TRABALHO CALCULO ELEMENTAR AVA 1

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CENTRO UNIVERSITÁRIO JORGE AMADO 
 
 
 
JORGE HENRIQUE FARJALA FERRAZ SOUZA 
MAT: 193002075 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO ELEMENTAR 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho da Disciplina [AVA 1]: 
O problema da Dieta – programação linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Salvador - Bahia 
2019 
JORGE HENRIQUE FARJALA 
 
 
X1: quantidade de ração M em Kg 
 
X2: quantidade de ração N em Kg 
 
Determine as restrições e expressando-as como equações ou inequações 
dependentes das variáveis de decisão. Tais restrições são deduzidas da 
composição necessária para a dieta diária (em Kg): 
Nessa fase precisamos definir o que é necessário para alcançar a quantidade 
de cada componente usando as rações M (X1) e N(X2). 
Componente A: 0,1.X1 + 0.X2 ≥ 0.4 
Componente B: 0,X1 + 0,1.X2 ≥ 0.6 
Componente C: 0,1.X1 + 0,2.X2 ≥ 2 
Componente D: 0,2.X1 + 0,1.X2 ≥ 1.7 
 
Expressar todas as condições estabelecidas implicitamente pela natureza das 
variáveis: que não possam ser negativas, que sejam inteiras, que somente 
possam ter determinados valores, ... Neste caso, a única restrição é que as 
quantidades de ração que fazem parte da dieta não podem ser negativas: 
Condições para garantir que a quantidade de N e M (X1 e X2) sejam sempre 
positivas. 
X1 ≥ 0 
X2 ≥ 0 
 
 Determinar a função objetivo: 
 O que queremos? Minimizar os custos. Como iremos alcançar esse objetivo? 
Calculando os custos de X1 e X2 relacionado com a quantidade usada dos mesmos. 
 Minimizar Z = 0,2.X1 + 0,08.X2 
 
 A melhor solução é Z = 1,52 ou R$1,52 
 Sendo, X1 = 4 e X2 = 9 
 
Resolver utilizando o APPSimplex: http://www.phpsimplex.com 
 
Nós passamos o problema para a forma padrão, adicionando variáveis de excesso, 
de folga, e artificiais, onde necessário: 
 Como a restrição 1 é do tipo '≥' é necessária a variável de excesso X3 e a 
variável artificial X7. 
 Como a restrição 2 é do tipo '≥' é necessária a variável de excesso X4 e a 
variável artificial X8. 
 Como a restrição 3 é do tipo '≥' é necessária a variável de excesso X5 e a 
variável artificial X9. 
 Como a restrição 4 é do tipo '≥' é necessária a variável de excesso X6 e a 
variável artificial X10. 
MINIMIZAR: Z = 
0.2 X1 + 0.08 X2 
 
MAXIMIZAR: Z = -0.2 X1 -
0.08 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 
X6 + 0 X7 + 0 X8 + 0 X9 + 0 X10 
sujeito a 
0.1 X1 + 0 X2 ≥ 0.4 
0 X1 + 0.1 X2 ≥ 0.6 
0.1 X1 + 0.2 X2 ≥ 2 
0.2 X1 + 0.1 X2 ≥ 1.7 
sujeito a 
0.1 X1 -1 X3 + 1 X7 = 0.4 
0 X1 + 0.1 X2 -1 X4 + 1 X8 = 0.6 
0.1 X1 + 0.2 X2 -1 X5 + 1 X9 = 2 
0.2 X1 + 0.1 X2 -1 X6 + 1 X10 = 
1.7 
X1, X2 ≥ 0 
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, 
X9, X10 ≥ 0 
 
 
Tabela 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 
Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 
P7 -1 0.4 0.1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 
P8 -1 0.6 0 0.1 0 -1 0 0 0 1 0 0 
P9 -1 2 0.1 0.2 0 0 -1 0 0 0 1 0 
P10 -1 1.7 0.2 0.1 0 0 0 -1 0 0 0 1 
Z -4.7 -0.4 -0.4 1 1 1 1 0 0 0 0 
A variável que vai sair da base é P7 e a que entra P1. 
Operações intermédias 
Linha pivô (Linha 1): 
0.4 / 0.1 = 4 
0.1 / 0.1 = 1 
0 / 0.1 = 0 
-1 / 0.1 = -10 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
1 / 0.1 = 10 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
 
