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04/06/2021 1 Mecânica para Engenharia Civil I Resultantes de Sistemas de Forças Prof: Evandro Parente Junior Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil 1 Sistemas de forças 2 § Os capítulos anteriores trataram apenas de sistemas de forças concorrentes (i.e. todas as forças passam por um ponto). § Contudo, existem muitos problemas onde as forças não são concorrentes. § Nestes casos, as forças causam: • Tendência à translação. • Tendência à rotação (i.e. momento). 2 Momento de uma força 3 § Uma força atuante em um corpo produz a tendência do corpo girar em torno de um ponto fora da linha de atuação da força. § Essa tendência é conhecida como torque oumomento: 𝑀! = 𝐹 𝑑 𝑑 = 𝑟 sin 𝜃 𝑟 𝑀! = 𝐹 𝑑 = 𝐹 𝑟 sin 𝜃 3 Momento de uma força 4 § Omomento de uma força é um vetor: • Magnitude:M0 = Fd = Fr sinq. • Direção: perpendicular ao plano. • Sentido: Regra da Mão Direita (RMD). 4 Princípio da Transmissibilidade 5 § Omomento de uma força não muda se essa força se move ao longo de sua linha de atuação (reta suporte): 𝑀! = 𝐹 𝑑 = 𝐹 𝑟 sen(𝜃) 𝐹 𝑂 𝑑 𝑟1 q1 𝐹 𝑟2 q2 Força é um vetor deslizante. 5 Momento resultante 6 § No caso de problemas planos, o sentido do momento pode ser horário ou anti-horário (positivo). § O momento resultante de um sistema de forças coplanar em um pontoO é a soma dos momentos de cada força em relação aO: 𝑀! = -𝐹" 𝑑" 𝑀! = 𝐹#𝑑# − 𝐹$𝑑$ + 𝐹%𝑑% Na figura: 6 04/06/2021 2 Princípio dos Momentos 7 § Princípio dos Momentos (ou Princípio de Varignon): o momento da força resultante é a soma dos momentos das componentes. 𝑀! = 𝐹 𝑟 sen(𝜃) 𝑂 𝐹 a 𝑥 𝑦 𝑟 q 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝑟𝑥 𝑟𝑦 a 𝑀! = 𝐹& 𝑟' − 𝐹' 𝑟& 𝑀! = 𝐹sen 𝛽 𝑟cos 𝛼 − 𝐹cos 𝛽 𝑟sen 𝛼 𝛽 = 𝜃+𝛼 𝑀! = 𝐹 𝑟 sen 𝛽 − 𝛼 = 𝐹 𝑟 sen 𝜃 Momento das componentes: Momento da resultante: 7 Exemplo 1.1 8 Solução (unidades N e m): § Determine o momento resultante no ponto O. M! = −600 7 1 − 300 7 2.5 sin 45° + 500 7 (3 + 2.5 cos 45°) M! = −600 − 530.3 + 2383.9 M! = 1253.6 Nm Sentido anti-horário 8 Exemplo 1.2 9 Solução: § Determine o momento resultante no ponto A devido às forças mostradas na figura abaixo. Considere positivo o sentido anti-horário. 