Lista de exercícios - Modelagem casa 2019 2

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CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
PESQUISA OPERACIONAL – Lista de exercício - CASA 
PROFa.: ANA LUCIA 
ASSUNTO: MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR – Objetivo: elaborar os modelos 
__________________________________________________________________________________ 
 
1) Uma pequena metalúrgica deseja maximizar sua receita com a venda de dois tipos de finas fitas de aço que se diferenciam 
em qualidade no acabamento de corte. As fitas são produzidas a partir do corte de bobinas de grande largura. Existem duas 
máquinas em operação. Uma das máquinas é mais antiga e permite o corte diário de 4.000m de fita. A outra, mais nova, corta 
até 6.000m. A venda das chapas no mercado varia com a qualidade de cada uma. Fitas produzidas na máquina antiga permitem 
um lucro de 3 u.m por mil metros de produção. Fitas cortadas na máquina mais moderna produzem um lucro de 5 u.m por mil 
metros de produção. Cada mil metros de fita cortada na máquina antiga consome 3 homens x hora de mão-de-obra. Na máquina 
moderna são gastos apenas 2 homens x hora. Diariamente são disponíveis 18 homens x hora para a operação de ambas as 
máquinas. Determinar a produção que otimiza o lucro da metalúrgica. Elabore o modelo. 
 
 
2) Um pequeno entregador pode transportar madeira ou frutas em seu carrinho de mão, mas cobra R$ 40 para cada fardo de 
madeira e R$ 25 para cada saco de frutas. Os fardos pesam 1kg e ocupam 2 dm
3
 de espaço. Os sacos de frutas pesam 3 kg e 
ocupam 2 dm
3
 de espaço. O carrinho tem capacidade de transportar 12 kg e 35 dm
3
 , e o entregador pode levar quantos sacos e 
quantos fardos desejar. Elabore o modelo para maximizar o lucro do entregador. 
 
 
3) Uma companhia de investimento dispõe de R$ 150.000 para investir em ações e letras imobiliárias. Sua política de aplicação 
consiste em: aplicar, no máximo, 50% do disponível em ações; aplicar, no máximo, 65% do disponível em letras imobiliárias. 
Através de uma pesquisa de mercado, a companhia verificou que deveria aplicar no máximo 40% do disponível, na diferença 
entre a quantidade aplicada em ações e a quantidade aplicada em letras, e aplicar 10% no máximo do disponível na soma da 
sétima parte aplicada em ações com a quarta parte aplicada em letras. As ações produzem uma rentabilidade de 5% ao mês e 
as letras 4% ao mês. Qual é o ótimo investimento que maximiza o lucro da companhia? Formule o modelo do problema. 
 
4)As indústrias Sara Cura de produtos Farmacêuticos desejam produzir dois medicamentos, um analgésico e um antibiótico, que 
dependem de duas matérias primas A e B, que estão disponíveis em quantidades de 5 e 12 toneladas, respectivamente. Na 
fabricação de uma tonelada de analgésico são empregadas 2 tonelada da matéria A e 3 tonelada da matéria B, e na fabricação 
de uma tonelada de antibiótico são empregadas 1 toneladas de A e 2 toneladas de B. Sabendo que cada tonelada de antibiótico 
é vendida a R$8,00 reais e de analgésico a R$9,00 reais. Elabore um modelo de programação linear que possibilite encontrar a 
quantidade de toneladas de medicamentos a ser produzida pelas indústrias Sara Cura de maneira a maximizar seu lucro. 
Elabore o modelo. 
 
5)Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele já transporta 200 caixas de 
laranjas a 20 u.m de lucro por caixa por mês. Ele necessita transportar pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro 
por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão 
para obter o lucro máximo? Elabore o modelo. 
 
6)Um gerente de um SPA chamado Só é Magro Quem Quer contrata você para ajudá-lo com o problema da dieta para os 
hóspedes. (Observe que ele paga bem: 40% do que você precisa!) Mais especificamente, ele precisa de você para decidir como 
preparar o lanche das 17:00h. Existem dois alimentos que podem ser fornecidos: cheeseburguers e pizza. São unidades 
especiais de cheeseburguers e pizza, grandes, com muito molho e queijo, e custam, cada, R$10,00 e R$16,00, respectivamente. 
Entretanto, o lanche tem que suprir requisitos mínimos de carboidratos e lipídios: 40 u.n. e 50 u.n., respectivamente (u.n. significa 
unidade nutricional). Sabe-se, ainda, que cada cheeseburguers fornece 1 u.n. de carboidrato e 2 u.n. de lipídios, e cada pizza 
fornece 2 u.n. de carboidratos e 5 u.n. de lipídios. O gerente pede inicialmente que você construa o modelo 
 
07) Uma companhia fabrica dois produtos P1 e P2 que utilizam os mesmos recursos produtivos: matéria-prima, forja e polimento. 
Cada unidade de P1 exige 4 horas de forjaria, 2 h de polimento e utiliza 100 unidades de matéria-prima. Cada unidade de P2 
requer 2 horas de forjaria, 3 h de polimento e 200 unidades de matéria-prima. O preço de venda de P1 é 1.900 u.m. e de P2, 
2.100 u.m. Toda a produção tem mercado garantido. As disponibilidades são de: 20 h de forja; 10 h de polimento e 500 unidades 
de matéria-prima, por dia. Elabore o modelo linear para o problema. 
 
