Eliminação de Gauss

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Cálculo Numérico – aula 7 
 
Sistemas Lineares - Método da Eliminação de Gauss 
 
 
O método direto de solução de sistemas lineares, mais popular, é o método da 
eliminação Gaussiana. A idéia central deste método é a de usar as três operações básicas 
definidas no processo de escalonamento de maneira à “triangularizar” o sistema, ou seja, 
partindo do sistema original, transforma-lo num sistema equivalente com matriz dos 
coeficientes triangular superior: 
 
 a11, a12, ..., ann e b1, b2, ...,bm são números reais. 
 
 
Que ficará assim: 
 
 
 
 
 
Da última equação teremos: 
 
 
 
 
xn-1 pode ser obtido da penúltima equação: 
 
 
 
 
e assim sucessivamente, até obtermos x1: 
 
 
 
Para procedermos ao escalonamento, usamos o método de Gauss que consiste em 
n-1 passos, onde construímos elementos a(k+1)ij a partir dos elementos a(k)ij considerando 
como [a(1)ij] a matriz inicial. 
PASSO k 
(para k=1,... n-1) 
• Se o pivot a(k)kk=0 então temos de trocar as linhas. 
• Se a(k)kk ≠ 0 calculamos 
mik=a(k)ik / a(k)kk i = k+1,... ,n 
a(k+1)ij=a(k)ij - mika(k)kj i, j = k+1, ..., n 
b(k+1)i=b(k)i - mikb(k)k i = k+1, ..., n 
No final dos n-1 passos obtemos o sistema triangular superior equivalente: 
 
 
que se pode resolver facilmente por substituição ascendente, conforme já 
mencionado: 
 
Armazenando os coeficientes mik podemos obter uma fatorização da matriz A na 
forma: 
 
 
caso não sejam efetuadas trocas de linhas. 
 
 
Exemplo 
 
Resolva o sistema linear pelo método de Gauss: 
 
 
representando matricialmente: 
 
 
 
 
1o passo – definir os pivôs, para cancelar a variável x das 2a e 3a linha.: 
 
 
 
 
 
 
2o passo – definir os pivôs, para cancelar a variável y da 3a linha.: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, resolver o sistema enunciado, é o mesmo que resolver o sistema 
equivalente: 
 
 
 
 
e a solução deste sistema é o vetor: