FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II 
 
 
 
 . 
 
 
 
 
1. 
 
 
O volume de uma esfera circunscrita a um cubo de área total igual a 24 cm2cm2 é 
aproximadamente: 
 
 4√3πcm343πcm3 
 
2. 
 
 
Um copo, em forma de cone, tem 15cm de profundidade e 6cm de diâmetro no topo, onde são colocadas 
duas semi-esferas de gelo, também de 6cm de diâmetro. Pergunta-se?: se o gelo derreter para dentro do 
copo, podemos afirmar que, sobre a água: 
 
 
não transbordará 
 
3. 
 
 
A área de um octaedro regular inscrito em uma esfera de raio r = 5 cm é 
aproximadamente: 
 
 173 cm2cm2 
 
4. 
 
 
Macapá e Porto estão situadas sobre o mesmo meridiano. A primeira cidade está sobre a 
linha do equador e a segunda tem latitude 30° sul, contada a partir do Equador. Suponha 
que a Terra seja esférica, com circunferência máxima de 40 000 km, a melhor 
aproximação da distância entre as duas cidades, ao longo do meridiano, vale: 
 
3 333 km 
 
5. 
 
 
Considere uma caixa cúbica de diagonal de medida 8 .30,5cm. Dentro dela estão 8 bolas 
iguais que se encaixam de maneira justa na caixa (as bolas são tangentes a caixa e entre 
si, estando 4 bolas no fundo da caixa e um segundo grupo de bolas em cima de cada 
uma das bolas que estão no fundo). Sobre cada uma da bola, podemos afirmar que: 
 
 
a área de sua superfície é igual a 16pi centímetros quadrados; 
 
6. 
 
 
A área da esfera inscrita em um cubo de perímetro igual à 60 cm é: 
 25πcm225πcm2 
 
7. 
 
 
Uma indústria de bolas de borracha quer produzir embalagens de forma cilíndrica para colocar 3 bolas. 
Sabendo que cada uma dessas bolas tem 3cm de raio, a quantidade de material necessário, em 
centímetros quadrados, para a confecção dessa embalagem, incluindo a tampa é igual a: 
 
 
126 pi 
 
8. 
 
 
O volume de uma esfera inscrita em um cubo de área total igual a 24 cm2cm2 é: 
 
 4π3cm3 
 
 1a Questão 
 
 Duas retas concorrentes r e s, não perpendiculares, são chamadas de: 
 
 oblíquas 
 
 2a Questão 
 
 Se dois planos α e β são concorrente podemos dizer que a interseção deles é: 
 uma reta 
 
 3a Questão 
 
 Indique qual maneira não determina um plano: 
 por dois pontos quaisquer. 
 
 4a Questão 
 
 O conjunto de todos os pontos é denominado: 
 
 espaço 
 
 5a Questão 
 
 Observe as afirmações: I - Retas coplanares são retas contidas em um mesmo plano II - Retas com um único ponto em comum são ditas 
secantes III - Retas coincidentes não tem todos os pontos em comum. São verdadeiras as afirmativas: 
 
 I e II 
 
 6a Questão 
 
 Dois ou mais pontos pertencentes a uma mesma reta são ditos: 
 
 Colineares 
 
 7a Questão 
 
 Dados dois planos quaisquer alfa e beta, se alfa igual a beta, isto é, se alfa e beta são o mesmo conjunto de pontos, diremos que estes 
planos são: 
 
 coincidentes 
 
 8a Questão 
 
 Considerando pontos, retas e planos distintos, analise cada afirmativa e escolha a sequencia correta: I -3 pontos podem ser colineares II - 
Existem 5 pontos coplanares III - Existem 5 pontos não coplanares 
 
 VVV 
 
 1a Questão 
 
 Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano então ela é: 
 
 perpendicular ao plano 
 
 2a Questão 
 
 Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então podemos afirmar que: 
 
 eles são paralelos entre si 
 
 3a Questão 
 
 Indique a opção correta: Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então: 
 
 esta reta é paralela ao plano. 
 
 4a Questão 
 
 Das afirmações a seguir, é verdadeira: 
I - Se duas retas distintas não são paralelas, elas são concorrentes. 
II - Se dois planos são secantes, todas as retas de um deles sempre interceptam o outro plano. 
III - Duas retas paralelas a um plano são paralelas. 
IV- A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é sempre uma reta. 
V- Em dois planos paralelos, todas as retas de um são paralelas ao outro plano. 
 
 somente a última afirmação. 
 
 5a Questão 
 
 Considere as afirmações: I.Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um e outra reta de outro podem ser concorrentes. 
II.Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser concorrente com uma reta do outro. III.Se dois planos distintos são 
paralelos, então uma reta de um deles é paralela ao outro. IV.Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles 
sejam secantes. V.Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com qualquer reta do plano. Podemos afirmar que a alternativa 
FALSA é a: 
 
 I 
 
 6a Questão 
 
 Seja r uma reta obliqua a um plano α. Quantos planos que contêm r são perpendiculares a α? 
 1 
 
 7a Questão 
 
 Considere as afirmações a seguir: 
I . Duas retas distintas determinam um plano. 
II . Se duas retas distintas são paralelas a um plano, elas são paralelas entre si. 
III . Se dois planos são paralelos, então toda a reta de um deles é paralela a alguma reta do outro. 
É correto afirmar que: 
 apenas a III é verdadeira 
 
 8a Questão 
 
 Classificando cada uma das afirmativas abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F) , obtemos, respectivamente: 
I) Duas retas distintas que têm um ponto comum são retas concorrentes. 
II) Três pontos distintos determinam um plano. 
III) Uma reta e um plano que têm um ponto comum são secantes. 
IV) Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si. 
V) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano é sempre um triângulo. 
 