8)No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu três produtos P1, P2 e P3. O quadro 
abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produção. 
 
Produto Contribuição (lucro por 
unidade) 
Horas de 
trabalho 
Horas de uso de 
máquinas 
Demanda máxima 
P1 2.100 6 12 800 
P2 1.200 4 6 600 
P3 600 6 2 600 
 
Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma 
pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas 
que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período. Faça a modelagem 
desse problema. 
 
09) A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 
100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada 
um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-
delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de 
cada pára-quedas é de R$60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$40,00, encontre a programação de produção que 
maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. Elabore o modelo linear para o problema. 
 
10) Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 
e R3. Um estudo sobre o uso destes recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e 
consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$120,00 
por unidade e P2, R$150 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. 
 
Produto Recurso R1 por unidade Recurso R2 por unidade Recurso R3 por unidade 
P1 2 3 5 
P2 4 2 3 
Disponibilidade 100 90 120 
 
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Elabore o modelo linear para o problema. 
 
11) A empresa de logística Deixa Comigo S.A. tem duas frotas de caminhões para realizar transportes de cargas para terceiros. 
A primeira frota é composta por caminhões médios e a segunda por caminhões gigantes, ambas com condições especiais para 
transportar sementes e grãos prontos para o consumo, como arroz e feijão. A primeira frota tem a capacidade de peso de 
70.000kg e um limite de volume de 30.000 pés cúbicos, enquanto a segunda pode transportar até 90.000 kg e acomodar 40.000 
pés cúbicos de volume. O próximo contrato de transporte refere-se a uma entrega de até 100.000 kg de sementes e 85.000 kg 
degrãos, sendo que a Deixa Comigo S.A. pode aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga, deixando o restante para 
outra transportadora entregar. O volume ocupado pelas sementes é de 0,4 pé cúbico por kg, e o volume dos grãos é de 0,2 pé 
cúbico por kg. Sabendo que o lucro para transportar as sementes é de R$ 0,12 por kg e o lucro para transportar os grãos é de 
R$ 0,35 por kg, faça a modelagem do problema com objetivo de encontrar a quantidade de quilos de sementes e a quantidade 
de quilos de grãos que a Deixa Comigo S.A. deve transportar para maximizar o seu lucro. Elabore o modelo. 
 
 
12) Uma empresa industrial fabrica três produtos P1, P2 e P3 com lucro unitário de, respectivamente, R$2,00, R$3,00 e R$4,00. 
O gerente de produção identificou as seguintes restrições no processo produtivo: 
 
a) A capacidade produtiva total é de 30 unidades por mês. 
b) Por utilizar material radioativo, a empresa recebe uma autorização do governo federal para importar apenas uma 
quantidade fixa de 60Kg deste material, o qual deve ser plenamente utilizado durante o mês por razões de segurança. 
c) As quantidades necessárias do material radioativo para fabricação dos produtos P1, P2 e P3 são de, respectivamente, 
2kg, 1kg e 3kg. 
Elabore o modelo. 
 
13) A Nitroglicerina S/A está desenvolvendo um novo aditivo para gasolina de avião. O aditivo é uma mistura de três ingredientes 
líquidos: A, B e C. Para que haja um desempenho adequado, o montante (total) de aditivo (montante do ingrediente A + 
montante do ingrediente B + montante do ingrediente C) deve ser de, pelo menos, 10 decilitros por litro de gasolina. Entretanto, 
por razões de segurança, o montante de aditivo não deve exceder 15 decilitro de gasolina. A mistura dos três ingredientes é 
crítica. No mínimo um decilitro do ingrediente A deve ser usado para cada decilitro do ingrediente B. O montante utilizado do 
ingrediente C deve ser maior ou igual à metade do montante utilizado do ingrediente A. Formule o modelo, considerando a 
mistura dos três produtos com custo mínimo por litro de gasolina de avião, sabendo que o custo por decilitro dos ingredientes A, 
B e C é de R$0,10, R$0,03, R$0,09, respectivamente. 
 
