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Modelagem de Sistemas Logísticos 
MSL_Tutoria
Material 1
ricardo.buneder@unilasalle.edu.br
12/08/2019
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Iniciamos nosso curso de 
Modelagem apresentando o 
conceito de Management 
Science (MS).
Trata-se da área de estudos que
utiliza computadores, estatística e 
matemática para resolver 
problemas de negócios.
Management 
Science
▪A Management Science pode
ser considerada uma subárea
da Pesquisa Operacional (PO),
por tratar da aplicação de
modelos matemáticos à área
de negócios.
3
Management 
Science
▪Mas o que se entende por
Pesquisa Operacional? A PO é
uma ferramenta matemática
que auxilia no processo de
tomada de decisão em
situações reais.
▪Muitos autores definem a PO
como um método para a
tomada de decisões.
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Pesquisa 
Operacional 
(PO)
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A pesquisa operacional pode
ser definida como o conjunto
de técnicas que faz uso do
método científico para auxiliar
as pessoas a tomarem decisões.
Pesquisa 
Operacional
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O que é método?
E modelo?
Qual a diferença 
entre os dois? 
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Método e 
Modelo
▪Método pode ser definido como o
procedimento, a técnica ou meio de
fazer alguma coisa, especialmente de
acordo com um plano.
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Método
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Método para Verificar se uma 
Lâmpada está Queimada
▪Modelo pode ser definido como uma
representação simplificada do
comportamento da realidade expressa
na forma de equações matemáticas e
que serve para simular esta realidade.
▪Exemplo: modelo de roteirização para
a distribuição física aos clientes de uma
empresa engarrafadora de bebidas.
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Modelo
▪Para que serve a
modelagem? A modelagem
oferece diretrizes para a
tomada de decisões nos vários
âmbitos da organização, ou
seja, a modelagem oferece
informações para chegarmos à
melhor decisão ou à melhor
solução para o problema.
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Modelagem
É importante salientar que,
conforme mostra a Figura 1,
mesmo utilizando modelos para
auxiliar a tomada de decisões,
não devemos deixar de levar em
conta a intuição.
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Tomada de 
Decisão
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Situação 
Gerencial
Decisões
Mundo Real
Mundo 
Simbólico
Modelo Resultado
Intuição
Figura 1 – Processo de tomada de decisão
▪Cabe à intuição a função de
selecionar aspectos do modelo
considerados pertinentes, bem
como validar resultados.
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Tomada de 
Decisão
Albert Einstein, ao ser indagado a
respeito de como utilizaria seu
tempo se dispusesse apenas 1 hora
para salvar o mundo, respondeu:
“[...] eu gastaria 55 minutos
definindo o problema e então
usaria os 5 minutos restantes para
resolvê-lo”.
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O processo 
decisório
O processo 
decisório
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▪ Ou seja, tão importante quanto a tomada 
de decisão é o processo que a antecede
e que gera as ações que podem promover 
a melhoria da situação problemática. Esse 
processo é chamado de processo 
decisório.
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Processo Decisório é aquele 
que antecede a tomada de 
decisão e que gera as ações que 
podem promover a melhoria da 
situação problemática.
O processo 
decisório
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Pesquisa Operacional é o ramo da 
ciência que se dedica 
exclusivamente ao desenvolvimento 
de modelos para auxiliar as pessoas 
e organizações em seus processos 
decisórios.
Pesquisa 
Operacional 
(PO)
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Fatores Cenários
Importância
Está relacionada ao impacto que a decisão pode
provocar na organização (ganhos ou prejuízos);
Agentes
O número de decisores (um ou grupo), simplifica
ou torna mais complexo o processo;
Risco O grau de incerteza influencia as decisões;
Ambiente
Aspectos sociais, políticos e culturais que
interferem no processo decisório;
Conflitos
Choque de interesses entre setores de uma
organização ou entre tomadores de decisão.
Figura 2 – Fatores e cenários que interferem na tomada de decisão
▪Existem diferentes tipos de
modelos:
▪modelos conceituais;
▪modelos simbólicos ou
matemáticos;
▪modelos heurísticos.
