣 + 42.43 𝐤⟹
26
Exemplo 2.2
27
§ Expresse as forças como vetores cartesianos e determine a força resultante 
atuante na cantoneira abaixo, incluindo sua magnitude e ângulos diretores.
27
Exemplo 2.2
28
Solução (forças em N):
§ Expresse as forças como vetores cartesianos e determine a força resultante 
atuante na cantoneira abaixo, incluindo sua magnitude e ângulos diretores.
𝐹"' = 250 cos 35* sen 25* = 86.55 N
𝐹"( = 250 cos 35* cos 25* = 185.6 N
𝐹"6 = −250 sen 35* = −143.4 N
𝐅" = 86.55 𝐢 + 185.6 𝐣 − 143.4 𝐤
𝐅# = 400 cos 120* 𝐢 + cos 45* 𝐣 + cos 60* 𝐤
𝐅# = −200 𝐢 + 282.8 𝐣 + 200 𝐤
F1cos(35o)
F1sin(35o)
28
Exemplo 2.2
29
Força resultante:
𝐅! = 𝐅" + 𝐅# = −113.5 𝐢 + 468.4 𝐣 + 56.6 𝐤 ⟹ 𝐹! = 485.3	N
𝐮! =
𝐅!
𝐹!
= −0.2338 𝐢 + 0.9653 𝐣 + 0.1166 𝐤
cos 𝛼 = −0.2338 ⟹ 𝛼 = 103.5*
cos 𝛽 = 0.9653 ⟹ 𝛽 = 15.15*
cos 𝛾 = 0.1166 ⟹ 𝛾 = 83.30*
Vetor unitário:
Ângulos diretores:
29
Vetores posição
30
§ É possível associar um vetor a cada ponto P(x, y, z) do espaço:
𝐫 = 𝐎𝐏 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤 Liga a origem ao ponto P
30
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Vetores diferença ou deslocamento
31
§ Podemos definir um vetor que conecta 2 pontos do espaço:
𝐎𝐁 = 𝐎𝐀 + 𝐫
𝐫 = 𝐀𝐁 = 𝐎𝐁 − 𝐎𝐀 = 𝐁 − 𝐀
𝐫 = 𝐀𝐁 = 𝑥8 − 𝑥7 𝐢 + (𝑦8 − 𝑦7)𝐣 + 𝑧8 − 𝑧7 𝐤
𝐫 = 𝐀𝐁
Vetor que liga A a B
Sempre o final menos o inicial
Importante na solução de problemas 
envolvendo cabos, molas e barras
31Forças dirigidas ao longo de uma linha
32
§ A direção de muitas forças na Mecânica são definidas por dois
pontos ao longo da linha de atuação da força:
𝐅 = 𝐹 𝐮 = 𝐹
𝐫
𝐫
= 𝐹
𝐀𝐁
𝐀𝐁
A
B
A direção de F é definida pelo vetor u, sendo a 
magnitude e o sentido definidos pelo escalar F.
F é positiva quando o sentido da força é de A 
para B.
32
Exemplo 3.1
33
§ Determine a magnitude da força resultante em A.
Solução (forças em N):
𝐴 = 0, 0, 6 𝐶 = (2,	3,	0)
𝐅8 = 840
𝐀𝐁
𝐀𝐁
= 360 𝐢 − 240 𝐣 − 720 𝐤
𝐵 = 3, −2, 0
AB = 3 𝐢 − 2 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐁 = 7 m
𝐅9 = 420
𝐀𝐁
𝐀𝐁
= 120 𝐢 + 180 𝐣 − 360 𝐤
AC = 2 𝐢 + 3 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐂 = 7 m
33
Exemplo 3.1
34
𝐅8 = 360 𝐢 − 240 𝐣 − 720 𝐤
𝐅9 = 120 𝐢 + 180 𝐣 − 360 𝐤
Força resultante:
𝐅! = 𝐅8 + 𝐅9 = 480 𝐢 − 60 𝐣 − 1080 𝐤
𝐹! = 480# + (−60)# + (−1080)# = 1183.4 N
34
Exemplo 3.2
35
§ Expresse as forças como vetores cartesianos e determine a força resultante 
atuante no gancho abaixo, incluindo sua magnitude e seus ângulos diretores.
