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11/06/2021 1 Mecânica para Engenharia Civil I Resultantes de Sistemas de Forças Prof: Evandro Parente Junior Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil 1 Sistemas de forças 2 § Os capítulos anteriores trataram apenas de sistemas de forças concorrentes (i.e. todas as forças passam por um ponto). § Contudo, existem muitos problemas onde as forças não são concorrentes. § Nestes casos, as forças causam: • Tendência à translação. • Tendência à rotação (i.e. momento). 2 Momento de uma força 3 § Uma força atuante em um corpo produz a tendência do corpo girar em torno de um ponto fora da linha de atuação da força. § Essa tendência é conhecida como torque oumomento: 𝑀! = 𝐹 𝑑 𝑑 = 𝑟 sin 𝜃 𝑟 𝑀! = 𝐹 𝑑 = 𝐹 𝑟 sin 𝜃 3 Momento de uma força 4 § Omomento de uma força é um vetor: • Magnitude:M0 = Fd = Fr sinq. • Direção: perpendicular ao plano. • Sentido: Regra da Mão Direita (RMD). 4 Princípio da Transmissibilidade 5 § Omomento de uma força não muda se essa força se move ao longo de sua linha de atuação (reta suporte): 𝑀! = 𝐹 𝑑 = 𝐹 𝑟 sen(𝜃) 𝐹 𝑂 𝑑 𝑟1 q1 𝐹 𝑟2 q2 Força é um vetor deslizante. 5 Momento resultante 6 § No caso de problemas planos, o sentido do momento pode ser horário ou anti-horário (positivo). § O momento resultante de um sistema de forças coplanar em um pontoO é a soma dos momentos de cada força em relação aO: 𝑀! = -𝐹" 𝑑" 𝑀! = 𝐹#𝑑# − 𝐹$𝑑$ + 𝐹%𝑑% Na figura: 6 11/06/2021 2 Princípio dos Momentos 7 § Princípio dos Momentos (ou Princípio de Varignon): o momento da força resultante é a soma dos momentos das componentes. 𝑀! = 𝐹 𝑟 sen(𝜃) 𝑂 𝐹 a 𝑥 𝑦 𝑟 q 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝑟𝑥 𝑟𝑦 a 𝑀! = 𝐹& 𝑟' − 𝐹' 𝑟& 𝑀! = 𝐹sen 𝛽 𝑟cos 𝛼 − 𝐹cos 𝛽 𝑟sen 𝛼 𝛽 = 𝜃+𝛼 𝑀! = 𝐹 𝑟 sen 𝛽 − 𝛼 = 𝐹 𝑟 sen 𝜃 Momento das componentes: Momento da resultante: 7 Exemplo 1.1 8 Solução (unidades N e m): § Determine o momento resultante no ponto O. M! = −600 7 1 − 300 7 2.5 sin 45° + 500 7 (3 + 2.5 cos 45°) M! = −600 − 530.3 + 2383.9 M! = 1253.6 Nm Sentido anti-horário 8 Exemplo 1.2 9 Solução: § Determine o momento resultante no ponto A devido às forças mostradas na figura abaixo. Considere positivo o sentido anti-horário. 