Aula III e IV- Distribuição de frequências

Prévia do material em texto

Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Estat´ıstica para Gestores
Professora: Camila M. S. Oliveira
Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Joa˜o Pessoa,2019
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Apresentac¸a˜o de Dados Estat´ısticos
Quando lidamos com poucos valores nume´ricos, o trabalho
estat´ıstico fica sensivelmente reduzido. No entanto, normalmente
teremos que trabalhar com grande quantidade de dados.
Suponha que observamos as notas de 30 alunos em uma prova e
obtivemos os seguintes valores:
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Apresentac¸a˜o de Dados Estat´ısticos
Entendemos como Frequeˆncia simples de um elemento e´ o
nu´mero de vezes que este elemento aparece no conjunto de dados,
podemos reduzir significativamente o nu´mero de elementos com
os quais devemos trabalhar.
Uma distribuic¸a˜o de frequeˆncia e´ um me´todo de se agrupar
dados em classes de modo a fornecer a quantidade (e/ou a
percentagem) de dados em cada classe.
Com isso, podemos resumir e visualizar um conjunto de dados
sem precisar levar em conta os valores individuais.
Uma distribuic¸a˜o de frequeˆncia (absoluta ou relativa) pode ser
apresentada em tabelas ou gra´ficos
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Apresentac¸a˜o de Dados Estat´ısticos
Frequeˆncia Absoluta: e´ a quantidade de vezes que um mesmo
valor de um dado e´ repetido.∑
fi = n (1)
Frequeˆncia Relativa: e´ a frequeˆncia absoluta em termos %, ou
seja, e´ quociente entre a frequeˆncia absoluta da varia´vel e o
nu´mero total de observac¸o˜es.
fr =
fi∑
fi
(2)
Dados Brutos: sa˜o os dados originais que ainda na˜o foram
numericamente organizados apo´s a coleta;
Rol: e´ a ordenac¸a˜o dos valores obtidos em ordem crescente ou
descrente de grandeza nume´rica ou qualitativa.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Apresentac¸a˜o de Dados Estat´ısticos
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncia - Varia´vel Discreta
Distribuic¸a˜o de frequeˆncia e´ uma representac¸a˜o tabular de um
conjunto de valores em que colocamos na primeira coluna em
ordem crescente apenas os valores distintos da se´rie e na segunda
coluna colocamos os valores das frequeˆncias simples
correspondentes.
Se usarmos f para representar frequeˆncia simples, a sequeˆncia das
notas dos 30 alunos, pode ser representada pela tabela:
xi fi
2 1
3 5
3,5 6
4 10
4,5 4
5 4
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncia - Varia´vel Cont´ınua
Suponha que a observac¸a˜o das notas de 30 alunos em uma prova
nos conduzisse aos seguintes valores:
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncia - Varia´vel Cont´ınua
Nota-se uma grande quantidade de nu´meros distintos, desse
modo, sera´ conveniente agrupar os dados por faixas de valores:
Classe Notas fi
1 2–4 4
2 4–6 10
3 6–8 12
4 8–10 4
Esta apresentac¸a˜o da se´rie de valores e´ denominada varia´vel
cont´ınua.
Observac¸a˜o
Devemos optar por uma varia´vel cont´ınua na representac¸a˜o de uma
se´rie de valores quando o nu´mero de elementos distintos da se´rie for
grande.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Construc¸a˜o da Varia´vel Discreta
A construc¸a˜o de uma varia´vel discreta e´ bastante simples. Basta
observar quais sa˜o os elementos distintos da sequeˆncia,
ordena´-los, e coloca´-los na primeira coluna da tabela.
Em seguida computar a frequeˆncia simples de cada elemento
distinto e coloca´-la na segunda coluna da tabela.
Exemplo de construc¸a˜o de uma varia´vel discreta: A sequeˆncia
abaixo representa a observac¸a˜o do numero de acidentes por dia,
em uma rodovia, durante 20 dias.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Construc¸a˜o da Varia´vel Discreta
Os valores distintos da sequeˆncia sa˜o:0, 1, 2, 3.
As frequeˆncias simples respectivas sa˜o: 8, 5, 5, 2.