35
Exemplo 3.2
36
Solução (forças em N):
§ Expresse as forças como vetores cartesianos e determine a força resultante 
atuante no gancho abaixo, incluindo sua magnitude e seus ângulos diretores.
𝐴 = 0.5, −1.5, 0
𝐶 = (−1.5,	0.5,	3.5)
𝐅8 = 600
𝐀𝐁
𝐀𝐁
= −400 𝐢 − 200 𝐣 + 400 𝐤
AC	= −2 𝐢 + 2 𝐣 + 3.5 𝐤 ⟹ 𝐀𝐂 = 4.5 m
𝐵 = −1.5, −2.5, 2
AB = −2 𝐢 − 1 𝐣 + 2 𝐤 ⟹ 𝐀𝐁 = 3 m
𝐅9 = 450
𝐀𝐂
𝐀𝐂
= −200 𝐢 + 200 𝐣 + 350 𝐤
36
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Exemplo 3.2
37
Força resultante:
𝐅! = 𝐅8 + 𝐅9 = −600 𝐢 + 750 𝐤 ⟹ 𝐹! = 960.5	N
𝐮! =
𝐅!
𝐹!
= −0.6247 𝐢 + 0.7809 𝐤
cos 𝛼 = −0.6247 ⟹ 𝛼 = 128.7*
cos 𝛽 = 0 ⟹ 𝛽 = 90*
cos 𝛾 = 0.7809 ⟹ 𝛾 = 38.66*
Vetor unitário:
Ângulos diretores:
37
Produto escalar
38
§ O produto escalar entre dois vetores é definido como:
𝐀 g 𝐁 = 𝐀 𝐁 cos 𝜃
Propriedades
O produto escalar de 2 vetores 
perpendiculares é nulo.
𝐀 g 𝐁 = 𝐁 g 𝐀
𝑎 𝐀 g 𝐁 = 𝑎𝐀 g 𝐁 = 𝐀 g 𝑎𝐁
𝐀 g 𝐁 + 𝐂 = 𝐀 g 𝐁 + 𝐀 g 𝐂
38
Produto escalar
39
§ Forma cartesiana:
𝐀 g 𝐁 = (𝐴' 𝐢 + 𝐴( 𝐣 + 𝐴6𝐤) g (𝐵' 𝐢 + 𝐵( 𝐣 + 𝐵6𝐤)
cos 𝜃 =
𝐀 g 𝐁
𝐀 𝐁
𝐀 g 𝐁 = 𝐴'𝐵' 𝐢 g 𝐢 + 𝐴'𝐵( 𝐢 g 𝐣 + 𝐴'𝐵6 𝐢 g 𝐤 +
𝐴(𝐵' 𝐣 g 𝐢 + 𝐴(𝐵( 𝐣 g 𝐣 + 𝐴(𝐵6 𝐣 g 𝐤 +
𝐴6𝐵' 𝐤 g 𝐢 + 𝐴6𝐵( 𝐤 g 𝐣 + 𝐴6𝐵6 𝐤 g 𝐤
𝐢 g 𝐢 = 𝐣 g 𝐣 = 𝐤 g 𝐤 = 1
𝐢 g 𝐣 = 𝐢 g 𝐤 = 𝐣 g 𝐤 = 0
𝐀 g 𝐁 = 𝐴'𝐵' + 𝐴(𝐵( + 𝐴6𝐵6 ⟹
Permite o cálculo do ângulo 
entre 2 vetores no espaço
39
Produto escalar
40
§ O produto escalar pode ser utilizado para determinar a componente
(i.e. projeção) de um vetor em uma dada direção:
𝐀: = |𝐀| cos 𝜃 𝐮:
𝐀: = |𝐀|
𝐀 g 𝐮:
𝐀 𝐮:
𝐮:
𝐀: = 𝐀 g 𝐮: 𝐮:
𝐀 = 𝐀: + 𝐀;
Componente perpendicular
Projeção
𝐀;= 𝐀 − 𝐀:⟹
40
Exemplo 4.1
41
Solução (forças em N):
𝐴 = 0, 0, 6
𝐶 = (3,	2,	0)
𝐅8 = 560
𝐀𝐁
𝐀𝐁
= 160 𝐢 − 240 𝐣 − 480 𝐤
AC	= 3 𝐢 + 2 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐂 = 7 m
𝐵 = 2, −3, 0
AB = 2 𝐢 − 3 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐁 = 7 m
𝐅9 = 700
𝐀𝐂
𝐀𝐂
= 300 𝐢 + 200 𝐣 − 600 𝐤
§ Determine o ângulo entre as forças FB e FC e a força resultante no ponto A. Em 
seguida, calcule os ângulos que a resultante faz com FB e FC . Considere FB = 
560N e FC = 700N.
