06_Anuidades_versao_18I_pdf

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Anuidades ou Rendas Certas
Rendas - Conceitos
As anuidades, também chamadas de rendas certas (ou por simplicidade, 
somente renda), constituem-se em um fluxo financeiro com pelo menos 
dois pagamentos (ou recebimentos) ao longo de sua duração.
Esses pagamentos são chamados de Termos (PMT) de uma renda, sendo 
também conhecidos como prestações da renda. Pelas características 
desses termos, pode-se classificar a renda sob quatro óticas distintas.
Rendas - Conceitos
c) Pela periodicidade dos termos:
Se os termos da renda ocorrem com uma frequência fixa de tempo, ela é 
chamada de periódica, caso contrário configura-se em uma renda 
eventual ou esporádica.
d) Pelo início de seus termos:
Conceito aplicável somente nos casos de rendas periódicas. A renda será 
imediata, antecipada ou diferida de acordo com o período em que 
ocorre o primeiro termo da renda.
Rendas - Conceitos
Os períodos de uma renda começam a ser contados a partir do chamado 
instante zero (uma representação do agora)
A renda imediata é caracterizada pela ocorrência do primeiro termo no 
primeiro período do fluxo. Eu outras palavras, pode-se dizer que na 
renda imediata os termos ocorrem ao final de cada intervalo de tempo –
razão pela qual a renda imediata também é chamada de postecipada.
Rendas - Conceitos
A renda antecipada é caracterizada pela ocorrência do primeiro termo 
no instante zero do fluxo. Pode-se dizer que na renda antecipada os 
termos ocorrem no início de cada intervalo de tempo. Também pode-se 
interpretar que a renda antecipada é equivalente à renda imediata com 
cada um de seus termos antecipados em um período.
Rendas - Conceitos
A renda diferida conta com um prazo de carência (m) antes da 
ocorrência do primeiro termo do fluxo. Ou seja, a partir do início do 
fluxo haverá ao menos um período sem ocorrência de termo. Também 
pode-se interpretar que a renda diferida é equivalente à renda imediata 
com cada um de seus termos postergados em m períodos à frente.
Rendas - Conceitos
Serão estabelecidas as relações entre os termos das rendas (PMT) em 
relação ao seu valor de capital inicial ou valor presente (PV) e em relação 
ao seu montante no final da operação ou valor futuro (FV).
Para essa modelagem, serão consideradas as rendas uniformes, 
temporárias e periódicas, separadas entre imediata, antecipada e 
diferida.
Também será estabelecida relação entre o termo de uma renda 
uniforme, perpétua e periódica com seu valor presente.
Rendas Imediatas
O valor presente de uma renda imediata consiste em trazer a valor 
presente cada um dos termos da renda e aplicar o operador somatório 
sobre os termos descontados.
Portanto, para se estabelecer o valor presente de uma renda imediata 
necessita-se estabelecer a taxa de juros (i) a ser aplicada na operação.
Rendas Imediatas
𝑃𝑉 =
𝑃𝑀𝑇
1+𝑖
+
𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 2
+
𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 3
+⋯+
𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1
1+𝑖
+
1
1+𝑖 2
+
1
1+𝑖 3
+⋯+
1
1+𝑖 𝑛
 PG de razão (1+i)-1
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
𝑎1−𝑎𝑛𝑞
1−𝑞
, onde 𝑎1 =
1
1+𝑖
; 𝑎𝑛 =
1
1+𝑖 𝑛
; 𝑞 =
1
1+𝑖
Desenvolvendo a equação teremos:
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛𝑖
 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉
1+𝑖 𝑛𝑖
1+𝑖 𝑛−1
Relação entre o Valor Presente e 
o Valor dos Termos de uma Renda 
Imediata
Rendas Imediatas
O valor futuro de uma renda imediata indica o quanto será acumulado 
ao final da operação, a uma dada taxa de juros. Pelo fluxo de caixa:
Pela combinação entre as equações de PV com PMT e de PV com FV, 
pode-se chegar a equação de equivalência entre os termos da renda 
imediata e seu montante final.