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Tipos de 
Modelos
▪Os modelos conceituais relacionam
de maneira sequencial e lógica as
informações e fases do processo de
decisão.
▪Um exemplo de modelo conceitual é
aquele mostrado na Figura 3 sobre
aplicação das técnicas de Pesquisa
Operacional.
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Modelos 
Conceituais
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Sistema real/Mundo 
real
Figura 3 – Representação simplificada do processo de modelagem
Sistema reduzido 
às suas variáveis 
principais
MODELO
▪Os modelos simbólicos ou
matemáticos baseiam-se no
pressuposto que todas as
informações e variáveis relevantes do
problema podem ser quantificadas.
▪ Isso conduz à utilização de símbolos e
funções matemáticas para
representar essas variáveis a fim de
descrever as ligações entre elas e o
sistema real/mundo real.
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Modelos 
Simbólicos ou 
Matemáticos
Modelos 
Simbólicos ou 
Matemáticos
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▪Os modelos heurísticos são
utilizados quando a complexidade
do problema é de tal ordem que a
utilização de relações matemáticas
torna-se impraticável ou
extremamente dispendiosa.
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Modelos 
Heurísticos
▪Normalmente são compostos por
algoritmos exploratórios. Geralmente
não envolvem a implementação
computacional de um conhecimento
especializado (por exemplo, um
modelo heurístico, para resolver uma
equação de segundo grau, não usaria,
necessariamente, a fórmula de
Báskara, mas buscaria, por outros
métodos, uma solução que atendesse
à equação).
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Modelos 
Heurísticos
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Modelos 
Heurísticos
▪A metodologia de PO que
utilizaremos será baseada em
modelos matemáticos.
▪Os modelos matemáticos são
classificados em dois grandes
grupos: os modelos de
otimização e os modelos de
simulação.
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Pesquisa 
Operacional 
(PO)
▪Um modelo de otimização é a
representação matemática de uma
dada situação problemática, com o
objetivo de determinar o melhor
resultado possível, ou seja, a melhor
relação custo/benefício para a
organização.
▪A estrutura básica de um modelo de
otimização é composta por sua
função objetivo, suas variáveis de
decisão, seus parâmetros e suas
restrições.
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Modelos 
Matemáticos 
de Otimização
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MODELOS DE OTIMIZAÇÃO
Figura 4 – Representação de um modelo matemático de otimização
Modelos 
Matemáticos 
de Otimização
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Modelos 
Matemáticos 
de Otimização
▪ Em PO, otimizar significa
determinar os valores das
variáveis de decisão que
satisfaçam todas as restrições
do modelo e produzam o
máximo (ou o mínimo, conforme
o caso) valor para a função-
objetivo.
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Modelos 
Matemáticos 
de Otimização
▪ Exemplo: se a função-objetivo
do problema for a maximização
do lucro para uma dada
operação, então a otimização se
dará quando os valores obtidos
para as variáveis de decisão
satisfizerem as restrições do
problema e, ao mesmo tempo,
alcançarem o valor máximo
para o lucro.
▪Um modelo de simulação é a
representação matemática de uma
dada realidade, com a finalidade de
verificar o comportamento da mesma
quando os valores ou o ordenamento
das variáveis que a compõem são
alterados. Ao contrário dos modelos de
otimização, os modelos de simulação
não fornecem a melhor alternativa,
mas sim um conjunto de alternativas,
todas viáveis para a solução do
problema.
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Modelos 
Matemáticos 
de Simulação
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Modelos de 
Otimização: 
alocação de 
recursos
▪ Os problemas de alocação de
recursos empresariais dizem
respeito à distribuição dos
mesmos entre as diversas
atividades empresariais que
devem ser realizadas.
▪ Em geral, os recursos
disponíveisnão são suficientes
para que todas essas atividades
sejam executadas de forma a
alcançar-se o nível mais elevado
desejado pela organização.
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Modelos de 
Otimização: 
alocação de 
recursos
▪Assim, o que se procura nesses
casos é encontrar a melhor
distribuição possível dos recursos
escassos entre as diversas
tarefas/atividades, de modo a atingir
um valor ótimo para o objetivo
estabelecido.