Linha 2: 
0.6 - (0 * 4) = 0.6 
0 - (0 * 1) = 0 
0.1 - (0 * 0) = 0.1 
0 - (0 * -10) = 0 
-1 - (0 * 0) = -1 
0 - (0 * 0) = 0 
0 - (0 * 0) = 0 
0 - (0 * 10) = 0 
1 - (0 * 0) = 1 
0 - (0 * 0) = 0 
0 - (0 * 0) = 0 
 
Linha 3: 
2 - (0.1 * 4) = 1.6 
0.1 - (0.1 * 1) = 0 
0.2 - (0.1 * 0) = 0.2 
0 - (0.1 * -10) = 1 
0 - (0.1 * 0) = 0 
-1 - (0.1 * 0) = -1 
0 - (0.1 * 0) = 0 
0 - (0.1 * 10) = -1 
0 - (0.1 * 0) = 0 
1 - (0.1 * 0) = 1 
0 - (0.1 * 0) = 0 
 
Linha 4: 
1.7 - (0.2 * 4) = 0.9 
0.2 - (0.2 * 1) = 0 
0.1 - (0.2 * 0) = 0.1 
0 - (0.2 * -10) = 2 
0 - (0.2 * 0) = 0 
0 - (0.2 * 0) = 0 
-1 - (0.2 * 0) = -1 
0 - (0.2 * 10) = -2 
0 - (0.2 * 0) = 0 
0 - (0.2 * 0) = 0 
1 - (0.2 * 0) = 1 
 
Linha Z: 
-4.7 - (-0.4 * 4) = -3.1 
-0.4 - (-0.4 * 1) = 0 
-0.4 - (-0.4 * 0) = -0.4 
1 - (-0.4 * -10) = -3 
1 - (-0.4 * 0) = 1 
1 - (-0.4 * 0) = 1 
1 - (-0.4 * 0) = 1 
0 - (-0.4 * 10) = 4 
0 - (-0.4 * 0) = 0 
0 - (-0.4 * 0) = 0 
0 - (-0.4 * 0) = 0 
Tabela 2 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 
Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 
P1 0 4 1 0 -10 0 0 0 10 0 0 0 
P8 -1 0.6 0 0.1 0 -1 0 0 0 1 0 0 
P9 -1 1.6 0 0.2 1 0 -1 0 -1 0 1 0 
P10 -1 0.9 0 0.1 2 0 0 -1 -2 0 0 1 
Z -3.1 0 -0.4 -3 1 1 1 4 0 0 0 
A variável que vai sair da base é P10 e a que entra P3. 
Operações intermédias 
Linha pivô (Linha 4): 
0.9 / 2 = 0.45 
0 / 2 = 0 
0.1 / 2 = 0.05 
2 / 2 = 1 
0 / 2 = 0 
0 / 2 = 0 
-1 / 2 = -0.5 
-2 / 2 = -1 
0 / 2 = 0 
0 / 2 = 0 
1 / 2 = 0.5 
 
Linha 1: 
4 - (-10 * 0.45) = 8.5 
1 - (-10 * 0) = 1 
0 - (-10 * 0.05) = 0.5 
-10 - (-10 * 1) = 0 
0 - (-10 * 0) = 0 
0 - (-10 * 0) = 0 
0 - (-10 * -0.5) = -5 
10 - (-10 * -1) = 0 
0 - (-10 * 0) = 0 
0 - (-10 * 0) = 0 
0 - (-10 * 0.5) = 5 
 
Linha 2: 
0.6 - (0 * 0.45) = 0.6 
0 - (0 * 0) = 0 
0.1 - (0 * 0.05) = 0.1 
0 - (0 * 1) = 0 
-1 - (0 * 0) = -1 
0 - (0 * 0) = 0 
0 - (0 * -0.5) = 0 
0 - (0 * -1) = 0 
1 - (0 * 0) = 1 
0 - (0 * 0) = 0 
0 - (0 * 0.5) = 0 
 
Linha 3: 
1.6 - (1 * 0.45) = 1.15 
0 - (1 * 0) = 0 
0.2 - (1 * 0.05) = 0.15 
1 - (1 * 1) = 0 
0 - (1 * 0) = 0 
-1 - (1 * 0) = -1 
0 - (1 * -0.5) = 0.5 
-1 - (1 * -1) = 0 
0 - (1 * 0) = 0 
1 - (1 * 0) = 1 
0 - (1 * 0.5) = -0.5 
 