14) A LCL Motores Ltda recebeu recentemente um determinado valor R$900.000 em pedidos de seus três tipos de motores. 
Cada motor necessita de um determinado número de horas de trabalho no setor de montagem e de acabamento. A LCL pode 
terceirizar parte da sua produção. A tabela a seguir resume essas informações, tais como custos de produção, capacidade 
máxima de horas, etc. A fábrica deseja determinar quantos motores ela deve produzir e quantos devem ser produzidos de forma 
terceirizada para atender a demanda de pedidos. Modele o Problema. 
 
modelo 1 2 3 capacidade 
Demanda (unid) 3000 2500 500 
Montagem (h/unid) 1 2 0,5 6000 h 
Acabamento (h/unid) 2,5 1 4 10000 h 
Produção (R$) 50 90 120 
Terceirizado (R$) 65 92 140 
 
 
 
15) Um determinado cliente procurou uma corretora de Valores com o objetivo de investir em ações. O gerente de atendimento, 
após receber o cliente, o entrevista para identificar o seu perfil de risco e apresenta as opções de investimento. No final da 
entrevista fica claro que o cliente apresenta um perfil de investimento de risco moderado e está decidido a investir em papéis de 
Bancos. O gerente, então, com o apoio da área de pesquisa da corretora, apresenta uma proposta de investimento que imagina 
atender às expectativas do cliente. A carteira proposta é constituída por um grupo de ações do setor bancário e aplicações ou 
créditos, para alavancar a posição de ações, em renda fixa. O retorno e o risco de cada papel estão demonstrados na tabela 
abaixo: 
 
papel retorno risco 
Banco A 42,12% 7,69% 
Banco B 35,29% 3,99% 
Banco C 37,54% 6,12% 
Renda fixa 6,10% 0% 
 
Ao analisar a proposta, o cliente fez as seguintes restrições e observações: 
 
- A participação das ações do Banco A deve ser de, no mínimo, 30%, devido ao seu retorno e baixo risco em relação ás ações 
dos outros bancos. 
- A participação das ações do Banco B deve ser de, no máximo, 15%, devido ao baixo retorno e alto risco, quando comparada ás 
demais. 
- A participação da Renda Fixa na carteira deve ser de, no máximo, 10%. 
- A taxa máxima suportada de risco é de 7%. 
 
Determine os percentuais investidos de acordo com o modelo abaixo que maximize o retorno da carteira proposta, considerando 
suas características e as restrições feitas pelo cliente. Nesse problema considere que as ações são independentes. Elabore o 
Modelo. 
 
16) Uma cooperativa agrícola opera com três fazendas que possuem produtividades aproximadamente iguais entre si. A 
produção total por fazenda depende fundamentalmente da área disponível para o plantio e da água de irrigação. A cooperativa 
procura diversificar sua produção de modo que vai plantar este ano três tipos de cultura em cada fazenda, a saber: milho, arroz e 
feijão. Cada tipo de cultura demanda por certa quantidade de água. Para reduzir o conflito no uso das colheitadeiras, que são 
alugadas pela cooperativa, estabeleceram-se limites de área de produção dentro de cada tipo de cultura. Para evitar a 
concorrência entre os cooperados, acordou-se que a proporção de área cultivada seja a mesma para cada uma das fazendas. 
As tabelas 1 e 2 resumem os dados tecnológicos. Pede-se a elaboração de um modelo de produção que defina a área de cada 
cultura que será plantada em cada fazenda, de modo a otimizar o lucro da produção da cooperativa. 
 
Tabela 1. 
Fazenda Área total para cultivo (acres) Água disponível (litros) 
1 400 1800 
2 650 2200 
3 350 950 
 
Tabela 2. 
Cultura Área máxima de cultivo Consumo de água Lucro (R$) 
Milho 660 5,5 5000 
Arroz 880 4 4000 
feijão 400 3,5 1800 
 
17)A LCL Correios e Malotes, uma franquia da ECT (Empresa de Correios e Telégrafos), deseja estabelecer o número de 
funcionários de horário integral que deve contratar para iniciar suas atividades. Para fazê-lo, recebeu uma tabela da ECT com o 
número mínimo de funcionários por dia da semana. Estas informações se encontram na tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sindicato dos empregados de franqueadores dos correios mantém um acordo sindical que determina que cada empregado 
deve trabalhar cinco dias consecutivos e folgar em seguida dois dias (por exemplo: um funcionário que trabalhe de segunda a 
sexta-feira deve folgar no sábado e no domingo), e que as franquias devem ter apenas empregados com horário integral. 
Formule o modelo de maneira a determinar o número total de empregados que a franquia deve contratar e o número de 
empregados por dia. 
 Essa questão está pronta no livro. Você deverá entender e explicar o modelo apresentado. 
 
18) Uma indústria fabrica dois tipos de papel e para isso utiliza somente uma máquina.Devido a certas restrições de matéria 
prima, não se pode diariamente produzir mais do que 4 tons. de papel do tipo A, nem mais do que 6 tons. do tipo B. Requer-se 1 
hora da máquina para produzir 1 ton. de papel do tipo A e 1 hora para produzir 1 ton. de papel do tipo B. O lucro por ton. 
produzida é de R$ 2,00 para o papel do tipo A e de R$ 5,00 para o papel do tipo B. O tempo de utilização da máquina é de 8 
horas/dia. Elaborar o plano ótimo de produção. 
 
19) Uma pequena indústria usa três tipos de matérias primas, P, Q, R para a fabricação de dois produtos A e B. As matérias 
primas em disponibilidade na fábrica são: 
 20 unidades de P; 
 12 unidades de Q; e 
 16 unidades de R. 
Por razões tecnológicas, uma unidade do produto A necessita respectivamente de 2, 2 e 4 unidades de matérias primas P, Q e 
R. Para o produto B essescoeficientes técnicos são 4, 2 e 0, respectivamente. O fabricante sabe que o lucro na produção de A 
é de 0,5 unidades monetárias e de B é de 1 unidade monetária. Qual o lucro máximo e quais as quantidades produzidas das 
mercadorias A e B para se obter o lucro máximo? 
 