▪Assim, os problemas de alocação
de recursos caracterizam-se pelos
seguintes fatos:
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Modelos de 
Otimização: 
alocação de 
recursos
▪ Os problemas de alocação de
recursos apresentam as seguintes
características:
- existência de uma função-
objetivo que possa ser escrita em
termos das variáveis de decisão
do problema;
- existência de restrições à
aplicação dos recursos, tanto com
relação às quantidades
disponíveis quanto em relação à
forma de empregá-los;
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Modelos de 
Otimização: 
alocação de 
recursos
- são representados por um
modelo matemático de
otimização, no qual todas as
funções matemáticas são lineares;
- são resolvidos através da
utilização da Programação
Linear.
O que é uma função linear?
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Função Linear
▪ É aquela em que somente
constantes (números)
aparecem multiplicando
variáveis, as quais devem ser
de primeira ordem (expoente
= 1).
Exemplo:
2x + 1: linear
xy² + 1: não linear, pois existem
duas variáveis multiplicando uma
à outra (x e y) e, além disso, a
variável y possui expoente ≠ 1.
40
Uma função é linear quando a
variável x (ou qualquer outra)
possuir expoente = 1 e não
estiver multiplicando outra
variável.
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Programação 
Linear (PL)
▪ E Programação Linear (PL),
o que é?
Trata-se de uma das
ferramentas utilizadas em
Pesquisa Operacional (PO)
para a solução de modelos
matemáticos de otimização.
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Programação 
Linear (PL)
▪A palavra programação não diz
respeito à programação de
computadores e, sim,
planejamento.
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Programação 
Linear (PL)
▪ A Programação Linear tem
por objetivo encontrar a solução
ótima para a alocação de
recursos escassos na realização
de atividades.
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Solução 
Ótima
▪ Mas o que é uma solução
ótima? É aquela que melhor
serve aos objetivos das pessoas e
das organizações.
Exemplo: encontrar o lucro
máximo ou o custo mínimo
decorrente de uma dada
atividade empresarial.
Solução 
Ótima
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Solução 
Ótima
▪ É importante salientar que não
existe uma solução melhor que a
ótima.
▪ Podem existir outras tão boas
quanto, mas não melhores.
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Programação Linear é o planejamento de 
atividades para a obtenção de um resultado 
ótimo, isto é, um resultado que atenda, da 
melhor forma possível, a um determinado 
objetivo.
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M
O
D
E
L
O
S
 
M
A
T
E
M
Á
T
IC
O
S
Variáveis de 
Decisão
Parâmetros
Restrições
Função 
Objetivo
Figura 5 – Composição de um modelo matemático de otimização
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Variáveis de 
Decisão
▪As variáveis de decisão de um
modelo matemático de
otimização são aquelas que
podem ser controladas pelo
tomador de decisão.
▪Exemplo: o número de
caminhões que uma
engarrafadora de bebidas deve
despachar num determinado
dia para atender a seu mercado
consumidor.
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Parâmetros
▪ Os parâmetros de um modelo
matemático de otimização são as
variáveis utilizadas no modelo
matemático que não podem ser
controladas pelo tomador de decisão.
A solução do problema é encontrada
admitindo que os parâmetros não
podem ter seus valores alterados pelo
tomador de decisão.
▪ Exemplo: a capacidade de carga de
cada caminhão que vai transportar as
bebidas. Os caminhões têm uma
capacidade especificada pelo
fabricante e uma carga total
transportada que é limitada pela
legislação de trânsito.
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Restrições
▪As restrições de um modelo
matemático de otimização são
regras que dizem o que o
tomador de decisão pode (ou
não) fazer e quais são as
limitações dos recursos ou das
atividades que estão associadas
ao modelo. Exemplo: o número
total de caminhões alocados
para cada turno tem que ser
menor ou igual ao número de
motoristas que a empresa tem à
disposição em cada turno.