Rendas Imediatas
Dados 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑖)𝑛 e 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛𝑖
teremos:
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛𝑖
(1 + 𝑖)𝑛  𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
𝑖
Logo: 𝑃𝑀𝑇 = 𝐹𝑉
𝑖
1+𝑖 𝑛−1
Relação entre o Valor Presente e 
o Valor dos Termos de uma Renda 
Imediata
Rendas Antecipadas
No caso de uma renda antecipada, pode-se chegar ao seu valor presente 
a partir do que já foi desenvolvido para a renda imediata.
De fato, o fluxo de caixa de uma renda antecipada pode ser obtido 
antecipando em um período cada termo da renda imediata, ou de forma 
mais simples postergando em um período o seu valor presente.
Recuam os 
termos em 
um período
Avança o valor 
presente em um 
período
Rendas Antecipadas
Dado que 𝑃𝑉𝐼 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛𝑖
e 𝑃𝑉𝐴 = 𝑃𝑉𝐼 1 + 𝑖 , então:
𝑃𝑉𝐴 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛𝑖
1 + 𝑖  𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛−1𝑖
Logo: 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉
1+𝑖 𝑛−1𝑖
1+𝑖 𝑛−1
Relação entre o Valor Presente e 
o Valor dos Termos de uma Renda 
Antecipada
Rendas Antecipadas
Deve-se ter atenção ao valor futuro de uma renda antecipada, pois o 
mesmo ocorre sempre ao final da operação financeira. Pelo fluxo de 
caixa:
Pode-se chegar a relação entre o valor futuro e o valor dos termos de 
uma renda antecipada pela mesma metodologia utilizada em renda 
imediata.
Rendas Antecipadas
Dados 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑖)𝑛 e 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛−1𝑖
teremos:
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛−1𝑖
(1 + 𝑖)𝑛  𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
𝑖
1 + 𝑖
Logo: 𝑃𝑀𝑇 = 𝐹𝑉
𝑖
1+𝑖 𝑛−1
1
1+𝑖
Relação entre o Valor Presente e 
o Valor dos Termos de uma Renda 
Antecipada
Rendas Diferidas
No caso de uma renda diferida, seu fluxo de caixa será igual ao de uma 
renda imediata avançando o valor presente em m períodos, ou 
descontando o valor dos termos em m períodos.
Recuam os 
termos em 
m períodos
Avança o valor 
presente em m 
período
Rendas Diferidas
Dado que 𝑃𝑉𝐼 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛𝑖
e 𝑃𝑉𝐼 = 𝑃𝑉𝐷 1 + 𝑖
𝑚, então:
𝑃𝑉𝐷 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛𝑖
1
1+𝑖 𝑚
 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛+𝑚𝑖
Logo: 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉
1+𝑖 𝑛+𝑚𝑖
1+𝑖 𝑛−1
Relação entre o Valor Presente e 
o Valor dos Termos de uma Renda 
Diferida
Rendas Diferidas
O valor futuro de uma renda diferida guarda a mesma relação 
intertemporal com os seus termos que a observada em uma renda 
imediata.
Portanto, a equação que resolve o valor do montante em uma renda 
diferida será a mesma utilizada no caso de uma renda antecipada.
Rendas - Exemplos
O preço de um televisor de 52” para pagamento à vista e em dinheiro é 
de R$ 5.990,00. Existe a opção oferecida pelo lojista de financiar o 
produto em 12 prestações mensais e fixas, pela taxa de juros de 4,0% ao 
mês. Determine o valor das prestações a serem pagas considerando a 
hipótese de que a primeira prestação ocorrerá:
1) Em um mês após a data de compra;
2) No momento em que a compra foi realizada;
3) Após três meses da data de compra?
Rendas - Exemplos
PV = R$ 5.990,00
i = 4,0% a.a.
n = 12
Renda Imediata
PMT = ?
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉
1+𝑖 𝑛𝑖
1+𝑖 𝑛−1
𝑃𝑀𝑇 = 5990
1+0,04 120,04
1+0,04 12−1
1) 𝑃𝑀𝑇 = 𝑅$ 638,25
f REG
5990 CHS PV
4 i
12 n PMT
=pgto(taxa;nper;vp)
=pgto(b3;b2;-b1)
Rendas - Exemplos
PV = R$ 5.990,00
i = 4,0% a.a.
n = 12
Renda Antecipada
PMT = ?