Linha Z: 
-3.1 - (-3 * 0.45) = -1.75 
0 - (-3 * 0) = 0 
-0.4 - (-3 * 0.05) = -0.25 
-3 - (-3 * 1) = 0 
1 - (-3 * 0) = 1 
1 - (-3 * 0) = 1 
1 - (-3 * -0.5) = -0.5 
4 - (-3 * -1) = 1 
0 - (-3 * 0) = 0 
0 - (-3 * 0) = 0 
0 - (-3 * 0.5) = 1.5 
 
 
Tabela 3 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 
Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 
P1 0 8.5 1 0.5 0 0 0 -5 0 0 0 5 
P8 -1 0.6 0 0.1 0 -1 0 0 0 1 0 0 
P9 -1 1.15 0 0.15 0 0 -1 0.5 0 0 1 -0.5 
P3 0 0.45 0 0.05 1 0 0 -0.5 -1 0 0 0.5 
Z -1.75 0 -0.25 0 1 1 -0.5 1 0 0 1.5 
A variável que vai sair da base é P9 e a que entra P6. 
Operações intermédias: 
Linha pivô (Linha 3): 
1.15 / 0.5 = 2.3 
0 / 0.5 = 0 
0.15 / 0.5 = 0.3 
0 / 0.5 = 0 
0 / 0.5 = 0 
-1 / 0.5 = -2 
0.5 / 0.5 = 1 
0 / 0.5 = 0 
0 / 0.5 = 0 
1 / 0.5 = 2 
-0.5 / 0.5 = -1 
 
Linha 1: 
8.5 - (-5 * 2.3) = 20 
1 - (-5 * 0) = 1 
0.5 - (-5 * 0.3) = 2 
0 - (-5 * 0) = 0 
0 - (-5 * 0) = 0 
0 - (-5 * -2) = -10 
-5 - (-5 * 1) = 0 
0 - (-5 * 0) = 0 
0 - (-5 * 0) = 0 
0 - (-5 * 2) = 10 
5 - (-5 * -1) = 0 
Linha 2: 
0.6 - (0 * 2.3) = 0.6 
0 - (0 * 0) = 0 
0.1 - (0 * 0.3) = 0.1 
0 - (0 * 0) = 0 
-1 - (0 * 0) = -1 
0 - (0 * -2) = 0 
0 - (0 * 1) = 0 
0 - (0 * 0) = 0 
1 - (0 * 0) = 1 
0 - (0 * 2) = 0 
0 - (0 * -1) = 0 
 
Linha 4: 
0.45 - (-0.5 * 2.3) = 1.6 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
0.05 - (-0.5 * 0.3) = 0.2 
1 - (-0.5 * 0) = 1 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
0 - (-0.5 * -2) = -1 
-0.5 - (-0.5 * 1) = 0 
-1 - (-0.5 * 0) = -1 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
0 - (-0.5 * 2) = 1 
0.5 - (-0.5 * -1) = 0 
 
Linha Z: 
-1.75 - (-0.5 * 2.3) = -0.6 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
-0.25 - (-0.5 * 0.3) = -0.1 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
1 - (-0.5 * 0) = 1 
1 - (-0.5 * -2) = 0 
-0.5 - (-0.5 * 1) = 0 
1 - (-0.5 * 0) = 1 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
0 - (-0.5 * 2) = 1 
1.5 - (-0.5 * -1) = 1 
Tabela 4 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 
Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 
P1 0 20 1 2 0 0 -10 0 0 0 10 0 
P8 -1 0.60 0.1 0 -1 0 0 0 1 0 0 
P6 0 2.3 0 0.3 0 0 -2 1 0 0 2 -1 
P3 0 1.6 0 0.2 1 0 -1 0 -1 0 1 0 
Z -0.6 0 -0.1 0 1 0 0 1 0 1 1 
A variável que vai sair da base é P8 e a que entra P2. 
Operações intermédias: 
Linha pivô (Linha 2): 
0.6 / 0.1 = 6 
0 / 0.1 = 0 
0.1 / 0.1 = 1 
0 / 0.1 = 0 
-1 / 0.1 = -10 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
1 / 0.1 = 10 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
 
Linha 1: 
20 - (2 * 6) = 8 
1 - (2 * 0) = 1 
2 - (2 * 1) = 0 
0 - (2 * 0) = 0 
0 - (2 * -10) = 20 
-10 - (2 * 0) = -10 
0 - (2 * 0) = 0 
0 - (2 * 0) = 0 
0 - (2 * 10) = -20 
10 - (2 * 0) = 10 
0 - (2 * 0) = 0 
 