52Mr. Bean motorista
53
Função 
objetivo
▪ A função-objetivo de um modelo
matemático de otimização é aquela
que representa o principal objetivo
do tomador de decisão. Ela pode
ser de dois tipos: de minimização
(de custos, erros, chance de perda,
desvio do objetivo etc.) ou de
maximização (de lucro, receita,
utilidade, bem estar, riqueza,
chance de sobrevivência etc.).
▪ Exemplo: minimizar os custos de
transporte relativos à distribuição
de bebidas.
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Exemplo 1 de 
aplicação de 
modelos 
matemáticos de 
otimização
▪ Para uma melhor compreensão
entender dos conceitos de Modelos
Matemáticos de Otimização,
vamos a um exemplo.
▪ Uma empresa produz 2 tipos de
produtos, P1 e P2, em uma de suas
fábricas. Para a fabricação desses
dois produtos, 3 insumos são críticos:
as quantidades de matérias-primas
(tipos A e B) utilizadas e a mão de
obra disponível. O departamento de
produção sabe que, para o próximo
mês, 4.900 kg da matéria-prima A e
4.500 kg da matéria-prima B estarão
disponíveis.
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Exemplo 1 de 
aplicação de 
modelos 
matemáticos de 
otimização
▪ Cada unidade do produto P1
consome 70 kg da matéria-prima
A e 90 kg da matéria-prima B. Por
sua vez, cada unidade do produto
P2 utiliza em sua produção 70 kg
da matéria-prima A e 50 kg da
matéria-prima B. Como a
produção dos dois produtos utiliza
processos diferentes, a mão de
obra é especializada e diferente
para cada produto, ou seja, não se
pode utilizar a mão de obra
disponível para a produção de um
dos produtos na produção do
outro.
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Exemplo 1 de 
aplicação de 
modelos 
matemáticos de 
otimização
▪Assim, para a produção do
produto P1 a empresa terá
disponível, no próximo mês, 80
H.h (homens-hora). Já para a
produção de P2, terá 180 H.h.
Cada unidade de P1, para ser
produzida, utiliza 2 H.h,
enquanto cada unidade de P2
utiliza 3 H.h.
▪A comercialização de cada
unidade de P1 gera um lucro de
$ 20 e a de cada unidade de P2
gera um lucro de $ 60.
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Exemplo 1 de 
aplicação de 
modelos 
matemáticos de 
otimização
▪Dada a grande demanda, toda
a produção de P1 e P2 é
vendida. O objetivo da
empresa é obter o maior lucro
possível a partir da venda de
P1 e P2. Quantas unidades de
cada produto deverão ser
produzidas a fim de atingir
esse objetivo?
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Solução
▪ As variáveis de decisão do
problema (aquilo que está sob
controle do tomador de
decisão) são:
X1 = nº de unidades de P1 a
serem produzidas no próximo
mês;
X2 = nº de unidades de P2 a
serem produzidas no próximo
mês.
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Solução
▪ O próximo passo é identificar
a função-objetivo que se
deseja alcançar e expressá-la
através de uma função
matemática linear contendo as
variáveis de decisão (X1 e X2).
60
Solução
▪O objetivo do modelo é maximizar
o lucro total com a venda dos dois
produtos. Assim, produzindo e
comercializando X1 unidades de P1,
teremos um lucro de 20X1. Da
mesma forma, para P2, o lucro será
de 60X2 para cada unidade
comercializada. Desta forma, a
função lucro que queremos
maximizar, será expressa da
seguinte forma: 20x1 + 60x2.
▪Essa função é chamada de função-
objetivo e é representada pela letra
Z.
61
Solução
▪Assim, a função-objetivo do modelo
em questão é:
MAX Z = 20X1 + 60X2
62
Solução
▪ Nosso modelo não se restringe
à função-objetivo, pois se
assim o fosse bastaria produzir
infinitas unidades de P1 e P2
para obter o maior lucro
possível.No entanto, isso é
impossível dadas à
disponibilidade de matérias-
primas e mão de obra. Assim,
temos que representar as
restrições do modelo.
