MecanicaI_VetoresForca_14Mai2021

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14/05/2021
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Mecânica para Engenharia Civil I
Vetores Força
Prof: Evandro Parente Junior
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
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Escalares e vetores
2
§ As grandezas utilizadas na Mecânica podem ser escalares ou
vetoriais.
§ Grandezas escalares:
• São caracterizadas apenas pela sua magnitude (pode ser
positiva ou negativa).
• Ex:massa, tempo, temperatura, ...
§ Grandezas vetoriais:
• São caracterizadas pela suamagnitude, direção e sentido.
• Ex: deslocamento, velocidade, aceleração, força, ...
2
Vetores
3
§ Representação gráfica:
§ Operações vetoriais:
• Multiplicação por escalar.
• Soma de vetores.
3
Multiplicação por escalar
4
§ Amultiplicação de um vetorA por um escalar α ∈ ℝ gera um novo
vetor B:
• 𝐁 = α𝐀.
• B é paralelo aA (𝐁 ∥ 𝐀).
• 𝐁 = α |𝐀|.
• Sentido de B depende do sinal de α:
4
Soma vetorial
5
§ Asoma de vetores é feita de acordo com a Lei do Paralelogramo:
𝐑 = 𝐀 + 𝐁
O vetor soma corresponde à diagonal do paralelogramo.
5
Soma vetorial
6
§ Asoma de vetores é comutativa:
𝐑 = 𝐀 + 𝐁 𝐑 = 𝐁 + 𝐀
𝐑 = 𝐀 + 𝐁 = 𝐁 + 𝐀
§ Asoma de vetores colineares se reduz a uma soma algébrica:
𝑅 = 𝐴 + 𝐵
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Subtração de vetores
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𝐃
𝐃 = 𝐀 − 𝐁 = 𝐀 + (−𝐁)
A subtração de vetores não é comutativa: 𝐀 − 𝐁 ≠ 𝐁 − 𝐀
7
Força resultante
8
§ Aforça resultante de duas forças é a soma vetorial destas forças:
𝐅! = 𝐅" + 𝐅#
A menos que as forças sejam colineares, é necessário usar 
a Lei do Paralelogramo para determinar a resultante.
8
Decomposição de forças
9
§ Um força qualquer pode ser decompostas em duas direções não
paralelas utilizando a Lei do Paralelogramo:
Este processo é bem mais simples quando as direções 
escolhidas são perpendiculares entre si.
𝐅 = 𝐅$ + 𝐅%
9
Lei dos senos e dos cossenos
10
§ Como as componentes e a resultante formam um triângulo, suas
magnitudes podem ser calculadas utilizando as leis dos senos e dos
cossenos:
𝐴
sin 𝑎
=
𝐵
sin 𝑏
=
𝐶
sin 𝑐
𝐶# = 𝐴# + 𝐵# − 2𝐴𝐵 cos 𝑐
A lei dos cossenos se reduz ao Teorema de Pitágoras quando c = 90º .
10
Soma de várias forças
11
§ A resultante de várias forças pode ser calculada pela aplicação
repetida da Lei do Paralelogramo considerando duas forças de
cada vez:
Este processo é bastante trabalhoso quando existem muitas forças.
𝐅 = 𝐅" + 𝐅# + 𝐅&
𝐅’ = 𝐅" + 𝐅#
𝐅 = 𝐅’ + 𝐅&
11
Componentes cartesianas
12
§ A soma de várias forças é mais simples utilizando componentes
cartesianas:
Projeções ortogonais de 
F sobre os eixos x e y.
𝐅 = 𝐅' + 𝐅(
𝐹' = 𝐹 cos 𝜃
𝐹( = 𝐹 sin 𝜃
𝐹 = |𝐅| = 𝐹(
# + 𝐹'
# tan 𝜃 =
𝐹(
𝐹'
Fx e Fy são positivas quando 
estiverem no sentido positivo 
dos respectivos eixos.
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Componentes cartesianas
13
§ A componentes cartesianas podem ser expressas em função dos
vetores unitários i e j:
𝐅 = 𝐅' + 𝐅( = 𝐹' 𝐢 + 𝐹( 𝐣 Fx e Fy são positivas quando 
estiverem no mesmo sentido 
de i e j, respectivamente.
|𝐢| = |𝐣| = 1
13
Resultante de forças coplanares
14
§ A resultante de várias forças pode ser calculada somando as
componentes cartesianas:
𝐅! = 𝐅" + 𝐅# + ⋯+ 𝐅)
𝐅! = (𝐅"'+ 𝐅"() + ⋯+(𝐅)' + 𝐅)()
𝐅! = 𝐹"' 𝐢 + 𝐹"( 𝐣 + ⋯+ (𝐹)' 𝐢 + 𝐹)( 𝐣)
𝐅! = 𝐹"' + ⋯+ 𝐹)' 𝐢 + (𝐹"( + ⋯+ 𝐹)()𝐣
𝐅! = C𝐹' 𝐢 + C𝐹( 𝐣
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Exemplo 1.1
15
Determine a força resultante atuante no gancho abaixo:
15
Exemplo 1.1
16
Solução (forças em N):
Determine a força resultante atuante no gancho abaixo:
C𝐹' = 300 + 400 cos 30* − 250
4
5
𝐹! = 𝐹'# + 𝐹(# = 567.3 N
C𝐹' = 446.4 N
C𝐹( = 400 sin 30* + 250
3
5
= 350 N
tan 𝜃 =
350
446.4
⟹ 𝜃 = 38.10*
FR
16
Exemplo 1.2
17
Determine o ângulo q de forma que a resultante das forças FA e FB seja dirigida 
horizontalmente para a direita. Qual a magnitude da força resultante?