20) Uma companhia de investimento dispõe de R$ 100.000,00 para investir em ações e letras imobiliárias. 
Sua política de aplicação consiste em : 
 Empregar, no máximo, 50% do disponível em ações;e 
 Empregar, no máximo, 60% do disponível em letras imobiliárias. 
Através de uma pesquisa de mercado, a companhia verificou que deveria empregar, no máximo, 40% do disponível, na diferença 
entre o dobro da quantidade investida em ações e a quantidade investida em letras; e empregar, no máximo, 1% do disponível 
na soma da oitava parte investida em ações com a quinta parte investida em letras. 
As ações produzem uma rentabilidade de 5% ao mês e as letras 4% ao mês. Qual o investimento ótimo? 
 
Dia da semana n
o
 funcionários 
Domingo 11 
Segunda-feira 18 
Terça-feira 12 
Quarta-feira 15 
quinta-feira 19 
sexta-feira 14 
sábado 16 
21) Uma fábrica de canetas quer saber do Departamento de Engenharia quantas canetas de cada tipo (standard, luxo e 
esferográfica) deverão ser produzidas, para que o lucro da empresa seja máximo. 
INFORMAÇÕES: 
 
a) Do departamento de Produção 
Produções máximas mensais possíveis para cada um dos tipos de canetas (isto é, produzir-se só um tipo): 
 Standard 15.000 
 Luxo 10.000 
 Esferográfica 20.000 
 
b) Do Departamento de Vendas 
Máximo de vendas mensais para cada um dos tipos: 
 Standard 12.000 
 Luxo 8.000 
 Esferográfica 30.000 
c) Do Departamento de Contabilidade 
Lucro unitário para cada tipo: 
 Standard R$ 0,70 
 Luxo R$ 0,50 
 Esferográfica R$ 0,30 
 
22) Uma fábrica de automóveis e caminhões possui os seguintes departamentos; 
1. Estamparia de pranchas metálicas; 
2. Montagem de motores; 
3. Montagem de automóveis; e 
4. Montagem de caminhões. 
O departamento 1 deve estampar, no mínimo por mês, as pranchas necessárias para 25.000 automóveis ou 35.000 caminhões, 
ou as correspondentes combinações de automóveis e caminhões. 
O departamento 2 deve no mínimo por mês, montar 33.333 motores de automóveis e 16.667 motores de caminhões ou as 
correspondentes combinações de motores de automóvel e caminhão. 
O departamento 3 pode montar e terminar 40.000 automóveis e o departamento 4, mensalmente 25.000 caminhões (ambos 
utilizando sua capacidade máxima). 
Com o constante aumento do combustível, a fábrica sabe que o prejuízo na fabricação de um automóvel é de R$ 500,00 e na 
fabricação de um caminhão é de R$ 200,00. Qual a quantidade de automóveis e caminhões a ser produzida a fim de que a 
fábrica tenha o menor prejuízo possível, dadas as condições atuais do mercado? 
 
23 – Uma indústria de aparelhos eletrodomésticos tem equipamento para produzir geladeiras, máquinas de lavar e fogões. 
O regime de operação da indústria é de 45 horas semanais. Seu equipamento pode fabricar, por hora, 50 geladeiras ou 25 
máquinas de lavar ou 75 fogões. 
Uma pesquisa de mercado revelou que a demanda semanal é de 1.000 geladeiras, 500 máquinas de lavar e 1.500 fogões. 
A geladeira proporciona, por cada unidade vendida, um lucro de R$ 40,00; a máquina de lavar R$ 120,00 e o fogão um lucro de 
R$ 30,00. 
Qual seria o modelo matemático da indústria que permitiria o lucro máximo semanal ? 
 
24 – O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus 
dois produtos P1 e P2. 
As alternativas são: 
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento 
mínimo de $ 3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $ 1.000,00 
investidos. 
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos .Cada $ 1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas 
vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%. 
A empresa dispõe de $ 10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade? 
 
25 – Uma liga especial constituída de: ferro; carvão; silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros 
além de 2 tipos de materiais recuperados. 
Material Recuperado 1 MR1 Composição 
 Ferro 60% Custo por kg $ 0,20 
 Carvão 20% 
 Silício 20% 
 
Material Recuperado 2 MR2 Composição 
 Ferro 70% Custo por kg $ 0,25 
 Carvão 20% 
 Silício 5% 
 Níquel 5% 
 
A liga deve ter a seguinte composição final: 
 
 Matéria prima % mínima % máxima 
 Ferro 60 65 
 Carvão 15 20 
 Silício 15 20 
 Níquel 5 8 
 
Os custos dos materiais puros são: (por kg) ferro $ 0,30; carvão $ 0,20; silício $ 0,28 e níquel $ 0,50. Qual deverá ser a 
composição da em termos dos materiais disponíveis, com o menor custo por kg? Construa o modelo de decisão. 
 