Linha 3: 
2.3 - (0.3 * 6) = 0.5 
0 - (0.3 * 0) = 0 
0.3 - (0.3 * 1) = 0 
0 - (0.3 * 0) = 0 
0 - (0.3 * -10) = 3 
-2 - (0.3 * 0) = -2 
1 - (0.3 * 0) = 1 
0 - (0.3 * 0) = 0 
0 - (0.3 * 10) = -3 
2 - (0.3 * 0) = 2 
-1 - (0.3 * 0) = -1 
 
Linha 4: 
1.6 - (0.2 * 6) = 0.4 
0 - (0.2 * 0) = 0 
0.2 - (0.2 * 1) = 0 
1 - (0.2 * 0) = 1 
0 - (0.2 * -10) = 2 
-1 - (0.2 * 0) = -1 
0 - (0.2 * 0) = 0 
-1 - (0.2 * 0) = -1 
0 - (0.2 * 10) = -2 
1 - (0.2 * 0) = 1 
0 - (0.2 * 0) = 0 
 
Linha Z: 
-0.6 - (-0.1 * 6) = 0 
0 - (-0.1 * 0) = 0 
-0.1 - (-0.1 * 1) = 0 
0 - (-0.1 * 0) = 0 
1 - (-0.1 * -10) = 0 
0 - (-0.1 * 0) = 0 
0 - (-0.1 * 0) = 0 
1 - (-0.1 * 0) = 1 
0 - (-0.1 * 10) = 1 
1 - (-0.1 * 0) = 1 
1 - (-0.1 * 0) = 1 
 
 
Tabela 5 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 
Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 
P1 0 8 1 0 0 20 -10 0 0 -20 10 0 
P2 0 6 0 1 0 -10 0 0 0 10 0 0 
P6 0 0.5 0 0 0 3 -2 1 0 -3 2 -1 
P3 0 0.4 0 0 1 2 -1 0 -1 -2 1 0 
Z 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 
Existe alguma solução possível para o problema, assim nós podemos passar para a 
Fase II para calcula-la. 
Método Simplex 
Operações intermédias 
Remover as colunas correspondentes às variáveis artificiais. 
 
Modificar a linha da função objetivo do problema original. 
 
Calcular a linha Z: 
-(0) + (-0.2 * 8) + (-0.08 * 6) + (0 * 0.5) + (0 * 0.4) = -2.08 
-(-0.2) + (-0.2 * 1) + (-0.08 * 0) + (0 * 0) + (0 * 0) = 0 
-(-0.08) + (-0.2 * 0) + (-0.08 * 1) + (0 * 0) + (0 * 0) = 0 
-(0) + (-0.2 * 0) + (-0.08 * 0) + (0 * 0) + (0 * 1) = 0 
-(0) + (-0.2 * 20) + (-0.08 * -10) + (0 * 3) + (0 * 2) = -3.2 
-(0) + (-0.2 * -10) + (-0.08 * 0) + (0 * -2) + (0 * -1) = 2 
-(0) + (-0.2 * 0) + (-0.08 * 0) + (0 * 1) + (0 * 0) = 0 
Tabela 1 -0.2 -0.08 0 0 0 0 
Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 
P1 -0.2 8 1 0 0 20 -10 0 
P2 -0.08 6 0 1 0 -10 0 0 
P6 0 0.5 0 0 0 3 -2 1 
P3 0 0.4 0 0 1 2 -1 0 
Z -2.08 0 0 0 -3.2 2 0 
A variável que vai sair da base é P6 e a que entra P4. 
Linha pivô (Linha 3): 
0.5 / 3 = 0.16666666666667 
0 / 3 = 0 
0 / 3 = 0 
0 / 3 = 0 
3 / 3 = 1 
-2 / 3 = -0.66666666666667 
1 / 3 = 0.33333333333333 
 
Linha 1: 
8 - (20 * 0.16666666666667) = 4.6666666666667 
1 - (20 * 0) = 1 
0 - (20 * 0) = 0 
0 - (20 * 0) = 0 
20 - (20 * 1) = 0 
-10 - (20 * -0.66666666666667) = 3.3333333333333 
0 - (20 * 0.33333333333333) = -6.6666666666667 
 
