Palestra 5- Rendas

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RENDAS
D O C E N T E : T O M A S H A L E
RENDAS
Conceito
Designa-se por Rendas o conjunto (finito e infinito) de capitais (constantes e variáveis)
vencíveis em momentos equidistantes (ordenados, cupões de obrigações, mensalidades
de leasing, pensões, etc).
Segundo Matias (2007), Renda é a uma sucessão de capitais (constante ou não) que
se vencem periodicamente ao longo do tempo.
Renda e a sucessão de capitais que se vencem periódicamente sendo o intervalo de
tempo entre períodos constante.
O estudo das rendas assenta-se fundamentalmente nas formulas de juros compostos.
CONCEITOS
Por terno de renda designa-se cada um dos capitais da renda 
(anuidade, semestralidade, trimestralidade, mensalidade, etc);
O período da renda é o espaço de tempo que decorre entre dois 
vencimentos consecutivos (ano, semestre, trimestre, mês, etc);
Pode depender-se do exposto acima que, conforme o período da renda 
seja o ano, o semestre, etc., assim, os termos de uma renda designam-se 
de anuidades, semestralidade, etc;
CONCEITOS
Chama-se Valor acumulado de uma renda a soma dos valores de 
todos os seus termos capitalizados a uma dada taxa, (i) para o momento 
em que ocorre o ultimo termo. Ela é designada por Sn]
Chama-se o valor actual ou valor na origem a soma dos valores de 
todos os seus termos actualizados a uma dada taxa (i) para a origem. Ela 
é designada por an]o
CL ASSIFICAÇÃO DAS RENDAS
As rendas podem ser classificadas quanto ao:
a) Números de Termos
→Temporárias: Possuem Numero limitado de termos
→Perpetuas: Possuem Numero ilimitado de termos
b) Dependência dos Factores Aleatórios
→Certa: o vencimento não depende de qualquer eventualidade;
→Incerta: Vencimentos condicionadas por circunstancias não previsíveis 
(condicionadas por um factor qualquer.
CL ASSIFICAÇÃO DAS RENDAS
As rendas podem ser classificadas quanto ao:
c) Momento em que se refere o valor actual
→Imediatas: o valor actual coincide com inicio do primeiro período;
→Diferidas: o valor actual refere-se ao momento anterior ao inicio do primeiro 
período;
d) Relação com a taxa e o período de Renda
→Inteiras: Quando o período da renda e o período da taxa coincidem;
→Fraccionárias: Quando o período da renda e o período da taxa não coincidem.
CL ASSIFICAÇÃO DAS RENDAS
As rendas podem ser classificadas quanto ao:
e) Momento do Seu Vencimento
→Normais ou Postecipadas: Vencem no fim do período a que respeitam;
→Antecipadas: Vencem no inicio do período a que respeitam;
f) Seu Valor
→Constantes: Os termos são todos do mesmo valor ;
→Variáveis: Os termos são de diferentes valores.
RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES
Valor Acumulado de uma Renda deTermos Constantes
Suponhamos uma renda composta por n termos anuais de t meticais (constantes, portanto), aos quais
associados a juros compostos a taxa anual efectiva “i”. Admitamos também que o primeiro termo
ocorre no final do primeiro período (ano). Assim, estamos perante uma renda temporária, inteira,
imediata, de termos normais e constantes. Assim o valor acumulado desta renda por ser representado
da seguinte maneira:
RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES
Assim, o valor acumulado de uma renda de termos contantes é calculada da seguinte maneira:
Sn] = 𝑡
(1+𝑖)
𝑛
−1
𝑖
No calculo do valor acumulado de uma renda composta por n termos no valor de t meticiais cada,
utilizando a tabela financeira, pode-se apresentar abreviadamente por:
Sn] = 𝑡 ∗ Sn]i
Factor de capitalização de uma renda de n capitais de valores unitário a taxa i (reporta o valor de todos esses n 
capitais no momento do vencimento do ultimo) 
RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES
Exemplo:
Qual e o valor acumulado por 12 anuidades constantes de 2.000,00
Meticais cada, a uma taxa anual efectiva de 10%?
RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES
Valor Actual de uma Renda deTermos Constantes
Consideremos a semelhança do que fizemos para o calculo do valor
acumulado, uma renda composta por n termos anuais de t meticais
(constantes, portanto), aos quais associados a juros compostos a taxa
anual efectiva “i”. Admitamos também que o primeiro termo ocorre no
final do primeiro período (ano). Assim, estamos perante uma renda
temporária, inteira, imediata, de termos normais e constantes. Assim o
valor acumulado desta renda por ser representado da seguinte maneira:
RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES
Valor Actual de uma Renda deTermos Constantes
Reforça-se que a origem desta renda se situa no momento 0 porque o primeiro termo ocorre no momento 1. se o primeiro termo
ocorresse noutro momento qualquer, a origem já não se situaria no momento 0, mas sim nom momento em que ficasse situado um
período antes do vencimento desse termo.
RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES
Assim, o valor acumulado de uma renda de termos contantes é calculada da seguinte maneira:
An] = 𝑡
1−(1+𝑖)
−𝑛
𝑖
No calculo do valor acumulado de uma renda composta por n termos no valor de t meticais cada,
utilizando a tabela financeira, pode-se apresentar abreviadamente por:
An] = 𝑡 ∗ an]i
Factor de capitalização de uma renda de n capitais de valores unitário a taxa i (reporta o valor de todos esses n
capitais a origem, ou seja, o momento o nde fica situado o 1º período antes do vencimento do primeiro desses 
capitais) 
RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES
O valor acumulado de uma renda de termos constantes é igual a capitalização
do valor actual da renda , a mesma taxa, durante n períodos.
Sn] = An] ∗ (1 + 𝑖)𝑛
An] = 𝑡
1 − (1 + 𝑖)
−𝑛
𝑖
An] = Sn] ∗ (1 + 𝑖)−𝑛
RENDAS TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES
Exemplo:
Qual e o valor actual por 12 anuidades constantes de 2.000,00 Meticais
cada, a uma taxa anual efectiva de 10%?