26 – Na qualidade de assessor de investimentos da Fundabane, uma fundação de empregados de determinado banco, estudar a 
melhor forma de aplicar os recursos disponíveis. 
A necessidade de minimizar os riscos limita as alternativas a três tipos de aplicações: ações preferenciais, ações de companhias 
de utilidade pública e títulos da dívida pública. Na composição da carteira, devem ser levadas em conta, ainda, restrições 
impostas pela legislação e normas vigentes. 
A seguir, é apresentado um quadro com as taxas de retorno esperadas para esses tipos de investimentos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O montante disponível para aplicação está limitado a $ 100.000. As restrições adicionais que se apresentam para as aplicações, 
de acordo com a legislação vigente, são as seguintes: 
 
 Títulos públicos ( federais e municipais) não podem representar, juntos, menos que $ 30.000 dos 
investimentos; 
 Ações preferenciais ( Nestlé) estão limitadas a $ 25.000 dos investimentos; 
 Ações de companhias de utilidade pública devem contabilizar pelo menos $ 30.000 dos investimentos; 
 Nenhuma das três possíveis alternativas de aplicações – ações preferenciais, ações de companhias de 
utilidade pública e títulos públicos podem representar mais de $ 50.000 dos investimentos. 
Pede-se definir os valores a serem aplicados em cada investimento, tendo como objetivo a maximização o valor do retorno da 
carteira. 
 
27- Uma fábrica consegue colocar no mercado toda a sua produção que é composta de dois produtos. 
O produto 1 dá um lucro unitáriode R$ 1,00 e o produto 2, R$ 1,50. 
Qual deve ser a produção de cada produto sabendo-se que : 
Investimento Símbolo Taxa de retorno esperada ( % ) 
Ações da Comgas COMG 4,3 
Ações da Cesp CESP 3,7 
Ações da Eletropaulo ELP 1,8 
Ações da Nestlé NES 2,8 
Títulos públicos federais TPF 1,5 
Títulos públicos municipais TPM 2,4 
O departamento A consegue produzir o produto 1 em 2 horas e o produto 2 em 2 horas. 
O departamento B produz 1 em 1 hora e 2 em 2 horas. 
O departamento C 4 horas para o 1 e 2 horas para o 2. 
O setor de empacotamento consegue empacotar por hora 10 unidades do produto 1 e 8 unidades do produto 2. 
A disponibilidade de mão-de-obra por semana em homens-hora é a seguinte: 
 Depto. A = 160; 
 Depto. B = 120; 
 Depto. C = 280; e 
 Embalagem = 80. 
Qual é o modelo para produção ótima semanal ? 
 
29 - Uma empresa quer maximizar o lucro mensal de seus produtos I , II , III e IV. Ela possui dois tipos de máquinas e 2 tipos de 
mão-de-obra. 
 
Maq Maq/hora/mês 
M1 80 
 M2 20 
 
 Produtos Produtos 
Maq I II III IV MO I II III IV 
 M1 5 4 8 9 MO1 2 4 2 8 
 M2 2 6 - 8 MO2 7 3 7 - 
 
 
O Departamento comercial fornece o seguinte 
 
Produtos Potencial de vendas Lucro em R$ 
I 70 10,00 
II 60 8,00 
III 40 9,00 
IV 20 7,00 
 
Qual a produção ótima da empresa? 
 
28 - Dr. João, advogado, diretor-presidente da Fertilizantes Fontoura S.A. vendeu por autodeliberação 6.000 tons de uma das 
misturas fertilizantes que a indústria produz, denominada mistura 1. 
A fábrica produz três tipos de misturas fertilizantes, cujas composições químicas seguem no quadro abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Ocorre que a demanda dessas matérias primas é muito superior à oferta, e no máximo que a firma pode dispor neste mês é : 
 Nitratos 1000 tons; 
 Fosfatos 1800 tons; e 
 Potassa 1200 tons. 
Quanto ao excipiente não existe problema de matéria prima. 
A contabilidade informa que o lucro líquido de cada mistura por tom é : 
 Mistura 1 R$ 4,00; 
MO MO/mês 
MO1 120 
MO2 180 
 Nitratos % Fosfatos % Potassa % Excipiente % 
Mistura 1 5 10 5 80 
Mistura 2 5 10 10 75 
Mistura 3 10 10 10 70 
 Mistura 2 R$ 9,25; e 
 Mistura 1 R$ 11,50. 
Um convênio com a Associação dos Fazendeiros Carentes obriga à indústria a fornecer pelo menos 7000 tons por mês de 
qualquer das misturas. Modelar o problema de modo à obter o lucro mensal máximo. 
 
