Matematica ava 1

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Karine de Souza Reis Freitas 
Matrícula : 20183302425 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Matemática Financeira 
Cálculos de Matemática Financeira, 
com vista à obtenção da nota da AVA1 
 
 
 
 
Universidade Veiga de Almeida 
Rio de Janeiro, 2019 
 
 
 
Introdução ao Regime de Capitalização Composta 
O regime de capitalização composta, é a aplicação de juros sobre juros, onde, os mesmos são 
calculados sobre o montante recebido no mês anterior. Usando como referência a aplicação inicial, 
somente para o primeiro mês. 
As variáveis envolvidas nos juros compostos são: 
 Valor futuro(Fn) ou Montante(M)- Valor de rendimento capital. 
Valor presente(PV) – Capital Inicial ou aplicado 
Juros(J) – Valor da remuneração cobrada pelo capital 
Taxa de juros(i) - É a taxa de correção do valor no período de capitalização 
Tempo(n) – É o tempo ou número de períodos de 
aplicação do capital. 
Taxa nominal (j) -Taxa onde a unidade de referência de período é 
diferente do período de capitalização 
Taxa de juros efetiva - Na prática paga pela aplicação de um 
capital 
Taxa proporcional - Taxa dividida pela fração do tempo na qual se deseja 
expressar a proporcionalidade 
 
Situação problema 
Sobre a aplicação de Juros Compostos, regime de capitalização mais utilizado no sistema financeiro, 
e conhecido como: “JUROS SOBRE JUROS”, vamos resolver as seguintes situações: 
Situação 1: 
Uma pessoa aplicou um capital de R$ 50.000,00 durante 40 meses no regime de capitalização 
composto. Sabendo que nos 10 primeiros meses a taxa foi de 2% am, nos 15 meses seguintes foi de 
1,5% a.m e nos últimos 15 meses foi de 2,5% a.m, qual o valor de resgate deste capital aplicado? 
Taxas de juros: 
Resolução: 
 
PV = 50.000,00 
 
n1 = 10 meses 
i1 = 2% a.m – convertendo para nº decimal = 0,02 
 
n2 = 15 meses 
i2 = 1,5% a.m – convertendo para nº decimal = 0,015 
 
n3 = 15 meses 
i3 = 2,5% a.m – convertendo para nº decimal = 0,025 
 
Fórmula : FV = VP.(1+i)n 
FV= PV.(1+i)n 
FV= 50.000,00.(1+0,02)10 
FV= 50.000,00.(1,02)10 
FV= 50.000,00.(1,2189) 
FV=60.945,00 – Valor de juros compostos após os 10 primeiros meses. 
 
FV= PV.(1+i)n 
FV= 60.945,00.(1+0,015)15 
FV= 60.945,00.(1,015)15 
FV= 60.945,00.(1,2502) 
FV=76.193,43 – Valor de juros compostos após os 15 meses seguintes. 
 
FV= PV.(1+i)n 
FV= 76.193,43.(1+0,025)15 
FV= 76.193,43.(1,025)15 
FV= 76.193,43.(1,4482) 
FV= 110.343,32 – Valor de juros compostos após os últimos 15 meses. 
Após 40 meses, o valor total de resgate do capital aplicado será no valor de R$110.343,32 
 
 
Situação 2: 
A Concessionária Vende Tudo S/A está oferecendo um automóvel por R$ 35.000,00 à vista, ou entrada 
de R$ 20% e mais uma parcela de R$ 31.000,00, no fim de 5 meses. Sabendo-se que outra opção 
seria aplicar esse capital à taxa de 3,5% no mercado financeiro, determinar a melhor opção para o 
interessado que possua os recursos disponíveis, comprá-lo pelo método do valor presente e pelo 
método do valor futuro. 
Resolução: 
Caso o comprador queira financiar, terá que dar o valor de entrada de 20% em cima de 35.000,00, o 
que da o valor de R$7.000,00, sobrando assim = 35.000-7.000(20%)= 28.000,00, para dar no valor a 
ser financiado. 
PV=28.000,00 
FV=31.000,00, daqui a 5 meses 
 
Usamos a fórmula da capitalização composta para descobrir qual o valor esta sendo cobrado como 
taxa de juros(i): 
 
FV= VP.(1+i)n 
31.000=28.000.(1+i)5 
31.000/28.000 = (1+i)5 
1,1071=(1.i)5 
√1,1071
5
= (1 + 𝑖) 
1,0206=(1+i) 
i=1,0206-1 
i=0,0206 . 100 = 2,06 % a.m. - Taxa cobrada pela concessionária, pelo financiamento de 28.000,00 
em 5 meses. 
 