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉
1+𝑖 𝑛−1𝑖
1+𝑖 𝑛−1
𝑃𝑀𝑇 = 5990
1+0,04 110,04
1+0,04 12−1
2) 𝑃𝑀𝑇 = 𝑅$ 613,70
f REG g BEG
5990 CHS PV
4 i
12 n PMT
=pgto(taxa;nper;vp;;1)
=pgto(b3;b2;-b1;;1)
Rendas - Exemplos
PV = R$ 5.990,00
i = 4,0% a.a.
n = 12
m = 2
Renda Diferida
PMT = ?
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉
1+𝑖 𝑛+𝑚𝑖
1+𝑖 𝑛−1
𝑃𝑀𝑇 = 5990
1+0,04 140,04
1+0,04 12−1
3) 𝑃𝑀𝑇 = 𝑅$ 690,33
f REG g END
5990 CHS PV
4 i
=vf(b3;b2;;-b1)
=pgto(taxa;nper;vp)
=pgto(b3;b2;-b5)
2 n FV CHS PV
0 FV
12 n PMT
RendasPerpétuas
Uma renda perpétua é uma renda que não tem um fim definido, 
portanto não faz sentido calcular seu montante, somente a relação entre 
o valor presente e os valores dos termos dessa renda.
Rendas Perpétuas
O valor presente dessa renda será o mesmo de uma renda imediata, sob 
a hipótese de que a quantidade de termos tende ao infinito, ou seja:
𝑃𝑉 = lim
𝑛→∞
𝑃𝑀𝑇
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛𝑖
 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ∗ lim
𝑛→∞
1+𝑖 𝑛−1
1+𝑖 𝑛𝑖
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ∗ lim
𝑛→∞
1+𝑖 𝑛
1+𝑖 𝑛𝑖
−
1
1+𝑖 𝑛𝑖
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ∗ lim
𝑛→∞
1
𝑖
−
1
1+𝑖 𝑛𝑖
 𝑃𝑉 =
𝑃𝑀𝑇
𝑖
Valor 
Presente de 
uma Renda 
Perpétua
Rendas - Exercícios
1) Um pai deseja dar ao seu filho uma mesada de R$ 1.000,00 pelos 
próximos 12 meses, a começar pelo mês seguinte. Ele tem a disposição 
em seu banco um fundo de renda fixa que rende pela taxa de juros de 
1,2% a.m. Determine o valor mínimo que o pai deve depositar hoje 
nesse fundo, de forma a garantir todos os pagamentos de mesada ao 
filho.
Rendas - Exercícios
2) Um imóvel foi vendido sob as seguintes condições: foi feito um 
pagamento de sinal no valor de R$ 50.000,00; nos 24 meses seguintes 
foram pagas prestações fixas de 5.000,00; a cada seis meses a partir do 
pagamento do sinal foram pagas quatro prestações fixas de 25.000,00. 
Determine o valor inicial do imóvel, considerando que a taxa de juros 
vigente nessa transação foi de 1,5% a.m.
Rendas - Exercícios
3) Um imóvel, cujo valor a vista é de R$ 200.000,00, foi negociado pelo 
seguinte esquema de pagamentos: uma parcela de R$ 30.000,00 a ser 
paga na entrada; quatro parcelas anuais de R$ 25.000,00, sendo o 
pagamento da primeira em um ano; 50 parcelas mensais fixas, com 
pagamento da primeira em um mês. Considerando que a taxa de juros 
pactuada é de 1,0% ao mês, verifique o valor das parcelas mensais.
Rendas - Exercícios
4) Uma pessoa interessada em vender seu carro recebe duas ofertas 
distintas. Na primeira, o comprador está disposto a pagar R$ 10.000,00 
de entrada e R$ 10.650,00 depois de três meses. Pela segunda proposta, 
o comprador se propõe a pagar 12 prestações mensais de R$ 1.900,00, a 
começar no próximo mês. Analisando pelo valor presente das propostas 
apresentadas, qual seria a mais vantajosa, considerando como 
referência a taxa de juros em regime composto de 2,5% a.m.?