𝑀( = −250 cos 30) 7 2 − 300 sen 60) 7 5 − 400 7 5 + 300 7 4 = −2532.1 Nm 0.6F3 A 0.8F3 2 m 3 m 4 m F2 cos 60) F2 sen 60) F1 sen 30) F1 cos 30) Sentido anti-horário 9 Exemplo 1.3 10 § Determine o momento no ponto O devido às forças mostradas abaixo. Em seguida, calcule o valor da força vertical que deve ser aplicada ao ponto B para que a resultante dos momentos em O seja nula. B 10 Exemplo 1.3 11 Solução: § Determine o momento no ponto O devido às forças mostradas abaixo. Em seguida, calcule o valor da força vertical que deve ser aplicada ao ponto B para que a resultante dos momentos em O seja nula. B 300 N B 400 N F2 cos 60) F2 sen 60)𝐹 A O 𝑀! = 300−600 sen 60) 7 0.425− 400+600 cos 30) 7 0.25 = −268.34Nm 𝑀! = −268.34 + 𝐹 7 0.125 = 0 ⟹ 𝐹 = 2146.7 N 11 Produto vetorial 12 § O produto vetorial dos vetoresA e B gera um novo vetorC com: • Magnitude: |C| = |A| |B| sinq. • Direção: perpendicular ao plano que contémA e B. • Sentido: positivo pela Regra da Mão Direita (RMD). 12 11/06/2021 3 Produto vetorial 13 § Propriedades: • 𝐀×𝐁 =−𝐁×𝐀. • 𝑎(𝐀×𝐁) = (𝑎𝐀)×𝐁 = 𝐀×(𝑎𝐁). • 𝐀× 𝐁+𝐃 =𝐀×𝐁+𝐀×𝐃. 13 Produto vetorial 14 § Vetores base (i, j, k): 𝐢 × 𝐢 = 𝐣 × 𝐣 = 𝐤×𝐤 = 𝟎 𝐢 × 𝐣 = 𝐤 𝐣 ×𝐤 = 𝐢 𝐤× 𝐢 = 𝐣 𝐢 ×𝐤 = −𝐣 𝐤× 𝐣 = −𝐢 𝐣 × 𝐢 = −𝐤 14 Produto vetorial 15 § Forma cartesiana: 𝐀 × 𝐁 = (𝐴' 𝐢 + 𝐴& 𝐣 + 𝐴*𝐤)×(𝐵' 𝐢 + 𝐵& 𝐣 + 𝐵*𝐤) 𝐀 × 𝐁 = 𝐴'𝐵' 𝐢×𝐢 + 𝐴'𝐵& 𝐢×𝐣 + 𝐴'𝐵* 𝐢×𝐤 + 𝐴&𝐵' 𝐣×𝐢 + 𝐴&𝐵& 𝐣×𝐣 + 𝐴&𝐵* 𝐣×𝐤 + 𝐴*𝐵' 𝐤×𝐢 + 𝐴*𝐵& 𝐤×𝐣 + 𝐴*𝐵* 𝐤×𝐤 𝐀 × 𝐁 = 𝐴&𝐵* − 𝐴*𝐵& 𝐢 + 𝐴*𝐵' − 𝐴'𝐵* 𝐣 + 𝐴'𝐵& − 𝐴&𝐵' 𝐤 𝐀 × 𝐁 = 𝐴'𝐵&(𝐤) + 𝐴'𝐵* −𝐣 + 𝐴&𝐵' −𝐤 + 𝐴&𝐵* 𝐢 + 𝐴*𝐵' 𝐣 + 𝐴*𝐵& −𝐢 𝐀 × 𝐁 = 𝐢 𝐣 𝐤 𝐴' 𝐴& 𝐴* 𝐵' 𝐵& 𝐵* 15 Momento de uma força (vetorial) 16 § Omomento representa a tendência à rotação devido a uma força: 𝑀! = 𝐹 𝑑 = 𝐹 𝑟 sen(𝜃) 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤 𝑟' 𝑟& 𝑟* 𝐹' 𝐹& 𝐹*Direção: perpendicular a r e F. Sentido: RMD de r para F. 16 Momento resultante 17 § O momento resultante de um sistema de forças em relação a um ponto é a soma vetorial do momento de cada força em relação a este ponto: 𝐌𝑹% = 𝐫# × 𝐅#+ 𝐫$ × 𝐅$+ 𝐫% × 𝐅% 𝐌𝑹% = - 𝐫𝑖 × 𝐅𝑖 Generalizando: 17 Princípio dos Momentos 18 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 𝐌! = 𝐫 × 𝐅# + 𝐫 × 𝐅$ Vetorialmente: 𝐌! = 𝐫 × ( 𝐅# + 𝐅$) O momento da força resultante é a soma dos momentos das componentes. 