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Solução
▪A primeira restrição diz respeito à
quantidade de matéria-prima A,
que para o próximo mês é de 4.900
kg. Sabe-se que a produção de 1
unidade de P1 necessita de 70 kg
de A e que a produção de 1
unidade de P2 necessita também
de 70 kg de A. Como só há 4.900 kg
de A disponíveis, temos que a
primeira restrição pode ser escrita
da seguinte forma:
R1: 70X1 + 70X2 ≤ 4.900 (restrição
de MP A);
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Solução
▪ Utilizando-se do mesmo
raciocínio para a matéria-prima
B, teremos a segunda restrição:
R2: 90x1 + 50x2 ≤ 4.500 (restrição
MP B)
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Solução
▪ Agora temos que representar a
restrição relativa à mão de
obra. Para a produção de P1,
temos 80 H.h disponíveis,
sendo que cada unidade de P1
utiliza 2 H.h, logo a terceira
restrição será:
R3: 2x1 ≤ 80, que de forma
simplificada pode ser expressa
como
R3: x1 ≤ 40 (restrição de MO P1)
66
Solução
▪ Já para P2, a restrição relativa à
mão de obra é escrita da
seguinte forma:
R4: 3x2 ≤ 180, ou, de forma
simplificada:
R4: x2 ≤ 60 (restrição de MO P2)
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Solução
▪ Há ainda a restrição de não
negatividade. Qual seu
significado? Como X1 e X2
representam o número de
unidades de P1 e P2 a serem
fabricadas, não é possível que
tais números sejam negativos, ou
seja, não existe a fabricação de
um número negativo de unidades
de um produto. Assim, a última
restrição do modelo é escrita da
seguinte forma:
R5: x1, x2 ≥ 0 (restrição de não-
negatividade).
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Solução
▪ Escrevendo o modelo de PL
completo (também chamada de
forma canônica):
MAX Z = 20x1 + 60x2 (função 
objetivo)
s.a. (sujeito a)
Restrições
R1: 70x1 + 70x2 ≤ 4.900
R2: 90x1 + 50x2 ≤ 4.500
R3: 2x1 ≤ 80
R4: 3x2 ≤ 180
R5: x1, x2 ≥ 0
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Exemplo 2 de 
aplicação de 
modelos 
matemáticos de 
otimização
▪ Uma fábrica de rádios possui
duas linhas de produção: rádios
Standard e rádios Luxo. Com
relação aos rádios Standard
temos as seguintes informações:
a linha de produção comporta
um máximo de 24 pessoas; cada
rádio utiliza 1 H.h para ser
produzido e sua comercialização
fornece um lucro de R$ 30,00.
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Exemplo 2 de 
aplicação de 
modelos 
matemáticos de 
otimização
Para os rádios Luxo, a linha de
produção comporta um máximo de
32 pessoas; cada rádio demanda 2
H.h para ser produzido; além disso,
a comercialização desse tipo de
rádio fornece um lucro unitário de
R$ 40,00. Além disso, sabe-se que a
fábrica possui um total de 40
funcionários para serem alocados
nas duas linhas de produção. Qual o
número de rádios de cada modelo a
serem produzidos por hora a fim de
maximizar o lucro diário da fábrica?
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Solução
Variáveis de decisão
X1 = nº de rádios standard a ser
produzido por hora;
X2 = nº de rádios luxo a ser
produzido por hora.
Lucro: 30x1 + 40x2
Função-objetivo: MAX Z = 30x1 +
40x2
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Solução
Restrições
R1: x1 ≤ 24 (restrição de MO para
rádios standard)
R2: 2x2 ≤ 32, ou, x2 ≤ 16 (restrição
de MO para rádios luxo)
R3: x1 + 2x2 ≤ 40 (restrição de MO
para ambos os modelos)
R4: x1, x2 ≥ 0 (restrição de não-
negatividade)
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Solução
Forma Canônica
MAX Z = 30x1 + 40x2
s.a.
R1: x1 ≤ 24
R2: x2 ≤ 16
R3: x1 + 2x2 ≤ 40
R4: x1, x2 ≥ 0