Multiplicadores de Lagrange

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M U LT I P L I C A D O R E S D E L A G R A N G E 
 
Objetivos 
• Compreender o método dos multiplicadores de Lagrange. 
• Utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange na solução de problemas matemáticos. 
• Utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange na solução de problemas de 
Engenharia. 
Os multiplicadores de Lagrange são utilizados na solução de problemas de otimização 
restrita, ou seja, quando queremos resolver algum problema de otimização (como por 
exemplo encontrar as dimensões de uma caixa para que esta possua o volume máximo) que 
estão sujeitos a uma restrição (como por exemplo o valor do perímetro da base ser fixado). 
Dada uma restrição função e uma restrição constrói-se a seguinte função: 
 
Em que é um parâmetro a ser determinado. Após, calculam-se as seguintes derivadas 
parciais: 
 , e 
E resolve-se o sistema de três equações e três variáveis. Calculando em cada um dos pontos 
obtidos, o maior valor resulta no máximo da função, sujeita a restrição , e o 
menor valor no seu mínimo. O mesmo se aplica para qualquer função de mais do que uma 
variável! 
f (x, y) g(x, y) = 0
F(x, y) = f (x, y) − λg(x, y)
λ
Fx(x, y) = 0 Fy(x, y) = 0 Fλ(x, y) = 0
f
g(x, y) = 0
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Exemplo 1. Determine o máximo do volume 
 
Sujeito a restrição: 
 
Solução. Identificando e Primeiramente 
construímos a função: 
 
Calculando cada uma das derivadas temos: 
 
 
 
 
A melhor maneira de resolver o sistema é isolar na primeira equação 
 
 e substituir na segunda: 
 
Substituindo, estes dois resultados na terceira equação, obtemos: 
 
Agora substitui-se as expressões de e na última equação: 
 
V = xyz
6x + 4y + 3z = 24
f (x, y, z) = xyz g(x, y, z) = 6x + 4y + 3z − 24
F(x, y, z) = xyz − λ(6x + 4y + 3z − 24)
Fx = yz − 6λ = 0
Fy = xz − 4λ = 0
Fz = xy − 3λ = 0
Fλ = − 6x − 4y − 3z + 24 = 0
λ
λ = yz
6
xz − 4( yz6 ) = 0⇒ x = 46 y
(46 y) y − 3( yz6 ) = 0⇒ 46 y = 36 z ⇒ z = 43 y
x y
6( 46 y) + 4y + 3(43 y) − 24 = 0⇒ 12y − 24 = 0⇒ y = 2
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Assim, e . Portanto o volume máximo é: 
 
Exemplo 2. A produção de um fabricante é modelada pela função de Cobb-Douglas: 
 
Em que representa as unidades de mão de obra (a por unidade) e as unidades 
de capital (a a unidade). As despesas totais com mão de obra e capital não podem 
exceder . O nível máximo de produção excederá unidades? 
Solução. A função custo de produção total é . Como o custo não 
pode exceder , então a nossa restrição é: 
 
Assim, 
 
As derivadas são: 
 
 
 
Isolando na primeira equação: 
 
Substituindo na segunda: 
 
Substituindo o resultado na última equação: 
z = 8/3 x = 4/3
V = 4
3
× 2 × 8
3
= 64
9
 unidades cúbicas
f (x, y) = 100x3/4y1/4
x $ 150,00 y
$ 250,00
$ 50.000,00 16.000
C(x, y) = 150x + 250y
50.000
150x + 250y = 50.000⇒ g(x, y) = 150x + 250y − 50.000
F(x, y) = 100x3/4y1/4 − λ(150x + 250y − 50.000)
Fx = 75x−1/4y1/4 − 150λ = 0
Fy = 25x3/4y−3/4 − 250λ = 0
Fλ = − 150x − 250y + 50.000 = 0
λ
λ = 75
150
x−1/4y1/4 = 1
2
x−1/4y1/4
25x3/4y−3/4 − 250(12 x−1/4y1/4) = 0⇒ 25x3/4y−3/4 = 125x−1/4y1/4 ⇒ x
3/4
x−1/4
= 5 y
1/4
y−3/4
⇒ x = 5y
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Assim, a produção máxima é: 
 