Portanto, a varia´vel discreta representativa desta sequeˆncia e´:
xi fi
0 8
1 5
2 5
3 2
5 4
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Construc¸a˜o da Varia´vel Cont´ınua
A construc¸a˜o da varia´vel cont´ınua requer o conhecimento de alguns
conceitos que vamos estabelecer aproveitando a tabela abaixo como
exemplificac¸a˜o:
Classe Notas fi
1 2–4 4
2 4–6 10
3 6–8 12
4 8–10 4
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Construc¸a˜o da Varia´vel Cont´ınua
Considere os as notas de 16 alunos da turma de estat´ıstica e observe as
etapas para construc¸a˜o da tabela de frequeˆncia da Varia´vel Cont´ınua:
3,5 3 4,5 2 7 9 9,5
8 7 9,5 2,5 9,5 3,5 6 6,5 4,5
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Construc¸a˜o da Varia´vel Cont´ınua
Amplitude Total da Distribuic¸a˜o
Diferenc¸a entre o raio maior e o menor elemento de uma sequeˆncia.
At = Xmax −Xmin (3)
Intervalo de classe
E´ qualquer subdivisa˜o da amplitude total de uma se´rie estat´ıstica.
Por exemplo: 2 - 4 ( de 2 a` 4 e´ um intervalo de classe).
Limite de classe
Cada intervalo de classe fica caracterizado dois nu´meros reais.
Por exemplo: Considere o intervalo de classe: 2 - 4, fica definido
como Limite inferior(l2=2) e Limite superior(L2=4)
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Construc¸a˜o da Varia´vel Cont´ınua
Amplitude do intervalo de classe
E´ a diferenc¸a entre o limite superior e o limite inferior da classe. Se
usarmos h para representar a amplitude do intervalo de classe
podemos estabelecer:
h = L− I (4)
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Etapas para construc¸a˜o da Varia´vel Cont´ınua
1 CALCULAR O NU´MERO DE CLASSES
k =
√
n (5)
n e´ o total de observac¸o˜es.
Seguindo o exemplo das notas teremos: k =
√
16 = 4
2 CALCULAR A AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE (a
distaˆncia dentro do intervalo de classe).
h =
At
k
(6)
Seguindo o exemplo das notas teremos:
h =
8
4
= 2
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
EXEMPLO: Etapas para construc¸a˜o da Varia´vel
Cont´ınua
1o Passo: CALCULAR A AMPLITUDE TOTAL DE UMA
SEQUEˆNCIA
Suponha o exemplo das notas dos 16 alunos : At = 9, 5− 2 = 7, 5,
ajustando a amplitude total temos que At = 8. Pois se isto fosse
feito, o limite superior da u´ltima classe seria 9,5, e como o limite
superior na˜o deve pertencer a classe, o elemento 9,5 da sequeˆncia
estat´ıstica original ficaria sem classificac¸a˜o.
2o Passo: CALCULAR O NU´MERO DE CLASSES
Seguindo o exemplo das notas teremos: k =
√
16 = 4
3o Passo: CALCULAR A AMPLITUDE DO INTERVALO DE
CLASSE (a distaˆncia dentro do intervalo de classe). Seguindo o
exemplo das notas dos 16 alunos de estat´ıstica teremos:
h =
8
4
= 2
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
EXEMPLO: Etapas para construc¸a˜o da Varia´vel
Cont´ınua
Observac¸a˜o: Um crite´rio importante para construc¸a˜o do intervalo e´
queconsideramos o intervalo semi-aberto, logo,o intervalo do tipo 2 –
4, significa que estou considerando os valores maiores e iguais a 2,
pore´m menores que 4.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
TABELA DAS NOTAS ORGANIZADAS EM
INTERVALOS DE CLASSE
Classe Notas fi
1 2–4 5
2 4–6 2
3 6–8 4
4 8–10 5
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Exerc´ıcio Proposto
Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de
uma faculdade, revelou os seguintes valores:
18, 17, 18, 20, 21, 19, 20, 18, 17, 19
20, 18, 19, 18, 19, 21, 18, 19, 18, 18
19, 19, 21, 20, 17, 19, 19, 18, 18, 19
18, 21, 18, 19, 19, 20, 19, 18, 19, 20
18, 19, 19, 18, 20, 20, 18, 19, 18, 18
Agrupe, por frequeˆncia, estes dados.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Resoluc¸a˜o
OBSERVAC¸A˜O IMPORTANTE!