𝑀( = −250 cos 30) 7 2 − 300 sen 60) 7 5 − 400 7 5 + 300 7 4 = −2532.1 Nm 0.6F3 A 0.8F3 2 m 3 m 4 m F2 cos 60) F2 sen 60) F1 sen 30) F1 cos 30) Sentido anti-horário 9 Exemplo 1.3 10 § Determine o momento no ponto O devido às forças mostradas abaixo. Em seguida, calcule o valor da força vertical que deve ser aplicada ao ponto B para que a resultante dos momentos em O seja nula. B 10 Exemplo 1.3 11 Solução: § Determine o momento no ponto O devido às forças mostradas abaixo. Em seguida, calcule o valor da força vertical que deve ser aplicada ao ponto B para que a resultante dos momentos em O seja nula. B 300 N B 400 N F2 cos 60) F2 sen 60)𝐹 A O 𝑀! = 300−600 sen 60) 7 0.425− 400+600 cos 30) 7 0.25 = −268.34Nm 𝑀! = −268.34 + 𝐹 7 0.125 = 0 ⟹ 𝐹 = 2146.7 N 11 Produto vetorial 12 § O produto vetorial dos vetoresA e B gera um novo vetorC com: • Magnitude: |C| = |A| |B| sinq. • Direção: perpendicular ao plano que contémA e B. • Sentido: positivo pela Regra da Mão Direita (RMD). 12 04/06/2021 3 Produto vetorial 13 § Propriedades: • 𝐀×𝐁 =−𝐁×𝐀. • 𝑎(𝐀×𝐁) = (𝑎𝐀)×𝐁 = 𝐀×(𝑎𝐁). • 𝐀× 𝐁+𝐃 =𝐀×𝐁+𝐀×𝐃. 13 Produto vetorial 14 § Vetores base (i, j, k): 𝐢 × 𝐢 = 𝐣 × 𝐣 = 𝐤×𝐤 = 𝟎 𝐢 × 𝐣 = 𝐤 𝐣 ×𝐤 = 𝐢 𝐤× 𝐢 = 𝐣 𝐢 ×𝐤 = −𝐣 𝐤× 𝐣 = −𝐢 𝐣 × 𝐢 = −𝐤 14 Produto vetorial 15 § Forma cartesiana: 𝐀 × 𝐁 = (𝐴' 𝐢 + 𝐴& 𝐣 + 𝐴*𝐤)×(𝐵' 𝐢 + 𝐵& 𝐣 + 𝐵*𝐤) 𝐀 × 𝐁 = 𝐴'𝐵' 𝐢×𝐢 + 𝐴'𝐵& 𝐢×𝐣 + 𝐴'𝐵* 𝐢×𝐤 + 𝐴&𝐵' 𝐣×𝐢 + 𝐴&𝐵& 𝐣×𝐣 + 𝐴&𝐵* 𝐣×𝐤 + 𝐴*𝐵' 𝐤×𝐢 + 𝐴*𝐵& 𝐤×𝐣 + 𝐴*𝐵* 𝐤×𝐤 𝐀 × 𝐁 = 𝐴&𝐵* − 𝐴*𝐵& 𝐢 + 𝐴*𝐵' − 𝐴'𝐵* 𝐣 + 𝐴'𝐵& − 𝐴&𝐵' 𝐤 𝐀 × 𝐁 = 𝐴'𝐵&(𝐤) + 𝐴'𝐵* −𝐣 + 𝐴&𝐵' −𝐤 + 𝐴&𝐵* 𝐢 + 𝐴*𝐵' 𝐣 + 𝐴*𝐵& −𝐢 𝐀 × 𝐁 = 𝐢 𝐣 𝐤 𝐴' 𝐴& 𝐴* 𝐵' 𝐵& 𝐵* 15 Momento de uma força (vetorial) 16 § Omomento representa a tendência à rotação devido a uma força: 𝑀! = 𝐹 𝑑 = 𝐹 𝑟 sen(𝜃) 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤 𝑟' 𝑟& 𝑟* 𝐹' 𝐹& 𝐹*Direção: perpendicular a r e F. Sentido: RMD de r para F. 16 Momento resultante 17 § O momento resultante de um sistema de forças em relação a um ponto é a soma vetorial do momento de cada força em relação a este ponto: 𝐌𝑹% = 𝐫# × 𝐅#+ 𝐫$ × 𝐅$+ 𝐫% × 𝐅% 𝐌𝑹% = - 𝐫𝑖 × 𝐅𝑖 Generalizando: 17 Princípio dos Momentos 18 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 𝐌! = 𝐫 × 𝐅# + 𝐫 × 𝐅$ Vetorialmente: 𝐌! = 𝐫 × ( 𝐅# + 𝐅$) O momento da força resultante é a soma dos momentos das componentes. 