Assim, a resposta é sim, o nível de produção irá exceder unidades. 
Exemplo Parcial 1. Uma empresa faz dois produtos substitutos cujas funções demanda são 
dadas por: 
 
 
Em que e são os preços por unidade (em dólares) e e são os números de unidades 
vendidas. Os custos de produção dos dois produtos são respectivamente, e por 
unidade. A demanda total está limitada a unidades por ano. Sabendo que a função lucro 
é: 
 
Determine os preços que resultarão em lucro máximo. 
Solução. A demanda total pelos produtos é de modo que a restrição para o problema 
é o que, substituindo os valores de e dados no problema, implica em: 
 
Assim, 
 
Calculando as derivadas e resolvendo o sistema, obtém-se e . Isso 
corresponde a um lucro anual de . 
150(5y) + 250y − 50.000 = 0⇒ y = 50
f (x, y) = 100(250)3/4(50)1/4 = 16719 unidades
16.000
x1 = 200(p2 − p1)
x2 = 500 + 100p1 − 180p2
p1 p2 x1 x2
$ 0,50 $ 0,75
200
L(p1, p2) = − 200p21 − 180p22 + 300p1p2 + 25p1 + 535p2 − 375
x1 + x2
x1 + x2 = 200 x1 x2
g(x, y) = − 100p1 + 20p2 + 300
F(x, y) = − 200p21 − 180p22 + 300p1p2 + 25p1 + 535p2 − 375 − λ(−100p1 + 20p2 + 300)
p1 ∼ $ 3,94 p2 ∼ $ 4,69
$ 712,21
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P R O B L E M A S D E F I X A Ç Ã O 
1. Maximize a função sujeita a restrição . 

R. 
2. Maximize a função sujeita a restrição . R. 
3. Resolva o exemplo 2 para disponíveis para despesas com capital e mão de obra. 
Qual o número máximo de unidades que podem ser produzidas? R. 23.400 unidades 
4. No exemplo parcialmente resolvido 1, determine os preços que produzirão o lucro 
máximo quando a demanda total é limitada a por ano. 
A P L I C A Ç Õ E S 
1. Uma certa caixa retangular está no plano com o vértice na origem. O vértice oposto 
está situado no plano , como mostrado na figura. Dica: maximize 
 sujeita a restrição .











2. Para redecorar um escritório, o custo para o novo carpete é de por pé quadrado e 
o custo para colocar papel de parede é de por pé quadrado. Encontre as 
dimensões do maior escritório que pode ser redecorado por . Dica: maximize 
 sujeito a 
3. Um fabricante tem um pedido de unidades de um papel fino que pode ser 
produzido em duas fábricas. Sejam e os números de unidades produzidas nas duas 
fábricas. A função custo é modelada por:

 

Encontre o número de unidades que devem ser produzidas em cada fábrica para 
minimizar o custo. 
f (x, y) = x2 + y2 + z2 x + y + z = 1
f (
3
3
,
3
3
,
3
3 ) = 3
f (x, y) = xy x + y = 10 f (5,5) = 25
$ 70.000
250 unidades
xy
2x + 3y + 5z = 90
V = xyz 2x + 3y + 5z − 90 = 0
$ 3,00
$ 1,00
$ 1.296,00
V = xyz 3xy + 2xz + 2yz = 1296
1.000
x1 x2
C = 0,25x21 + 25x1 + 0,05x22 + 12x2
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4. A função de produção de uma empresa é dada por:

 

em que é o número de unidades de trabalho (a por unidade) e é o número de 
unidades de capital (a por unidade). O custo total para o trabalho e o capital não 
pode exceder . 
 a) Encontre o nível máximo de produção para este fabricante. 
 b) Encontre a produtividade marginal do dinheiro . 
f (x, y) = 100x0,25y0,75
x $ 48,00 y
$ 36,00
$ 100.000,00
∂f
∂y
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