29 - Um investidor tem três alternativas de investimentos, denominadas A, B e C, disponíveis no próximo ano. Essas alternativas 
não são mutuamente exclusivas. Qualquer dinheiro recebido de qualquer alternativa poderá ser reinvestido em qualquer uma 
das três. 
A alternativa A está disponível no princípio de cada trimestre. Cada real investido no princípio do trimestre devolve R$ 1,10 no 
final do trimestre. 
A alternativa B está disponível no princípio de cada semestre e devolve R$ 1,20 no final do semestre para cada real investido. 
A alternativa C está disponível no início de cada ano e cada real investido devolve R$ 1,40 no fim do ano. 
O capital inicial do investidor é de R$ 5.000,00. 
Deseja-se o modelo matemático para obter o plano de investimento que maximize o retorno no fim de um ano. 
 
30 - A Mínimo Risco é uma empresa especializada em gestão de riscos. O Dr. Alexandre, proprietário da empresa , é 
especialista em planejar carteiras de investimentos. Ele acaba de realizar uma consultoria a um cliente que dispõe de $ 500.000. 
O cliente deseja aplicar em dois tipos de fundos de investimentos: fundos de ações e fundos de renda fixa. 
Cada quota do fundo de ações custa $ 100 e proporciona uma taxa de retorno de 8 % . Cada quota do fundo de renda fixa custa 
$ 200 e proporciona uma taxa de retorno de 4%. 
O objetivo do cliente é minimizar o risco, mas pretende obter o retorno de pelo menos $ 25.000. 
Cada quota do fundo de ações apresenta um índice de risco = 6 e cada quota do fundo de renda fixa um índice de risco = 2. 
O cliente especificou também que devem ser investidos em pelo menos 800 quotas do fundo de renda fixa. 
Pede-se determinar quantas quotas devem ser adquiridas de cada fundo, com o objetivo de minimizar o índice de risco total da 
carteira. 
 
30) Min Z = 6x1 + 2x2 
 s.a 
 100x1 + 200x2 = 500.000 
 8x1 + 8x2 ≥ 25.000 (8% de 100)x1 + (4% de 200)x2 
 x2 ≥ 800 
 x1, x2 ≥ 0 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
01) Máx Z = 3x1 + 5x2 
 
 Sujeito a: x1 ≤ 4 
 x2 ≤ 6 
 3x1 + 2x2 ≤ 18 
 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 
 
 
 
02) Máx. Z = 40x1 + 25 x2 
 
 Sujeito a: x1 + 3x2 ≤ 12 
 2x1 + 2x2 ≤ 35 
 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 
 
03) Máx. Z = 0,05 x1 + 0,04x2 
 
 Sujeito a: x1 ≤ 75.000 
 x2 ≤ 97.500 
 x1 - x2 ≤ 60.000 
 1/7 x1 + ¼ x2 ≤ 15.000 
 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 
 
04) Min Z = 8x1 + 9x2 
Sujeito a: 2x1 + x2  5 - restrição da matéria prima A 
 3x1 + 2x2  12 - restrição da matéria prima B 
 x1 0 
 x2 0 
 
 
05) Max Z = 10x1 + 30x2 + 4000 
Sujeito a: x1 + x2  600 
 x1  100 
 x2  200 
 x1 0 
 x2 0 
 
06) Min Z = 10x1 + 16x2 
Sujeito a: x1 + 2x2  40 
 2x1 + 5x2  50 
 x1 0 
 x2 0 
 
 
 
 
07) Máx. Z = 1900 x1 + 2100 x2 
 
 Sujeito a: 100x1 + 200x2 ≤ 500 
 4x1 + 2 x2 ≤ 20 
 2x1 + 3 x2 ≤ 10 
 x1 ≥ 0 
 x2 ≥ 0 
 
08) Max Z = 2100x1 + 1200x2 + 600x3 
Sujeito a: 6x1 + 4x2 + 6x3  4800 
 12x1 + 6x2 + 2x3  7200 
 x1  800 
 x2  600 
 x3 600 
 
 
09) Max Z = 60x1 + 40x2 
Sujeito a: 10x1 + 10x2  100 
 3x1 + 7x2  42 
 x1 0 , x2 0 
 
10) Max Z = 120x1 + 150x2 
Sujeito a: 2x1 + 4 x2  100 
 3x1 + 2x2  90 
 5x1 + 3x2  120 
 x1 0, x2  0 
11) x1 → sementes transportadas (kg) → 0,12 
 
x2 → grãos transportados (kg) → 0,35 
 
 
Teremos uma restrição para a carga: 
A quantidade de sementes + a quantidade de grãos não pode ultrapassar 160.000 kg (70.000 + 
90.000) 
x1 + x2 ≤ 160.000 
 
 
Temos uma restrição para o volume: 
0,4 x1 + 0,2 x2 ≤ 70.000 (30.000+ 40.000) 
 
 
Temos a restrição do transporte das sementes: 
Transporta até 100.000 kg de sementes: x1 ≤ 100.000 
 
 
Temos a restrição do transporte dos grãos: 
Transporta até 85.000 kg de grãos: x2 ≤ 85.000 
 
 
 
 Máx Z = 0,12x1 + 0,35 x2 
 
 Sujeito a: x1 + x2 ≤ 160.000 
 0,4 x1 + 0,2 x2 ≤ 70.000 
 x1 ≤ 100.000 
 x2 ≤ 85.000 
 x1 ≥ 0 
 x2 ≥ 0 
 
12) Variáveis de Decisão 
o x1 – Quantidade de produto P1 a ser fabricado/vendido 
o x2 – Quantidade de produto P2 a ser fabricado/vendido 
o x3 – Quantidade de produto P3 a ser fabricado/vendido Modelo 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 4
 :
30
2 1 3 60
, , 0
Max Z x x x
Sujeito a
x x x
x x x
x x x
  
  
  

 
 
Note que a segunda restrição tem um sinal de igual, isso pode aparecer no modelo desde que o 
problema informe. Nesse exemplo ele está informando que importar ...apenas uma quantidade fixa de 
60Kg deste material... 
 
