Método de Newton-Raphson para Cálculo de Raízes

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Cálculo Numérico – aula 6 
 
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (N-R) 
 
 Newton (1642-1727) publicou seu método para encontrar raízes de equação em 1687. 
Este método é também conhecido como Newton-Raphson devido à sistematização 
apresentada por Joseph Raphson em 1690. 
 
 O método N-R combina duas idéias básicas comuns nas aproximações numéricas: 
Linearização e Iteração. 
 
 Na Linearização procuramos substituir um problema complicado por sua aproximação 
linear, que costuma ser mais facilmente resolvida. 
 
 No caso do método de Newton-Raphson, a Linearização consiste em substituir a curva 
y=f(x) por sua reta tangente. 
 
 Seja uma aproximação inicial da raiz. Traçando a tangente no ponto 
obtemos a aproximação linear. Encontrado o ponto de intersecção da reta com o eixo x, 
encontramos uma nova aproximação , para a raiz. 
 
 O processo iterativo será obtido pela repetição do procedimento (onde obtemos 
). 
 
 
 
 Da figura acima temos: 
 
 
 
 
 Na repetição (nova iteração), calculamos a partir de por 
 
 
 
e assim sucessivamente. Portanto, a expressão geral será: 
 
Expressão Geral N-R 
 
 k = 0, 1, 2, ... (1) 
 
 
 Prosseguimos repetindo os cálculos até que a precisão desejada seja atingida. Para 
tanto, sendo ε a precisão desejada, iremos checar ao término de cada iteração se 
 (2) 
 
 Quando a expressão (2) for satisfeita diremos que o método convergiu. 
 
OBS: Nem sempre sabemos obter a derivada de f(x). Uma alternativa é substituir a 
tangente pela secante (Método da Secante), ou seja, trocar 
 
 
 
Neste caso, 
 
 
 
EXEMPLO: Dada , localizar a raiz existente no intervalo [2,3], 
usando . 
 
Expressão Geral: e . 
 
Mas, (a) 
 (b) 
 
Há duas maneiras de resolver: montando cada etapa da solução, ou montando uma tabela. 
 
Primeira Maneira 
 
1ª iteração 
 
logo devemos continuar desta maneira. 
 
 
Segunda Maneira 
 
xk f(xk) f´(xk) 
3,0000 3,0000 18,0000 - 
2,8333 0,2457 15,0828 0,1667 
2,8170 0,0015 14,8065 0,0163 
2,8169 -0,0002 14,8048 0,0001 
2,8169 0,0000 
 
r = 2,8169 
 
 
 
 
Exercício para ser entregue em aula: 
 
Para esta mesma função localizar as raízes existentes nos outros 
intervalos considerados, trabalhando com 4 casas decimais. 
a) [0,1] → 
b) [- 4,- 3] → 
 
Solução a) r = 0,3376 em 4 iterações 
 
 b) r = -3,1545 em 6 iterações