18 11/06/2021 4 Exemplo 2.1 19 § Determine o momento resultante em O. Solução (forças em N): 𝐴 = 0, 0, 6 𝐶 = (2, 3, 0) 𝐅- = 840 𝐀𝐁 𝐀𝐁 = 360 𝐢 − 240 𝐣 − 720 𝐤 𝐵 = 3, −2, 0 AB = 3 𝐢 − 2 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐁 = 7 m 𝐅. = 420 𝐀𝐁 𝐀𝐁 = 120 𝐢 + 180 𝐣 − 360 𝐤 AC = 2 𝐢 + 3 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐂 = 7 m O 19 Exemplo 2.1 20 𝐅- = 360 𝐢 − 240 𝐣 − 720 𝐤 𝐅. = 120 𝐢 + 180 𝐣 − 360 𝐤 Força resultante: 𝐅/ = 𝐅- + 𝐅. = 480 𝐢 − 60 𝐣 − 1080 𝐤 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤 0 0 6 480 −60 −1080 = 2880 𝐣 + 360 𝐢 Momento resultante (r = OA): 𝐌! = 360 𝐢 + 2880 𝐣 20 Momento em torno de um eixo 21 § Em muitas situações práticas é importante determinar o momento de uma força em relação a um eixo qualquer: 𝑀& = 𝐹𝑑& ⟹ 𝑀& = 𝑀!& = 𝐣 7 𝐌! 21 Momento em torno de um eixo 22 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 𝑀0 = 𝐮0 7 (𝐫 × 𝐅) = 𝑢' 𝑢& 𝑢𝒛 𝑟' 𝑟& 𝑟* 𝐹' 𝐹& 𝐹* 𝐌0 = 𝑀0 𝐮0 = (𝐮0 7 𝐌!) 𝐮0 𝑀0 = 𝐮0 7 𝐌! = 𝐮0 7 (𝐫 × 𝐅) Produto misto: 22 Exemplo 3.1 23 Solução (unidades N e m): § Determine a magnitude do momento da força F em relação ao eixo x. M' = F* 7 0.3 − F& 7 0.25 = 17.42 Nm 𝐅 = 200 cos 120) 𝐢 + cos 60) 𝐣 + cos 45) 𝐤 𝐅 = −100 𝐢 + 100 𝐣 + 141.4 𝐤 Formulação escalar: Formulação vetorial: 𝐫 = 𝐎𝐀 = 0.3 𝐣 + 0.25 k r 23 Exemplo 3.1 24 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤 0 0.3 0.25 −100 100 141.4 = 42.42 𝐢 − 25 𝐣 + 30 𝐤 − 25 𝐢 Formulação vetorial: 𝐌! = 17.42 𝐢 − 25 𝐣 + 30 𝐤 Produto misto: 𝑀' = 𝐢 7 𝐫 × 𝐅 = 1 0 0 0 0.3 0.25 −100 100 141.4 = 42.42 − 25 = 17.42 Nm ⟹ 𝑀' = 17.42 Nm 24 11/06/2021 5 Exemplo 3.2 25 Solução (unidades N e m): § Determine o momento resultante das 3 forças em torno do eixo AB. 𝐅 = 85 𝐢 + 45 𝐣 − 60 𝐤 Formulação vetorial: 𝐫 = 𝐁𝐎 = −2 𝐢 𝐮 = 𝐀𝐁 |𝐀𝐁| = 1 2.5 2 𝐢 − 1.5 𝐣 𝑀(- = 𝐮 7 𝐫 × 𝐅 = 0.8 −0.6 0 −2 0 0 85 45 −60 = 2 7 −0.6 7 −60 = 72 Nm 25 Exemplo 3.2 26 Formulação escalar: d q 𝑑 = 1.5 sen 𝜃 =1.5 2 2.5 = 1.2 m 𝑀(- = 60 7 𝑑 = 60 7 1.2 = 72 Nm 26 Exemplo 3.3 27 § Determine o momento da força F em relação ao eixo AB. 𝑥 𝑧 r 27 Exemplo 3.3 28 § Determine o momento da força F em relação ao eixo AB. 