18 04/06/2021 4 Exemplo 2.1 19 § Determine o momento resultante em O. Solução (forças em N): 𝐴 = 0, 0, 6 𝐶 = (2, 3, 0) 𝐅- = 840 𝐀𝐁 𝐀𝐁 = 360 𝐢 − 240 𝐣 − 720 𝐤 𝐵 = 3, −2, 0 AB = 3 𝐢 − 2 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐁 = 7 m 𝐅. = 420 𝐀𝐁 𝐀𝐁 = 120 𝐢 + 180 𝐣 − 360 𝐤 AC = 2 𝐢 + 3 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐂 = 7 m O 19 Exemplo 2.1 20 𝐅- = 360 𝐢 − 240 𝐣 − 720 𝐤 𝐅. = 120 𝐢 + 180 𝐣 − 360 𝐤 Força resultante: 𝐅/ = 𝐅- + 𝐅. = 480 𝐢 − 60 𝐣 − 1080 𝐤 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤 0 0 6 480 −60 −1080 = 2880 𝐣 + 360 𝐢 Momento resultante (r = OA): 𝐌! = 360 𝐢 + 2880 𝐣 20 Momento em torno de um eixo 21 § Em muitas situações práticas é importante determinar o momento de uma força em relação a um eixo qualquer: 𝑀& = 𝐹𝑑& ⟹ 𝑀& = 𝑀!& = 𝐣 7 𝐌! 21 Momento em torno de um eixo 22 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 𝑀0 = 𝐮0 7 (𝐫 × 𝐅) = 𝑢' 𝑢& 𝑢𝒛 𝑟' 𝑟& 𝑟* 𝐹' 𝐹& 𝐹* 𝐌0 = 𝑀0 𝐮0 = (𝐮0 7 𝐌!) 𝐮0 𝑀0 = 𝐮0 7 𝐌! = 𝐮0 7 (𝐫 × 𝐅) Produto misto: 22 Exemplo 3.1 23 Solução (unidades N e m): § Determine a magnitude do momento da força F em relação ao eixo x. M' = F* 7 0.3 − F& 7 0.25 = 17.42 Nm 𝐅 = 200 cos 120) 𝐢 + cos 60) 𝐣 + cos 45) 𝐤 𝐅 = −100 𝐢 + 100 𝐣 + 141.4 𝐤 Formulação escalar: Formulação vetorial: 𝐫 = 𝐎𝐀 = 0.3 𝐣 + 0.25 k r 23 Exemplo 3.1 24 𝐌! = 𝐫 × 𝐅 = 𝐢 𝐣 𝐤 0 0.3 0.25 −100 100 141.4 = 42.42 𝐢 − 25 𝐣 + 30 𝐤 − 25 𝐢 Formulação vetorial: 𝐌! = 17.42 𝐢 − 25 𝐣 + 30 𝐤 Produto misto: 𝑀' = 𝐢 7 𝐫 × 𝐅 = 1 0 0 0 0.3 0.25 −100 100 141.4 = 42.42 − 25 = 17.42 Nm ⟹ 𝑀' = 17.42 Nm 24 04/06/2021 5 Exemplo 3.2 25 Solução (unidades N e m): § Determine o momento resultante das 3 forças em torno do eixo AB. 𝐅 = 85 𝐢 + 45 𝐣 − 60 𝐤 Formulação vetorial: 𝐫 = 𝐁𝐎 = −2 𝐢 𝐮 = 𝐀𝐁 |𝐀𝐁| = 1 2.5 2 𝐢 − 1.5 𝐣 𝑀(- = 𝐮 7 𝐫 × 𝐅 = 0.8 −0.6 0 −2 0 0 85 45 −60 = 2 7 −0.6 7 −60 = 72 Nm 25 Exemplo 3.2 26 Formulação escalar: d q 𝑑 = 1.5 sen 𝜃 =1.5 2 2.5 = 1.2 m 𝑀(- = 60 7 𝑑 = 60 7 1.2 = 72 Nm 26 Exemplo 3.3 27 § Determine o momento da força F em relação ao eixo AB. 𝑥 𝑧 r 27
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