17
Exemplo 1.2
18
Solução (forças em kN):
Determine o ângulo q de forma que a resultante das forças FA e FB seja dirigida 
horizontalmente para a direita. Qual a magnitude da força resultante?
C𝐹( = 8 cos 𝜃 − 6 cos 40* = 0
cos 𝜃 = + ,*- ./
0
1
⟹ 𝜃 =	54.93*
𝐹! = C𝐹' = 8 sen 𝜃 + 6 sen 40* = 10.41 kN
FR
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Exemplo 1.3
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Solução (forças em kN):
Determine a magnitude da força F de maneira que a resultante das três forças seja a 
menor possível. Qual a magnitude da força resultante?
𝐹!' = C𝐹' = 8 − 𝐹 cos 45* − 14 cos 30*
𝐹! = 𝐹!'# + 𝐹!(# ⟹ 𝐹!# = 𝐹!'
# + 𝐹!(#
𝐹!( = C𝐹( = −𝐹 sen 45* + 14 sen 30*
Minimizando FR:
2345
23
= 0 ⟹ 2𝐹!' −cos 45* + 2𝐹!( −sin 45* = 0
19
Exemplo 1.3
20
2345
23
= 0 ⟹ 𝐹!' + 𝐹!( = 0
8 − 𝐹 cos 45* − 14 cos 30* − 𝐹 sen 45* + 14 sen 30* = 0
Substituindo o valor das forças:
Portanto: 𝐹 =
8 − 14 cos 30* + 14 sen 30*
sen 45* + cos 45*
⟹ 𝐹 = 2.033	kN
𝐹!' = 8 − 𝐹 cos 45* − 14 cos 30* =	-5.562	kN
𝐹! = 𝐹!'# + 𝐹!(# = 7.866 kN
𝐹!( = −𝐹 sen 45* + 14 sen 30* = 5.562	kN
Finalmente:
20
Exemplo 1.3
21
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
F (kN)
7.8
7.9
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Fr
 (k
N
)
21
Vetores no espaço
22
§ Uso de um sistema de eixos cartesianos baseados na Regra da Mão
Direita (RMD):
𝐀 = 𝐀’ + 𝐀6
𝐀 = 𝐀' + 𝐀( + 𝐀6
𝐀’ = 𝐀' + 𝐀(
Componentes do vetor
Aplicações sucessivas da 
Lei do Paralelogramo.
22
Vetores no espaço
23
§ Representação cartesiana com uso dos vetores unitários i, j e k:
𝐀' = 𝐴' 𝐢
𝐀( = 𝐴( 𝐣
𝐀6 = 𝐴6𝐤
𝐀 = 𝐴' 𝐢 + 𝐴( 𝐣 + 𝐴6𝐤
|𝐢| = |𝐣| = |𝐤| = 1
𝐴 = |𝐀| = 𝐴'# + 𝐴(# + 𝐴6#
𝐴# = 𝐴’# + 𝐴6#
𝐴’# = 𝐴'# + 𝐴(#
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Vetores no espaço
24
§ Direção de um vetor (ângulos diretores):
𝐮7 =
𝐀
|𝐀|
=
𝐴'
𝐴
𝐢 +
𝐴(
𝐴
𝐣 +
𝐴6
𝐴
𝐤
Cossenos diretores
cos 𝛼 =
𝐴'
𝐴
cos 𝛽 =
𝐴(
𝐴
cos 𝛾 =
𝐴6
𝐴
Vetor unitário
𝐮7 = cos 𝛼 𝐢 + cos 𝛽 𝐣 + cos 𝛾 𝐤
cos# 𝛼 + cos# 𝛽 + cos# 𝛾 = 1
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Vetores no espaço
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§ A soma de vetores no espaço é feita somando as componentes
cartesianas dos vetores:
𝐑 = 𝐀 + 𝐁
𝐑 = (𝐀'+ 𝐀( + 𝐀6) + (𝐁'+ 𝐁( + 𝐁6)
𝐑 = 𝐴' 𝐢 + 𝐴( 𝐣 + 𝐴6𝐤 + 𝐵' 𝐢 + 𝐵( 𝐣 + 𝐵6𝐤
𝐑 = 𝐴' + 𝐵' 𝐢 + (𝐴( + 𝐵()𝐣 + 𝐴6 + 𝐵6 𝐤
𝐅! = C𝐹' 𝐢 + C𝐹( 𝐣 + C𝐹6 𝐤
Força 
resultante
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Exemplo 2.1
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Expresse as forças como vetores cartesianos e determine a força resultante atuante 
na cantoneira abaixo, incluindo sua magnitude e ângulos diretores.
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