𝑥 𝑦 𝑧 𝐅 = −300 𝐤 𝐫 = 𝐀𝐂 = 0.6 𝐢 + 0.3 𝐤 𝐀𝐁 = 0.4 𝐢 + 0.2 𝐣 𝑀(- = 𝐮 7 𝐫 × 𝐅 = 1 0.2 0.4 0.2 0 0.6 0 0.3 0 0 −300 = 36 0.2 = 80.50 Nm Solução (unidades N e m): 𝐮 = 𝐀𝐁 |𝐀𝐁| = 1 0.2 0.4 𝐢 + 0.2 𝐣 ⟹ |𝐀𝐁| = 0.2 m r 28 Binário 29 § Binário (ou conjugado) é um sistema composto por 2 forças de mesma magnitude e direção, mas sentidos opostos: 𝑀 = 𝐹 𝑑 Como a força resultante é nula, o binário causa apenas tendência à rotação. 𝐅/ = 𝐅 − 𝐅 = 𝟎 d = distância entre as linhas de atuação das forças (braço do binário) 29 Binário 30 Como o momento do binário não depende do ponto O, ele é o mesmo em qualquer ponto do espaço. 𝐌! = 𝐫- × 𝐅 + 𝐫( ×(−𝐅) 𝐌! = 𝐫- × 𝐅 − 𝐫𝑨 × 𝐅 = 𝐫- − 𝐫𝑨 × 𝐅 𝐫- = 𝐫( + 𝐫 ⟹ 𝐫 = 𝐫- − 𝐫𝑨 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 = 𝐀𝐁 × 𝐅 Momento é um vetor livre. § Formulação vetorial: 30 11/06/2021 6 Exemplo 4.1 31 Solução (unidades kN e m): § Determine o momento do binário atuante na viga abaixo. 𝑀 = 6 7 2 − 8 7 4 = − 20 kNm 6 kN 6 kN 8 kN 8 kN Sentido horário 31 Exemplo 4.2 32 Solução (unidades N e m):§ O momento de 4 Nm é utilizado para girar a chave de fenda abaixo. Determine as forças F exercidas no cabo e P no parafuso. 𝑀 = 𝐹 7 0.030 = 4 Nm Os dois binários são equivalentes, pois geram os mesmos momentos. 𝐹 = 133.3 N 𝑀 = 𝑃 7 0.005 = 4 Nm ⟹ 𝑃 = 800 N 32 Exemplo 4.3 33 § Determine o momento resultante dos dois binários abaixo. Considere d = 400 mm. 33 Exemplo 4.3 34 § Determine o momento resultante dos dois binários abaixo. Considere d = 400 mm. 𝑀' = −35 7 0.4 cos 30o = −12.12 Nm 𝐌 = −12.12 𝐢 − 10 𝐣 − 17.32 k Solução (unidades N e m): 𝑀& = −50 7 0.4 sen 30o = −10 Nm 𝑀* = −50 7 0.4 cos 30o = −17.32 Nm Solução escalar: Solução escalar: 34 Exemplo 4.3 35 Solução vetorial: r 𝐅 = −50 𝐢 + 35 𝐤 𝐫 = −0.4 cos 30o 𝐣 + 0.4 sen 30o 𝐤 𝐌 = 𝐫 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤 0 −0.3464 0.2 −50 0 35 = −12.12 𝐢 − 10 𝐣 − 17.32 𝐤 35 Redução de um sistema de forças 36 § A simplificação de um sistema de forças corresponde à redução deste a um sistema equivalente composto por uma força resultante atuando em um ponto e amomento resultante: Dois sistemas são equivalentes se eles causam a mesma tendência à translação e rotação de um corpo rígido. 