13) Variáveis de Decisão 
o X1 – Quantidade do ingrediente A no aditivo 
o X2 – Quantidade do ingrediente B no aditivo 
o X3 – Quantidade do ingrediente C no aditivo 
 
 Modelo 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
1
3
1 2 3
0,1 0,03 0,09
 :
10
15
2
, , 0
Min Z x x x
sujeito a
x x x
x x x
x x
x
x
x x x
  
  
  



 
 
14) 
 
 
 
 
 
 
Min Z = 50F1 + 90F2 + 120F3 + 65T1 + 92T2 + 140T3 
 
Sujeito a; 
 
 
 
 
 
15) Variáveis de Decisão 
xA – Percentual investido em ações do Banco A 
xB – Percentual investido em ações do Banco B 
xC – Percentual investido em ações do Banco C 
xR – Percentual investido em Renda Fixa 
 
Modelo 
Função-Objetiva – Maximização do retorno sobre capital 
Restrições de percentuais máximos e mínimos por ativo 
Restrição de Risco Máximo 
 
 
 
 
 
0,4212 0,3529 0,3754 0,061
100 100 100 100
30
15
10
0,0769 0,0399 0,0612 0,0 7
Re
CA B R
A
B
R
A B C R
xx x x
Max
st
Restrições de máximos e mínimos por ativo
x
x
x
Restrições de RiscoMáximo
x x x x
strição d
      
        
      



   
100
, , , 0
A B C R
A B C R
o total aplicado
x x x x
Restrições de Não Negatividade
x x x x
   

 
 
16) Modelo 
 
Max Z = 5000(x1M + x2M + x3M) + 4000(x1A + x2A + x3A) + 1800(x1F + x2F + x3F) 
sa: 
Formulação das restrições tecnológicas 
Fazenda 1 
x1M + x1A + x1F ≤ 400 
 
Fazenda 2 
x2M + x2A + x2F ≤ 650 
 
Fazenda 3 
x3M + x3A + x3F ≤ 350 
 
Formulação das restrições associadas ao consumo de água 
 
 
 
Fazenda 1 
5,5x1M + 4x1A + 3,5x1F ≤ 1800 
 
Fazenda 2 
5,5x2M + 4x2A + 3,5x2F ≤ 2200 
 
Fazenda 3 
5,5x3M + 4x3A + 3,5x3F ≤ 950 
 
 
Formulação das restrições associadas ao plantio por cultura 
 
Milho 
x1M + x2M + x3M ≤ 600 
 
Arroz 
x1A + x2A + x3A ≤ 880 
 
Feijão 
x1F + x2F + x3F ≤ 400 
 
Restrições associadas à proporção de área cultivada 
 
3 3 31 1 1 2 2 2
400 650 350
M A FM A F M A F x x xx x x x x x      
 
 
Condição de não negatividade 
 
x1M ≥ 0, x1A ≥ 0, x1F ≥ 0, x2M ≥ 0, x2A ≥ 0, x2F ≥ 0, x3M ≥ 0, x3A ≥ 0, x3F ≥ 0 
 
19 – Max Z = 2x1 + 5x2 
 s.a 
 x1 ≤ 4 
 x2 ≤ 6 
 x1 + x2 ≤ 8 
 x1 , x2 ≥ 0 
 
20 – Max Z = 0,5x1 + x2 
 s.a 
 2x1 + 4x2 ≤ 20 
 2x1 + 2x2 ≤ 12 
 4x1 ≤ 16 
 x1 , x2 ≥ 0 
 
 
21 – Max Z = 0,05x1 + 0,04x2 
 s.a 
 2x1 - x2 ≤ 40.000 
 x1 / 8 + x2 / 5 ≤ 1.000 
 x1 ≤ 50.000 
 x2 ≤ 60.000 
 x1 , x2 ≥ 0 
 
22 – Max Z = 0,7x1 + 0,5x2 + 0,3x3 
 s.a 
 x1 / 15.000 + x2 / 10.000 + x3 / 20.000 ≤ 1 
 x1 ≤ 12.000 
 x2 ≤ 8.000 
 x3 ≤ 30.000 
 x1 , x2 , x3 ≥ 0 
 
 
 
23 – Min Z = 500x1 + 200x2 
 s.a 
 x1 / 25.000 + x2 / 35.000 ≥ 1 
 x1 / 33.333 + x2 / 16.667 ≥ 1 
 x1 ≤ 40.000 
 x2 ≤ 25.000 
 x1 , x2 ≥ 0 
 
24 – Max Z = 40x1 + 120x2 + 30x3 
 s.a 
 x1 ≤ 1.000 
 x2 ≤ 500 
 x3 ≤ 15.000 
 x1 / 50 + x2 / 25 + x3 / 75 ≤ 45 
 x1 , x2 , x3 ≥ 0 
 
 
25 – x1  quantidade em $ 1.000,00 para o programa institucional. 
 x2  quantidade em $ 1.000,00 diretamente em P1. 
 x3  quantidade em $ 1.000,00 diretamente em P2. 
 