Devemos optar por uma varia´vel discreta na representac¸a˜o de uma
se´rie de valores quando o nu´mero de elementos distintos da se´rie for
pequeno.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Exerc´ıcio Proposto
Uma indu´stria embala pec¸as em caixas com 100 unidades. O controle
de qualidade selecionou 48 caixas na linha de produc¸a˜o e anotou em
cada caixa o nu´mero de pec¸as defeituosas. Obteve os seguintes dados:
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 0
0 0 3 0 0 0 2 0 0 1
1 2 0 2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
Agrupe, por frequeˆncia, estes dados.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Resoluc¸a˜o
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Exerc´ıcio Proposto
Uma empresa automobil´ıstica selecionou ao acaso, uma amostra de 40
revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado
meˆs o nu´mero dc unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve
os seguintes dados:
10 15 25 21 6 23 15 21 26 32
9 14 19 20 32 18 16 26 24 20
7 18 17 28 35 22 19 39 18 21
15 18 22 20 25 28 30 16 12 20
Agrupe, por frequeˆncia, estes dados.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Resoluc¸a˜o
OBSERVAC¸A˜O IMPORTANTE!
Devemos optar por uma varia´vel cont´ınua na representac¸a˜o de uma
se´rie de valores quando o nu´mero de elementos distintos da se´rie for
grande.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias - Varia´vel Discreta
FREQUEˆNCIA RELATIVA DE UM ELEMENTO DA SE´RIE –
E´ a divisa˜o da frequeˆncia simples deste elemento pelo nu´mero
total de elementos da se´rie.
fri =
fi
n
(7)
1 Considere a varia´vel discreta:
xi fi
2 3
3 7
4 8
6 6
7 1
2 O total de elementos desta se´rie e´ 25. Portanto, a frequeˆncia
relativa 30 primeiro elemento distinto da se´rie, que e´ 2, vale:
fr1 =
3
25
= 0, 12ou12%
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias - Varia´vel Discreta
FREQUEˆNCIA ACUMULADA DE UM ELEMENTO DE
SE´RIE ( Fi) – E´ a soma da frequeˆncia simples deste elemento
com as frequeˆncias simples dos elementos que o antecedem.
F = f1 + f2 + · · ·+ fi (8)
1 Desta forma, a frequeˆncia acumulada para os elementos 2, 3, 4, 6
e 7 valem respectivamente:
F1 = f1
F2 = f1 + f2
...
F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
FREQUEˆNCIA ACUMULADA RELATIVA DE UM
ELEMENTO DA SE´RIE (FRi) – E´ a divisa˜o da frequeˆncia
acumulada deste elemento, pelo nu´mero total de elementos da
se´rie:
FRi =
Fi
n
(9)
1 Assim, a frequeˆncia acumulada relativa dos elementos 2, 3, 4, 6 e
7 valem respectivamente:
FR1 =
F1
n
= 0, 12ou012%
FR2 =
F2
n
= 0, 12ou012%
...
FR5 =
F5
n
= 1ou100%
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias - Varia´vel Discreta
Juntando a frequeˆncia relativa, acumulada e acumulada relativa,
temos:
xi fi fri% Fi FRi%
2 3 12 3 12
3 7 28 10 40
4 8 32 18 72
6 6 24 24 96
7 1 4 25 100
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias - Varia´vel Cont´ınua
No caso da varia´vel cont´ınua, pelo fato de termos utilizado intervalos
de classe, semi-aberto a direita, as interpretac¸o˜es sa˜o diferentes.
Portanto, redefiniremos estes tipos de frequeˆncia.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias - Varia´vel Cont´ınua
FREQUEˆNCIA RELATIVA DE UMA CLASSE (fri) – E´ a
divisa˜o da frequeˆncia simples desta classe pelo nu´mero total de
elementos da se´rie.
fri =
fi
n
(10)
FREQUEˆNCIA ACUMULADA DE UM ELEMENTO DE
SE´RIE ( Fi) – E´ a soma da frequeˆncia simples deste elemento
com as frequeˆncias simples dos elementos que o antecedem.
F = f1 + f2 + · · ·+ fi (11)
FREQUEˆNCIA ACUMULADA RELATIVA DE UM
ELEMENTO DA SE´RIE (FRi) – E´ a divisa˜o da frequeˆncia
acumulada deste elemento, pelo nu´mero total de elementos da
se´rie:
FRi =
Fi
n
(12)
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Exerc´ıcio Proposto
Classe Notas fi
1 2–4 6
2 4–6 18
3 6–8 10
4 8–10 6
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Exerc´ıcio Proposto
Classe Notas fi fri Fi FRi
1 2–4 6 15 6 15
2 4–6 18 45 24 60
3 6–8 10 25 34 85
4 8–10 6 15 40 100
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Refereˆncias
SILVA, E. M. d. et al. Estat´ıstica para os cursos de economia,
administrac¸a˜o e cieˆncias conta´beis. Sa˜o Paulo: Atlas, 1999.
Professora: Camila M. S. Oliveira Faculdade Internacional da Para´ıba - FPB
Distribuic¸a˜o de frequeˆncias