Linha 2: 
6 - (-10 * 0.16666666666667) = 7.6666666666667 
0 - (-10 * 0) = 0 
1 - (-10 * 0) = 1 
0 - (-10 * 0) = 0 
-10 - (-10 * 1) = 0 
0 - (-10 * -0.66666666666667) = -6.6666666666667 
0 - (-10 * 0.33333333333333) = 3.3333333333333 
 
Linha 4: 
0.4 - (2 * 0.16666666666667) = 0.066666666666667 
0 - (2 * 0) = 0 
0 - (2 * 0) = 0 
1 - (2 * 0) = 1 
2 - (2 * 1) = 0 
-1 - (2 * -0.66666666666667) = 0.33333333333333 
0 - (2 * 0.33333333333333) = -0.66666666666667 
 
Linha Z: 
-2.08 - (-3.2 * 0.16666666666667) = -1.5466666666667 
0 - (-3.2 * 0) = 0 
0 - (-3.2 * 0) = 0 
0 - (-3.2 * 0) = 0 
-3.2 - (-3.2 * 1) = 0 
2 - (-3.2 * -0.66666666666667) = -0.13333333333333 
0 - (-3.2 * 0.33333333333333) = 1.0666666666667 
Tab
ela 2 
 
-
0.
2 
-
0.
08 
0 0 0 0 
Base Cb P0 P
1 P2 
P
3 
P
4 P5 P6 
P1 
-
0.
2 
4.6666666666
667 
1 0 0 0 
3.333333333
3333 
-
6.666666666
6667 
P2 
-
0.
08 
7.6666666666
667 
0 1 0 0 
-
6.666666666
6667 
3.333333333
3333 
P4 0 
0.1666666666
6667 
0 0 0 1 
-
0.666666666
66667 
0.333333333
33333 
P3 0 
0.0666666666
66667 
0 0 1 0 
0.333333333
33333 
-
0.666666666
66667 
Z 
-
1.5466666666
667 
0 0 0 0 
-
0.133333333
33333 
1.066666666
6667 
A variável que vai sair da base é P3 e a que entra P5. 
Operações intermédias: 
Linha pivô (Linha 4): 
0.066666666666667 / 0.33333333333333 = 0.2 
0 / 0.33333333333333 = 0 
0 / 0.33333333333333 = 0 
1 / 0.33333333333333 = 3 
0 / 0.33333333333333 = 0 
0.33333333333333 / 0.33333333333333 = 1 
-0.66666666666667 / 0.33333333333333 = -2 
 
Linha 1: 
4.6666666666667 - (3.3333333333333 * 0.2) = 4 
1 - (3.3333333333333 * 0) = 1 
0 - (3.3333333333333 * 0) = 0 
0 - (3.3333333333333 * 3) = -10 
0 - (3.3333333333333 * 0) = 0 
3.3333333333333 - (3.3333333333333 * 1) = 0 
-6.6666666666667 - (3.3333333333333 * -2) = 0 
 
Linha 2: 
7.6666666666667 - (-6.6666666666667 * 0.2) = 9 
0 - (-6.6666666666667 * 0) = 0 
1 - (-6.6666666666667 * 0) = 1 
0 - (-6.6666666666667 * 3) = 20 
0 - (-6.6666666666667 * 0) = 0 
-6.6666666666667 - (-6.6666666666667 * 1) = 0 
3.3333333333333 - (-6.6666666666667 * -2) = -10 
 
Linha 3: 
0.16666666666667 - (-0.66666666666667 * 0.2) = 0.3 
0 - (-0.66666666666667 * 0) = 0 
0 - (-0.66666666666667 * 0) = 0 
0 - (-0.66666666666667 * 3) = 2 
1 - (-0.66666666666667 * 0) = 1 
-0.66666666666667 - (-0.66666666666667 * 1) = 0 
0.33333333333333 - (-0.66666666666667 * -2) = -1 
 
Linha Z: 
-1.5466666666667 - (-0.13333333333333 * 0.2) = -1.52 
0 - (-0.13333333333333 * 0) = 0 
0 - (-0.13333333333333 * 0) = 0 
0 - (-0.13333333333333 * 3) = 0.4 
0 - (-0.13333333333333 * 0) = 0 
-0.13333333333333 - (-0.13333333333333 * 1) = 0 
1.0666666666667 - (-0.13333333333333 * -2) = 0.8 
Tabela 3 -0.2 -0.08 0 0 0 0 
Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 
P1 -0.2 4 1 0 -10 0 0 0 
P2 -0.08 9 0 1 20 0 0 -10 
P4 0 0.3 0 0 2 1 0 -1 
P5 0 0.2 0 0 3 0 1 -2 
Z -1.52 0 0 0.4 0 0 0.8 
A solução ótima é Z = 1.52 
X1 = 4 
X2 = 9 
Método Gráfico 
 