36 11/06/2021 7 Redução de um sistema de forças 37 § Para reduzir o sistema de forças ao ponto O, deve-se calcular a força resultante e a resultante dos momentos neste ponto: 𝐅/ = -𝐅" 𝐌/% = - 𝐫𝑖 × 𝐅" +-𝐌" 37 Exemplo 5.1 38 Solução (unidades N e m): § Substitua as forças abaixo pela força e momento resultante em O. F& = 400 − 750 = −350 N F' = 200 − 200 + 300 = 300 N300 N 400 N M! = 400 7 2.5 − 300 7 1 − 750 7 1.25 + 200 7 1 = −37.5 Nm 300 N 350 N 37.5 Nm 300 N 350 N q FR F/ = 300$ + (−350)$ = 460.98 N tan 𝜃 = 350 300 ⟹ 𝜃 = 49.40o 38 Exemplo 5.2 39 § Substitua o sistema de forças pela força e momento resultante em O. 39 Exemplo 5.2 40 Solução (unidades N e m): § Substitua o sistema de forças pela força e momento resultante em O. 𝐅# = −800 𝐤 𝐂𝐁 = −0.15 𝐢 + 0.1 𝐣 𝐅$ = 300 𝐂𝐁 |𝐂𝐁| = 300 0.0325 −0.15 𝐢 + 0.1 𝐣 𝐅$ = −249.6 𝐢 + 166.4 𝐣 F/ = 𝐅# + 𝐅$ = −249.6 𝐢 + 166.4 𝐣 − 800 𝐤 40 Exemplo 5.2 41 𝐫. = 𝐎𝐂 = 1 𝐤 M7 = M + M!' + M!( = −166.4 𝐢 − 649.6 𝐣 + 300 𝐤 M!' = 𝟎 M = −400 𝐣 + 300 𝐤 M!( = 𝐫. × 𝐅$ = 𝐢 𝐣 𝐤 0 0 1 −249.6 166.4 0 M!( = −166.4 𝐢 − 249.6 𝐣 41 Exemplo 5.3 42 § Substitua as duas forças atuantes na furadeira elétrica pela força e momento resultante em O. Qual o ângulo entre estes vetores resultantes? 42 11/06/2021 8 Exemplo 5.3 43 Solução (unidades N e m): § Substitua as duas forças atuantes na furadeira elétrica pela força e momento resultante em O. Qual o ângulo entre estes vetores resultantes? F/ = 𝐅# + 𝐅$ = 6 𝐢 − 1 𝐣 − 14 𝐤 𝐫# = 0.15 𝐢 + 0.3 𝐤 M!' = 𝐫# × 𝐅# = 𝐢 𝐣 𝐤 0.15 0 0.3 6 −3 −10 𝐫$ = −0.25 𝐣 + 0.3 𝐤 M!( = 𝐫$ × 𝐅$ = 𝐢 𝐣 𝐤 0 −0.25 0.3 0 2 −4 = 1 𝐢 − 0.6 𝐢 = 0.4 𝐢 M!' = 1.8 𝐣 − 0.45 𝐤 + 1.5 𝐣 + 0.9 𝐢 43 Exemplo 5.3 44 M! = M!' + M!( = 1.3 𝐢 + 3.3 𝐣 − 0.45 𝐤 M!( = 0.4 𝐢 M!' = 0.9 𝐢 + 3.3 𝐣 − 0.45 𝐤 cos 𝜃 = 𝐅/ 7 𝐌! 𝐅/ |𝐌! | = 10.8 15.26 7 3.575 = 0.1979 ⟹ 𝜃./ = 78.59) F/ = 𝐅# + 𝐅$ = 6 𝐢 − 1 𝐣 − 14 𝐤 ⟹ 𝑀! = 3.575 Nm ⟹ 𝐹/ = 15.26 N Ângulo entre FR e MO: 44 Redução adicionais 45 § Em alguns casos particulares importantes é possível fazer reduções adicionais de um sistema de forças: cos 𝜃 = 𝐅/ 7 𝐌/% 𝐅/ |𝐌/%| Em geral 𝐅/ e 𝐌/% não são perpendiculares. r 𝐅/ Contudo, se 𝐅/ ⊥ 𝐌/% então é possível reduzir o sistema a uma força resultante aplicada em um ponto, resolvendo: 𝐫 × 𝐅/ = 𝐌/% A 45 Redução adicionais 46 § Forças concorrentes (todas as forças passam pelo mesmo ponto): 𝐅/ = -𝐅" 46 Redução adicionais 47 § Forças coplanares (todas as forças estão contidas no mesmo plano): 𝐅/ = -𝐅" 𝑀/% = - F" d"+-𝑀" ⟹ 𝑑 = 𝑀/% 𝐹/ 47 Exemplo 6.1 48 § Substitua as forças abaixo pela força resultante e determine onde a linha de atuação dessa força passa medida a partir do ponto O. Solução (unidades kN e m): F' = 4.8 kN 4.8 kN 6.4 kN F& = 6.4 − 4 = 2.4 kN M! = 6.4 7 4.5 − 15 − 4 7 1.5 − 4.8 7 0.5 = 5.4 kNm F/ = 4.8$ + 2.4$ = 5.367 kN Fx Fy MO FR 𝑀! = 𝐹& 𝑑 ⟹ 𝑑 = 5.4 2.4 = 2.25 m Linha de atuação da força: FR 48 11/06/2021 9 Exemplo 6.2 49 § Substitua o sistema de forças abaixo pela sua força resultante e determine onde a linha de atuação dessa força intercepta a barra CD. 49 Exemplo 6.2 50 § Substitua o sistema de forças abaixo pela sua força resultante e determine onde a linha de atuação dessa força intercepta a barra CD. Solução (unidades N e m): F' = −200 − 250 = −450 N F& = −300 − 150 − 433 = −883 N F/ = 450$ + 883$ = 991.1 N 200 N 150 N 250 N 433 N M- = 400 − 300 7 2 − 150 7 5 − 250 7 2 = −1450 Nm FR Fy Fx MO 𝑀! = 𝐹& 𝑑 ⟹ 𝑑 = 1450 883 = 1.642 m Linha de atuação da força: 𝜃 = atan 883 450 = 63o 50 Redução adicionais 51 § Forças paralelas (todas as forças tem a mesma direção): 𝐹* = -𝐹*) ⟹ 𝐫 × 𝐅/ = 𝐌/%𝐌/% = - 𝐫𝑖 × 𝐅*) 51 Exemplo 6.3 52 § Determine a força resultante e seu ponto de aplicação: 𝑥 𝑥 F* = −600 + 100 − 400 − 500 = −1400 N M' = 100 7 5 − 400 7 10 = −3500 Nm ⟹ 𝑦 = M' F* = −3500 −1400 = 2.5 m M& = 600 7 8 − 100 7 6 = 4200 Nm ⟹ 𝑥 = − M& F* = −4200 −1400 = 3 m 52 Exemplo 6.4 53 § Determine as forças FC e FD de forma que a força resultante do sistema abaixo passe pelo ponto O. Qual o valor desta resultante? 53 Exemplo 6.4 54 § Determine as forças FC e FD de forma que a força resultante do sistema abaixo passe pelo ponto O. Qual o valor desta resultante? Solução (unidades N e m): M' = (600 + 𝐹8 ) 7 0.4 − (500 + 𝐹. ) 7 0.4 = 0 F. = 600 N M& = (600 + 500) 7 0.2 − (𝐹. + 𝐹8 ) 7 0.2 = 0 𝐹. − 𝐹8 = 100 𝐹. + 𝐹8 = 1100 F8 = 500 N F/ = F* = −500 − 600 − 𝐹. − 𝐹8 = −2200 N Sistema de equações: 54
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