 
O mercado financeiro está oferecendo uma taxa de 3,5% a.m., taxa mais alta do que a 
concessionária(2,06%). 
Ou seja, se ele aplicar o mesmo valor no mercado financeiro, obterá um retorno mais. Usando a taxa 
de 3,5% do mercado financeiro, ficará o valor de : 
 
3,5%/100=0,035 – Valor decimal 
 
FV=VP.(1+i)n 
FV=28.000.(1+0,035)5 
FV=28.000.(1,035)5 
FV=28.000.1,1876 
FV=33.252,80 - Montante cobrado, ou seja, valor maior do que a concessionária cobraria após 5 
meses, sendo a aplicação no mercado financeiro com a taxa de 3,5%, um melhor investimento a ser 
feito. 
Valor á vista: R$ 35.000. 
Financiado: 7.000 no ato + 31.000 em 5 meses (mas deixando aplicado os R$ 28.000 que sobram 
após dar a entrada, em 5 meses o comprador teria R$ 33.252,80). 
 
 
 
Situação 3: 
Um investidor resgatou a importância de R$ 255.000,00 nos bancos Alfa e Beta. Sabe-se que resgatou 
38,55% do Banco Alfa e o restante no banco Beta, com as taxas mensais de 8% e 6%, respectivamente. 
O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Quais foram os valores aplicados nos Bancos Alfa e 
Beta? 
 Resolução: 
FV Total= 255.000,00 - Montante 
FV do Banco Alfa: 38,55% de 255.000 = 98.302,50 
FV do Banco Beta: 61,45% de 255.00 = 156.697,50 
Taxa de Alfa: i = 8% a.m. 
Taxa de Beta: i = 6% a.m. 
 
Aplicação no Banco Alfa: 
FV=VP . (1+i)n 
98.302,50=VP.(1+0,08)1 
98.302,50=VP.1,08 
VP= 98.302,50/1,08 
R$91.020,83 
 
Aplicação no Banco Beta: 
FV=VP . (1+i)n 
156.697,50=VP.(1+0,06) 
156.697,50=VP.1,06 
VP=156.697,50/1,06 
R$147.827,83 
 
 
 
Situação 4: 
Quantos dias serão necessários para que um investidor consiga triplicar uma aplicação financeira de 
6% ao ano, pelo regime de juros compostos? E quantos meses seriam necessários para duplicar um 
capital investido a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao semestre? 
 Resolução: 
Quantos dias serão necessários para que um investidor consiga triplicar uma aplicação financeira de 
6% ao ano, pelo regime de juros compostos? 
Fórmula: 
FV= PV . (1+i)n 
3PV=VP . (1.0,06)n 
3VP/VP = (1+0,06)n 
3= n . 1,06 
Aplicando o log dos dois lados da igualdade, temos: 
log 3 = n . log1,06 
n = log3/log1,06 
n= 0,4771/0,0253 
n= 18,8577 anos 
Transformando para dias, multiplicando por 360 dias, temos: 
n= 18,8577 * 360 
n= 6.788,77 
n= 6.788 dias 
E quantos meses seriam necessários para duplicar um capital investido a uma taxa de juros compostos 
de 3,5% ao semestre? 
Fv= 2 . Pv 
i= 3,5% a.s. (3/100 = 0,035) 
n? 
Fórmula: 
Fv = Pv.(1+i)n 
2 Pv = Pv . (1+0,035)n 
2Pv/Pv = (1+0,035)n 
2= n . 1,035 
Aplicando o log dos dois lados da igualdade, temos: 
log2 = n * log1,035 
n = log2/log1,035 
n= 0,3010/0,0149 
n= 20.2013 semestres 
 
Transformando para meses multiplicando o valor por 6 que é o nº de meses por semestre, temos: 
n= 20.2013 * 6 
n = 121,2078 
n= 121 meses 
Resposta final: Será necessário 6.788 dias, para que o investidor consiga triplicar a aplicação 
financeira a uma taxa de juros compostos de 6% ao ano e 121 meses para que o investidor consiga 
duplicar o capital investido a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao semestre. 
 
Situação 5: 
Um investidor aplicou R$100.000,00 em um CDB prefixado e resgatou R$110.000,00 após 63 dias 
úteis. Determine a taxa anual de juros desta aplicação, de acordo com o regime composto de 
capitalização. 
63 dias úteis 
1 ano – 252 dias úteis 
Logo: 63/252 = 0,25 de ano 
FV = PV . (1+i)n 
110.000 = 100.000 . (1+i)0,25 
110.000/100.000=(1+i)0,25 
1,1 = (1+i)0,25 
0,25 1,1 =( 1+i ) 
1+i = 1,4641 
i = 1,4641 – 1 
i = 0,4641. 100 = 46,41% a.a 
Resposta final: A taxa anual de juros desta aplicação de acordo com o regime composto é 46,41%