Series de Fourier - Pelaes

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ANÁLISE DE FOURIER
Teoria das Comunicações
Prof. Dr. Evaldo G. Pelaes
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Sinais e espectros
Os sinais são compostos de várias componentes senoidais (Série de Fourier)
Generalização  Transformada de Fourier
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Operação transformada
A fim de se realizar uma operação de transformação, deve-se inicialmente modelar matematicamente o sinal.
Objetivo: 
Série de Fourier;
Transformada de Fourier;
Relação entre ambas.
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Fasores e espectro de linhas
Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão:
Utilizando-se da relação de Euler, tal que:
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Representação fasorial
Pode-se expressar o sinal senoidal por um fasor, tal como na figura abaixo:
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Espectro de linhas
Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão:
A relação de Euler é dada por:
Portanto:
, 
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Espectro de amplitude e espectro de fase
Pode-se representar o sinal senoidal pelos seus espectros de amplitude e de fase.
Espectro de Amplitude Espectro de Fase 
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Exemplo 1
Dado o sinal:
Cuja forma de onda é:
Determinar o seu espectro de freqüência (amplitude e fase)
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Solução
O sinal pode ser reescrito como:
Assim, o seu espectro de freqüências será:
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Análise de Fourier
Dado um sinal periódico no tempo, g(t), pode-se escrever o sinal como um somatório de funções senoidais.
Este somatório é definido como Série de Fourier
Onde fo = 1 / T é a frequência fundamental de g(t) e
T é o período do sinal g(t).
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Série de Fourier
Seja uma função periódica de período T. Esta função pode ser representada pela série de Fourier Trigonométrica:
onde f0 = 1/T
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Ortogonalidade das funções seno e coseno
Definição de ortogonalidade:
	Um conjunto de funções {k(t)} é dita ortogonal em um intervalo a < t < b se, para quaisquer duas funções m(t) e n(t) no conjunto {k(t)} é válida a relação 
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Ortogonalidade das funções seno e cosseno
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Série de Fourier Trigonométrica
Cálculo dos coeficientes 
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Exemplo 2
Determinar a transformada de Fourier do sinal
 O gráfico em função do tempo é dado por:
Período
T = 1
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Exemplo 2: Cálculo do a0 e an 
Valor médio
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Exemplo 2
Cálculo de bn
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Exemplo 2
A série de Fourier fica então assim:
Observe que a série só tem termos em seno.
Porque ?
Toda vez que g(t) for uma função ímpar, só
terá termos em seno. 
Se for par, só terá termos em coseno. 
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Exemplo 2
 Supondo uma onda quadrada de freqüência f0=1 Hz.
 Tomando-se somente o primeiro termo da série de Fourier , tem-se:
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Exemplo 2
Tomando-se os dois primeiros termos:
A forma de onda é:
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Exemplo 2
Tomando-se os três primeiros termos
A forma de onda é:
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Exemplo 1
Tomando-se os 5 primeiros termos
A forma de onda é :
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Série de Fourier Complexa
Seja f(t) uma função periódica com período T.
A expansão de f(t) em série de Fourier é dada por:
Mas,
Substituindo , tem-se:
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Série de Fourier Complexa
Chamando
A Série de Fourier Complexa pode ser escrita como:
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Exemplo 3
Determinar a representação em série de Fourier complexa
do sinal g(t), mostrado na figura.
g(t)
A
- 2T0 - T0 0 T0 2T0 
T
Período: T0
Duração: T
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Exemplo 3
Calculo dos coeficientes complexos da série de Fourier.
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Espectro de Amplitude de g(t): |Cn| 
Espectro de Amplitude
Supondo que T = T0/5
T = 1; T0 = 5;
|Cn|
-1/T 0 1/T0 . . . 5/T0= 1/T n/T0 
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Teorema de Parseval
A potência em um sinal periódico, supondo que a sua função do tempo seja a voltagem e em um resistor de 1  é dada por:
O teorema de Parseval nos permite calcular a potência do sinal através dos seus coeficientes complexos, através de:
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Transformada de Fourier
É uma generalização da série de Fourier. 
g(t)
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Transformada de Fourier - Exemplo 4
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Transformada de Fourier
Par de Transformadas
-4/T -3/T -2/T 1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T 
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Deslocamento no tempo
Escalonamento
Diferenciação
Integração
Propriedades da Transformada de Fourier
Seja o para de transformada
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Transformada de Fourier
A transformada de Fourier é uma transformada complexa, tem parte real e imaginária, ou seja:
Propriedades da Transformada de Fourier:
a) Linearidade
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Propriedades da Transformada de Fourier
Deslocamento na frequência
Como 
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Propriedades da Transformada de Fourier
Dualidade
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Função delta de Dirac
Algumas funções são de extrema utilidade na análise de sinais. Uma delas é o Delta de Dirac, definida como:
Uma característica importante é que a integral da função desde - a + , ou seja:
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A função degrau
A função degrau é definida como:
1
u(t)
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Função Delta de Dirac
Propriedades:
Usa-se a propriedade 1 para calcular a transformada de Fourier de 
1.
2.
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Transformada de Fourier
Dualidade:
Deslocamento no tempo: 
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Convolução
Sejam duas funções f1(t) e f2(t). Define-se a convolução entre estas funções como sendo:
Propriedades da convolução
No domínio da frequência
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Convolução
Determine a convolução entre os dois pulsos retangulares, g1(t) e g1(t).
g1(t)
g2(t)
 0 2 t
0 1 2 t
g2(t-) g1()
g1(t)*g2(t)
-2 0 2 4  
0 2 4 t
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Convolução
Determine a convolução entre os dois pulsos retangulares, g1(t) e g1(t).
g1(t)
g2(t)
 0 2 t
0 1 t
g2(t-) g1()
g1(t)*g2(t)
-2 0 2 4  
0 2 4 t
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Convolução
Determine a convolução entre os dois pulsos retangulares, g1(t) e g1(t).
g1(t)
g2(t)
 0 2 t
0 1 t
g2(t-) g1()
g1(t)*g2(t)
-2 0 2 4  
0 2 4 t
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Convolução
Determine a convolução entre os dois pulsos retangulares, g1(t) e g1(t).
g1(t)
g2(t)
 0 2 t
0 1 t
 
g2(t-) g1()
g1(t)*g2(t)
-2 0 2 4  
0 2 4 t
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Convolução
Determine a convolução entre os dois pulsos retangulares, g1(t) e g1(t).
g1(t)
g2(t)
 0 2 t
0 1 t
 
g2(t-) g1()
g1(t)*g2(t)
-2 0 2 4 6  
0 2 4 6 t
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Convolução
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Transformada de Fourier
Propriedades g(t) G(f)
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Pares de Transformadas de Fourier
Função Domínio do tempo g(t) Domínio da frequência G(f) 
Retângulo
Pulso Triângular
Degrau unitário
Signum
Constante
Delta
Sinc
Fasor
Coseno
Pulso gaussiano
Exponencial
Exponencial
Trem de impulsos
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Filtros
Os filtros podem ser caracterizados em passa baixas, passa faixas e passa altas.
Filtro passa baixas ideal:
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Filtros Ideais
Filtro passa-altas Filtro passa-faixa
H(f)
1
fc 0 fcf