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CAMPUS UBERLÂNDIA 
 
CICLO DE PALESTRAS PARA O ENADE DE 
ENGENHARIA CIVIL 
COMPONENTE: CÁLCULO BÁSICO APLICADO 
 PROFESSOR : JOÃO ALEXANDRE 
 
 
 Os métodos aprendidos para encontrar valores extremos tem 
aplicações práticas em muitas áreas do dia a dia. Um homem de 
negócios quer minimizar custos e maximizar lucros. Um viajante quer 
minimizar o tempo de transporte. Agora vamos resolver problemas tais 
como maximizar áreas, volumes e lucros e minimizar distâncias, tempo 
e custos. 
 Na solução de tais problemas práticos o maior desafio está 
frequentemente em converter o problema em um problema de 
otimização matemática, estabelecendo a função que deve ser 
maximizada ou minimizada. Vamos lembrar os princípios do problema-
solução discutidos e adaptá-los para esta situação. 
 
 APLICAÇÕES DO CÁLCULO BÁSICO 
 
Questão 01 – Determine a equação da reta tangente à curva 
9)( 2 +== xxfy
no ponto de abscissa 4. 
 
Solução: 
Seja a função: 
9)( 2 +== xxfy
 no ponto de abscissa 4(x=4). 
 
1-O coeficiente angular(m) da reta é dado pela derivada primeira da função 
f(f’(x)). Assim, temos 
 
f(x)=(x2+9)1/2 ⤳ f’(x)= 
1
2
(x2+9)(1/2-1).(2x) ⤳ f’(x)=m= x(x2+9)-1/2 
 
 ⤳ m = f’(x) = 
x
√x2+9
. 
 
Para x =4 ⤳ m=f’(4)= 
4
√42+9
 ⤳ m = 
4
5
 e f(4)=𝑦 = √42 + 9 ⤳ m = f(4) =5. 
 
Temos o coeficiente angular da reta m = 
4
5
 e o ponto (4,5) por onde a reta 
 
tangencia a função 
9)( 2 +== xxfy
. 
 
2-Equação da reta tangente: y – f(x1) = m(x - x1) substituindo os valores, 
temos: 
 m = 
4
5
 ⤳ y – 5 = 
4
5
 (x – 4) ⤳ 4x -5y+9=0. 
 (4 , 5) 
 
 
Questão 02 – De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura 
deve-se fazer uma calha dobrando-se as bordas perpendicularmente à folha. 
Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha 
tenha capacidade máxima? 
R.: 7,5 cm 
 
Solução: 
 
 x 
 
 30cm 
 
 x 
 
 L 
 
 
 
Devemos montar a equação do volume do sólido originado da dobra da folha 
retangular de metal. O sólido gerado é um Prisma retangular aberto em cima e 
o volume da calha se aproxima do volume do Prisma. Portanto, temos: 
 
 Vcalha = Vprisma = Abase . h 
 
Vcalha = (30 – 2x).x.L ⤳ Vcalha = 30Lx – 2Lx2 
 
Com o volume da calha, devemos derivar e igualar a zero, pois assim teremos 
o valor de x(dobra) para que tenhamos o maior volume possível da calha. 
 
 
 ⤳ Vcalha = 30Lx – 2Lx2 ( L é o comprimento da calha, 
portanto é uma constante e não interfere nos cálculos) 
 
 V’ (x) = 0 
 
 30L – 4Lx = 0 ⤳ x = 
30L
4𝐿
 x = 7,5 cm 
 
Assim, devemos dobrar 7,5 cm de cada lado para que a calha tenha sua 
capacidade máxima. 
 
 
 
 
Questão 03 – Um construtor deseja construir um reservatório cilíndrico, 
fechado em cima, com capacidade de 6280 m3. Sabendo que o preço da chapa 
de aço é de R$ 50,00 o metro quadrado e use 
14,3
, determine: 
a) Suas dimensões de forma que o custo seja mínimo. 
b) O valor do custo mínimo. 
 
Resolução 
 
 R 
 
 
 
 
 h h 
 
 
 2πR 
 
 R 
 
 
 
 
Capacidade ou Volume do cilindro é dado pela fórmula 
 
 
Vcilindro = Abase . h ⤳ Vcilindro = πR2 . h = 6280 m3 ⤳ h = 
𝟔𝟐𝟖𝟎
𝝅𝑹𝟐
 (I) 
 
 
Devemos montar agora a equação do custo para construir o reservatório 
cilíndrico. Esse material ele é comprado em metros quadrados, portanto 
devemos calcular o preço através da área total do cilindro. 
 
 
Atotal = Alateral +2Abase = 2πR .h+2πR2 
 
 
 ⤳ Ctotal =( Atotal ). Custo/m2 = ( 2πR h+2πR2 ) . 50 
 
 
 Ctotal = 2πR(h +R).50 ⤳ Ctotal = 2πR(
6280
𝜋𝑅2
 +R).50 
 
 
 C(x) = 
628000
𝑅1
 +100πR2 ⤳ Ctotal = 628000.R-1 + 100πR2 
 
 
 
Devemos agora derivar e igualar a zero para que possamos achar o valor 
mínimo do raio do cilindro que queremos calcular gastando o mínimo possível. 
 
 
 C ’ ( R ) = 0 
 
 
 
 - 628000R-2 + 200πR = 0 ⤳ 200πR = 
628000
𝑅2
 ⤳ R3 = 
628000
200𝜋
 
 
 
 ⤳ R = √
628000
200𝜋
3
 ⤳ R = 10 m 
 
 
Voltando na equação (I), temos que a altura do cilindro é h = 20m. 
 
