Representação de Vetores no R2 e R3

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CÁLCULO VETORIAL 
COM GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
Prof.: Ubiratan 
 
Aula 3 
REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Representação de um vetor por combinação 
linear de outros dois 
 Dois vetores não colineares definem um 
plano. 
 Qualquer vetor deste plano pode ser 
obtido por combinação linear desses vetores. 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Representação de um vetor por combinação 
linear de outros dois 
 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
 Na figura anterior u e v definem um plano. 
 
 {u, v}  Base do plano 
 {a, b}  Componentes ou coordenadas 
do vetor w em relação a esta base. 
 
 Num plano existem infinitas bases. 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Representação de um vetor no R2 
 Uma base ortonormal é uma base de 
vetores unitários e ortogonais entre si. 
 
 A base ortonormal mais utilizada é a base 
canônica representada pelos vetores {i , j } onde 
i = (1, 0) e j = (0, 1). 
 
 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Base Canônica 
 
 
 
 
 
u = uxi + uyj = (ux, uy) 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Igualdade de vetores 
 Dois vetores u = (ux, uy) e v = (vx, vy), são 
iguais se, e somente se: 
 
ux = vx 
uy = vy 
 
 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Operações analíticas com vetores 
 Dados os vetores u = (ux, uy) e 
v = (vx, vy), então: 
 
u ± v = (ux ± vx, uy ± vy) 
k. u = (k. ux, k. uy) 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Vetor definido por dois pontos 
 Se forem conhecidos os pontos origem e 
extremidade de um vetor, as coordenadas deste 
serão definidas pela diferença entre as 
coordenadas dos pontos extremidade e origem, 
nesta ordem. Esta forma é chamada de analítica. 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Vetor definido por dois pontos 
 
 Sejam os pontos A (xA, yA) e B (xB, yB), então o 
vetor AB é: 
AB = B − A 
AB = (xB – xA, yB – yA) 
 
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VETORES (DEFINIÇÃO E 
PROPRIEDADES) 
• Vetores no R3 
 Análogo ao R2, com acréscimo da terceira 
coordenada, cota, cujo vetor unitário é 
determinado por k = 0, 0, 1 . Assim: 
i = (1, 0, 0) 
j = (0, 1, 0) 
k = 0, 0, 1 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Igualdade de vetores 
 Dois vetores u = (ux, uy, uz) e 
v = (vx, vy, v𝑧), são iguais se, e somente se: 
 
ux = vx 
uy = vy 
u𝑧 = v𝑧 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Operações analíticas com vetores 
 Dados os vetores u = (ux, uy, uz) e 
v = (vx, vy, v𝑧), então: 
 
u ± v = (ux ± vx, uy ± vy, uz ± vz) 
k. u = (k. ux, k. uy, k. uz) 
 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Paralelismo de dois vetores 
 Se dois vetores u = (ux, uy, uz) e v = (vx, vy, v𝑧) 
são paralelos então um é múltiplo do outro. 
 
u = t . v 
(ux, uy, uz) = (tvx, tvy, tvz) 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
• Paralelismo de dois vetores 
 Podemos escrever também como: 
 
ux
vx
=
uy
vy
=
uz
vz
= t 
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CÁLCULO VETORIAL 
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ATIVIDADE 
REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
Dados os vetores abaixo, determine o vetor w. 
 u = 3i + 2j − k 
 v = (1, 0, −2) 
 
a) 2 u + v − 2w = 3 v − 2w + u 
b) 3w − 4 v − 2u = 4 2w − v + 3u 
 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
a) vetor u na forma analítica 
 u = (3, 2, – 1) 
isolando o vetor w, vem: 
 2u + 2v − 2w = 3v − 6w + u 
 −2w + 6w = 3v + u – 2u − 2v 
 4w = v − u 
 4w = (1, 0, −2) – (3, 2, – 1) = (– 2, – 2, – 1) 
 w = 
−2
4
,
−2
4
,
−1
4
= (
−1
2
,
−1
2
,
−1
4
) 
 
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REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
NO R2 E R3 
b) 3w − 4v + 8u = 8w − 4v + 3u 
 3w − 8w = −4v + 3u + 4v − 8u 
 −5w = −5u 
 w = u 
 w = (3, 2, −1) 
 
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