MINIMIZAR: Z = 0.2 X1 + 0.08 X2 
0.1 X1 + 0 X2 ≥ 0.4 
0 X1 + 0.1 X2 ≥ 0.6 
0.1 X1 + 0.2 X2 ≥ 2 
0.2 X1 + 0.1 X2 ≥ 1.7 
X1, X2 ≥ 0 
 
O problema é ilimitado mas como um problema de minimização é possível 
encontrar uma solução. 
 
 
 
Ponto Coordenada X (X1) Coordenada Y (X2) Valor da função (Z) 
O 0 0 0 
A 4 0 0.8 
B 4 6 1.28 
C 4 8 1.44 
D 4 9 1.52 
E 0 6 0.48 
F 8 6 2.08 
G 5.5 6 1.58 
H 0 10 0.8 
I 20 0 4 
J 4.6666666666667 7.6666666666667 1.5466666666667 
K 0 17 1.36 
L 8.5 0 1.7 
 
NOTA: 
Verde são os pontos em que a solução seja encontrada. 
Vermelho são os pontos fora da região viável. 
 
Nesse exercício é possível verificar qual a forma de gastar o mínimo possível, 
independentemente da quantidade de ração utilizada, atendendo as condições 
mínimas dos componentes A, B, C e D. 
Usando o raciocínio lógico, como uma maneira alternativa de ser encontrar a solução, 
teríamos: 
O componente A só existe na ração M (X1), que apesar de ser mais cara (R$0,20), foi 
necessário o uso de 4 unidades para atender a esse requisito. 
O componente B só existe na ração N (X2), então era necessário para atender esse 
requisito o uso de 6 unidades da mesma. 
 Nesse caso o composto ficaria A – 400, B – 600, C – 1600 e D – 1400. Faltando 
então C – 400 e D – 500. 
 
Para atender as condições do componenteC e D, foi utilizada 5 unidades da ração N, 
pois a proporção do seu custo (R$0,08) contra a ração M (R$0,20) é de 2,5, maior do 
que a relação entre a quantidade dos componentes, componente C tem relação de 
0,5 enquanto que o D é de 2, logo mais vantajoso para a nossa finalidade. 
 
 
 
Uma outra maneira seria fazendo cálculos básicos, segue: 
0,1.x1 + 0.x2 ≥ 0,4 
X1≥4 
 
0.x1 + 0,1.x2 ≥ 0,6 
X2 ≥ 6 
 
0,1.x1 + 0,2.x2 ≥ 2 0,1.x1 + 0,2.x2 ≥ 2 
0,2.x2 ≥ 2 – 0,1.x1 0,1.x1 ≥ 2 – 0,2.x2 
0,2.x2 ≥ 2 – 0,4 0,1.x1 ≥ 2 – 1,2 
0,2.x2 ≥ 1,6 0,1.x1 ≥ 0,8 
X2 ≥ 8 X1 ≥ 8 
 
0,2.x1 + 0,1.x2 ≥ 1,7 0,2.x1 + 0,1.x2 ≥ 1,7 
0,1.x2 ≥ 1,7 – 0,2.x1 0,2.x1 ≥ 1,7 – 0,1.x2 
0,1.x2 ≥ 1,7 – 0,8 0,2.x1 ≥ 1,7 – 0,6 
0,1.x2 ≥ 0,9 0,2.x1 ≥ 1,1 
X2 ≥ 9 X1 ≥ 5,5 
 
Sendo assim, para atender a todos os requisitos demonstrados acima, sendo x1 = 4 
(mínimo possível) X2 deve ser maior ou igual 9, para sendo X2 = 6 (mínimo possível) 
X1 deve ser igual ou maior que 8. 
 
Trazendo isso para nossa função objetivo: 
 Ex1: Z = 0,2.X1 + 0,08.X2 
 Z = 0,2.4 + 0,08.9 
 Z = 1,52 ou R$1,52 
 
 OU 
 
 Ex2: Z = 0,2.X1 + 0,08.X2 
 Z = 0.2.8 + 0,08.6 
 Z = 2,08 ou R$2,08 
 
Sendo o Ex1, com X1=4, X2=9 e Z=1,52 a melhor opção possível.