41
Exemplo 4.1
42
Força resultante:
𝐅! = 𝐅8 + 𝐅9 = 460 𝐢 − 40 𝐣 − 1080 𝐤 ⟹ 𝐹! = 1174.6	N
cos(𝜃89 ) =
𝐀𝐁 > 𝐀𝐂
𝐀𝐁 |𝐀𝐂|
= 0.73469
Ângulo entre FB e FC :
⟹ 𝜃89 =	42.72*
cos(𝜃8! ) =
𝐅B > 𝐅4
𝐅B |𝐅4|
= 0.91463
Ângulo entre FB e FR :
⟹ 𝜃8! =	23.85*
cos(𝜃9! ) =
𝐅C > 𝐅4
𝐅C |𝐅4|
= 0.94625
Ângulo entre FC e FR :
⟹ 𝜃9! =	18.87*
42
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8
Exemplo 4.2
43
§ Determine magnitude e os ângulos diretores da força resultante considerando
FB = 630 N, FC = 520 N e FD = 750 N, x = 3 m e z = 3.5 m. Em seguida,
determine as componentes da resultante nas direções paralela e perpendicular à
barra OA.
43
Exemplo 4.2
44
Solução (forças em N):
𝐴 = 0, 6, 2.5
𝐶 = (2,	0,	4)
𝐅8 = 630
𝐀𝐁
𝐀𝐁
= −270 𝐢 − 540 𝐣 + 180 𝐤
AC	= 2 𝐢 − 6 𝐣 + 1.5 𝐤 ⟹ 𝐀𝐂 = 6.5 m
𝐵 = −3, 0, 4.5
AB = −3 𝐢 − 6 𝐣 + 2 𝐤 ⟹ 𝐀𝐁 = 7 m
𝐅9 = 520
𝐀𝐂
𝐀𝐂
= 160 𝐢 − 480 𝐣 + 120 𝐤
§ Determine magnitude e os ângulos diretores da força resultante considerando
FB = 630 N, FC = 520 N e FD = 750 N, x = 3 m e z = 3.5 m. Em seguida,
determine as componentes da resultante nas direções paralela e perpendicular à
barra OA.
𝐷 = (3,	0,	−3.5)
44
Exemplo 4.2
45
Força resultante:
𝐅! = 𝐅8 + 𝐅9 + 𝐅D = 140 𝐢 − 1520 𝐣 − 200 𝐤 ⟹ 𝐹! = 1539.5	N
AD	= 3 𝐢 − 6 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐃 = 9 m
𝐅D = 750
𝐀𝐂
𝐀𝐂
= 250 𝐢 − 500 𝐣 − 500 𝐤
Componentes de FR em relação à barra AO:
OA = 6 𝐣 + 2.5 𝐤 ⟹ 𝐎𝐀 = 6.5 m ⟹ 𝐮 = 𝐎𝐀
𝟎𝐀
= "#
"&
𝐣 + G
"&
𝐤
𝐅∥ = 𝐮 g 𝐅! 𝐮 = −1366.2 𝐣 − 569.2 𝐤
𝐅; = 𝐅! − 𝐅∥ = 140 𝐢 − 158.9 𝐣 + 369.2 𝐤
⟹ 𝐹∥ = 1480	N
⟹ 𝐹; = 423.8	N
45