 
 Assim concluímos que as dimensões do reservatório cilíndrico deve se de 
 
10m de raio e 20m de altura com uma capacidade de 6280 m3 . 
 
 
 
 
 
b) O custo mínimo é dado pela equação do custo total para construir o 
reservatório cilíndrico. Portanto, demos que 
 
 C ( R ) = 628000R-1 + 100πR2 ou C(x) = 
628000
𝑅1
 +100πR2 , 
 
 
substituindo o R=10m , temos: 
 
 
 
 C(x) = 
628000
10
 +100π(10)2 ⤳ C (R) = R$ 94.200,00 
 
 
 Portanto, o custo para construção desse reservatório cilíndrico com um 
 
orçamento mínimo é de R$ 94.200,00. 
 
 
 
 
Questão 04 – Suponhamos que a equação de demanda para uma certa 
mercadoria seja dada por p = 4 – 0,0002x onde x é o número de unidades 
produzidas semanalmente e p é o preço de cada unidade. O custo total de 
produção de x unidades desse produto é dado por 600 +3x. Se o lucro 
semanal deve ser o maior possível, encontre: 
a) O número de unidades que serão produzidas por semana;(2500) 
b) O preço de cada unidade;(R$3,50) 
c) O lucro semanal.(R$ 650,00) 
 
Resolução 
 
Equação da demanda : P = 4 - 0,0002x 
 
Equação do custo total de produção de x unidades: c = 600 +3x 
 
Onde: 
x - representa o número de unidades produzidas 
p - é o preço de cada unidade do produto 
c - é o custo total de produção de x unidades 
 
a) Sabemos que a equação que nos dá o lucro de uma mercadoria é dado 
por: 
 
 LUCRO = RECEITA(VENDA) – CUSTO (L = R – C ) 
 
 L = x p - c 
 
L(x) = x(4 - 0,0002x) – (600 + 3x) 
 
 
 ⤳ L(x) = - 0,0002x2 +x – 600 
 
 
 Se o lucro semanal deve ser o maio possível, devemos fazer a derivada da 
 
equação que nos dá o lucro e igualar a zero. Assim encontraremos o número 
 
máximo de unidades que deverá ser vendida para obter esse lucro. 
 
 
 L’(x) = 0 
 
 
 - 0,0004x +1 = 0 ⤳ x = 
1
0,0004
 ⤳ x = 2.500 unidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) p - é o preço de cada unidade do produto 
 
 
 P = 4 - 0,0002x 
 
 
 p = 4 – 0,0002(2.500) 
 
 
 ⤳ p = R$ 3,50 
 
 
 c) Lucro semanal: 
 
 
 L(x) = - 0,0002x2 +x – 600 
 
 
 L(2.500) = - 0,0002(2.500)2 + 2.500 - 600 
 
 
 ⤳ L(2.500) = R$ 650,00Questão 05 – Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade 
cxxxxsendxxf +−−=
2
2
1
)cos(.)()(
, determine o valor de f(
).
4

. 
Resolução 
 
Definição da Integral Indefinida 
 
 
 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪 F’(x) = f(x) 
 
 
Assim, na integral dada 
cxxxxsendxxf +−−=
2
2
1
)cos(.)()(
, pela definição 
sen(x) – x.cos(x) - 
1
2
 x2 +c = F(x)(representa a família das funções 
 
primitivas da função f(x)). 
 
 
 Fazendo F’(x) = f(x) (pela definição da integral indefinida) 
 
 
 F’(x) = f(x) 
 
cos(x) - [1. 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑥. (−𝑠𝑒𝑛(𝑥). ] – 2 . 
1
2
 x = f(x) 
 
 
 F’(x) = f(x) = cos(x) – cos(x) +x.sen(x) – x 
 
 
 F’(x) = f(x) = x.sen(x) – x 
 
 
 Sendo x = 
𝜋
4
 ⤳ f( 
𝜋
4
) = = 
𝜋
4
. 𝑠𝑒𝑛 ( 
𝜋
4
) − 
𝜋
4
 
 
 
 
 ⤳ f( 
𝝅
𝟒
)= - 0,2299 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 06 – Determine a área da região determinada pelas funções 
f(x)= ex e g(x)= e. Represente essa região graficamente no plano cartesiano. 
 
Resolução 
 
 Devemos fazer os gráficos das funções f e g para pegarmos a região 
delimitada pelas duas funções. 
 
 
 
 y f(x)= e x 
 
 e g(x)=e 
 
 A 
 
 1 
 
 
 0 1 x 
 
 
Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que a área(A) da região 
delimitada pelas duas funções f e g é dada pela Integral definida 
 
 
 A = ∫ ( 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) )
1
0
 dx 
 
 
 A = ∫ ( 𝑒 − 𝑒𝑥 )
1
0
𝑑𝑥 A = ∫ 𝑒 𝑑𝑥
1
0
 - ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥
1
0
 
 
 
 
 A = (ex – 𝑒𝑥)|0
1 A = [e. 1 – 𝑒1] - [e. 0 – 𝑒0] 
 
 
 
 A = 1 u.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 07 – Um recipiente com a forma de um paralelepípedo, de base 
quadrada deve ter um volume de 2.000 cm3. O custo da base e da tampa é o 
dobro do custo dos lados. Ache as dimensões do recipiente de menor custo. 
 
 
Questão 08 – Um recipiente no formato de um cilindro , aberto em cima, 
dever ter a capacidade de 375

cm3. O custo do material usado para a base do 
recipiente é de 15 centavos por cm2 e o custo do material usado para parte 
curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda de material, determine as 
dimensões que minimizem o custo do material.