 Min Z = 1.000x1 + 1.000x2 + 1.000x3 
 s.a 
 x1 ≥ 3 
 3x1 + 4x2 ≥ 300 
 3x1 + 10x3 ≥ 30 
 x1 + x2 + x3 ≤ 10 
 x1 , x2 , x3 ≥ 0 
 
26 – x1  quantidade de MR1 na mistura 
 x2  quantidade de MR2 na mistura 
 x3  quantidade de ferro na mistura 
 x4  quantidade de carvão na mistura 
 x5  quantidade de silício na mistura 
 x6  quantidade de níquel na mistura 
 
 Min Z = 0,2x1 + 0,25x2 + 0,3x3 + 0,2x4 + 0,28x5 + 0,5x6 
 s.a 
 0,6x1 + 0,7x2 + x3 ≥ 0,60 
 0,6x1 + 0,7x2 + x3 ≤ 0,65 
 0,2x1 + 0,2x2 + x4 ≥ 0,15 
 0,2x1 + 0,2x2 + x4 ≤ 0,20 
 0,2x1 + 0,05x2 + x5 ≥ 0,15 
 0,2x1 + 0,05x2 + x5 ≤ 0,20 
 0,05x2 + x6 ≥ 0,05 
 0,05x2 + x6 ≤ 0,08 
 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1 
 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 
 
27 – Max Z = 0,043x1 + 0,037x2 + 0,018x3 + 0,028x4 + 0,015x5 + 0,024x6 
 s.a 
 
 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 100.000 
 x5 + x6 ≥ 30.000 
 x5 + x6 ≤ 50.000 
 x1 + x2 + x3 ≥ 30.000 
 x1 + x2 + x3 ≤ 50.000 
 x4 ≤ 25.000 
 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 
 
 
28) Max Z = x1 + 1,5x2 
 s.a 
 2x1 + 2x2 ≤ 160 
 x1 + 2x2 ≤ 120 
 4x1 + 2x2 ≤ 280 
 x1 /10+ x2 /8 ≤ 80 
 x1, x2 ≥ 0 
 
29) Max Z = 10x1 + 8x2 + 9x3 + 7x4 
 s.a 
 x1 ≤ 70 
 x2 ≤ 60 
 x3 ≤ 40 
 x4 ≤ 20 
 5x1 + 4x2 + 8x3 + 9x4 ≤ 80 
 2x1 + 6x2 + 8x4 ≤ 20 
 2x1 + 4x2 + 2x3 + 8x4 ≤ 120 
 7x1 + 3x2 + 7x3 ≤ 180 
 x1, x2 ,x3, x4 ≥ 0 
 
30) Max Z = 4x1 + 9,25x2 + 11,50x3 
 s.a 
 x1 ≥ 6000 
 0,05x1 + 0,05x2 + 0,1x3 ≤ 1000 
 0,1x1 + 0,1x2 + 0,1x3 ≤ 1800 
 0,05x1 + 0,1x2 + 0,1x3 ≤ 1200 
 x1 + x2 + x3 ≥ 7000 
 x1, x2 ,x3, x4 ≥ 0 
 
31) Seja: 
 xaj investimento A no trimestre j; 
 xbj investimento B no semestre j; 
 xcj investimento C no ano j; e 
 Rj quantidade não investida no trimestre j. 
 
xa1 xa2 xa3 xa4 
 1---------2----------3---------4---------| investimento A 
 1,1xa1 1,1xa2 1,1xa3 1,1xa4 
 
 xb1 xb2 
 1---------------------2------------------|investimento B 
 1,2xb1 1,2xb2 
 
 xc1 
 1----------------------------------------| investimento C 
 1,4xc1 
 
 Max Z = 1,1xa4 + 1,2xb2 + 1,4xc1 
 s.a 
 xa1 + xb1 + xc1 + R1 = 5000 
 xa2 + R2 = R1 + 1,1xa1 
 xa3 + xb2 + R3 = R2 + 1,1xa2 + 1,2xb1 
 xa4 + R4 = R3 + 1,1xa3 
 xaj , xbj , xcj , Rj ≥ 0 para j = 1, 2, 3 e 4 
 
32) Min Z = 6x1 + 2x2 
 s.a 
 100x1 + 200x2 = 500.000 
 8x1 + 8x2 ≥ 25.000 (8% de 100)x1 + (4% de 200)x2 
 x2 ≥ 800 
 x1, x2 ≥ 0