 V F 
V F 
F 
 
 1a Questão 
 
 Um diedro mede 150°. Quanto mede o ângulo que uma reta perpendicular a uma das faces do diedro forma com o bissetor dele? 
 
 15° 
 
 2a Questão 
 
 A distância de um ponto M, interior a um diedro, às suas faces é de 5cm. Encontre a distância do ponto M à aresta do diedro se o ângulo 
formado pelas perpendiculares às faces do diedro é de 120°. 
 
 10cm 
 
 3a Questão 
 
 Uma reta perpendicular a uma face de um diedro forma um ângulo de 80° com o bissetor desse diedro. Quanto mede o diedro? 
 
 20° 
 
 4a Questão 
 
 Um diedro mede 100 graus. Quanto mede o ângulo que uma reta perpendicular a uma das faces do diedro forma com o bissetor dele? 
 
 40 graus 
 
 5a Questão 
 
 A reta comum aos dois semi-planos que formam um diedro é chamada de: 
 
 aresta 
 
 6a Questão 
 
 Utilize V ou F conforme verdadeiro ou falso. Temos então, na ordem: 
I) Dois planos perpendiculares determinam quatro diedros retos. 
II) Dois diedros opostos pela aresta são congruentes. 
III) Em todo triedro qualquer face é menor que a soma das outras duas. 
IV) Dois diedros congruentes são opostos pela aresta. 
 V V V F 
 
 7a Questão 
 
 A figura formada por dois semi-planos não coplanares de origem na mesma reta chama-se: 
 
 ângulo diédrico 
 
 8a Questão 
 
 O semi-plano que possui origem na aresta do diedro e o divide em dois diedros adjacentes e congruentes chama-se: 
 bissetor do diedro 
 
 1a Questão 
 
 Duas faces de um triedro medem respectivamente 110° e 140°. Determine o intervalo de variação da terceira face. 
 
 30° < x < 110° 
 
 2a Questão 
 
 As faces de um ângulo poliédrico convexo medem respectivamente 10°,20°,30°,40° e x. Dê o intervalo de variação de x. 
 
 x < 100° 
 
 3a Questão 
 
 Observe as sentenças a seguir e classifique-as como verdadeira ou falsa: I - Se dois triedros tem, ordenadamente congruentes ,duas 
faces e o diedro compreendido, então eles são congruentes II - Se dois diedros tem, ordenadamente congruentes, dois diedros e a face 
compreendida, então eles são congruentes III - Se dois diedros têm, ordenadamente congruentes as três faces, então eles são 
congruentes. 
 
 VVV 
 
 4a Questão 
 
 Das opções a seguir assinale a única verdadeira: 
 Num triedro tri-retângulo cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta. 
 
 5a Questão 
 
 A soma dos diedros de um triedro está compreendida entre; 
 
 2 retos e 6 retos 
 
 6a Questão 
 
 As faces de um triedro medem x° , 55° e 80°. Um possível valor de x é: 
 50° 
 
 7a Questão 
 
 
Em um triedro, duas das fazes medem respectivamente 100º e 135º. Determine as possíveis medidas da terceira face. 
 35º < x < 125º 
 
 8a Questão 
 
 Observe as sentenças a seguir e classifique-as como verdadeira ou falsa: I - Se dois diedros de um triedro medem respectivamente 40º e 
70º, o terceiro diedro pode medir 70º II - Cada face de um triedro é maior que a soma das outras duas. III - Se dois triedros são opostos 
pelo vértice, então eles são congruentes. De acordo com a sequencia de respostas, é correto afirmar que as opções são: 
 
 FFV 
 
 1a Questão 
 
 Em uma oficina de construção de sólidos geométricos um dos alunos propôs-se a construir um 
dodecaedro regular utilizando palitos de fósforo. Para isso resolveu construir inicialmente uma das faces 
pentagonais. Pergunta-se: 
Qual o valor do ângulo entre dois palitos em cada face? Se após a montagem em cada aresta 
houver dois palitos, ( para melhor colar as faces ) quantos palitos serão necessários para construção do 
sólido? Respectivamente : 
 
 108° e 60 palitos 
 
 2a Questão 
 
 
Qual dos poliedros abaixo não é um poliedro de platão? 
 
 Pentágono regular 
 
 3a Questão 
 
 Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 6480°, então o número de vértices desse poliedro é: 
 
 20 
 
 4a Questão 
 
 Dentre os polígonos regulares o único cujas faces são pentágonos regulares é o: 
 
 dodecaedro 
 
 5a Questão 
 
 Um poliedro convexo é formado por 40 faces triangulares e 24 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é: 
 
 58 
 
 6a Questão 
 
 Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é: 
 
 60 
 
 7a Questão 
 
 Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 6480°, então o número de vértices desse poliedro é: 
 
 20 
 
 8a Questão 
 
 Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é: 
 
 60 
 
 1a Questão 
 
 Calcule a área total de um prisma reto de dimensões x , x e 2x e cuja diagonal principal mede 3a√ 2 3a2. 
 
 30 a
2 
 
 2a Questão 
 
 Um prisma reto de altura 10m, tem por base um losango cujas diagonais medem, respectivamente, 5m e 8m. Se construirmos um 
reservatório com essas dimensões, qual será sua capacidade em litros? 
 
 200.000 litros 
 
 3a Questão 
 
 Considere um paralelepípedo retângulo cujas arestas da base medem 3 cm e 4 cm.Determine a medida da diagonal desse paralelepípedo, 
sabendo que seu volume é 144 cm3. 
 
 13 cm 
 
 4a Questão 
 
 Determine a massa desta peça ( prisma hexagonal regular ) de 2 cm de altura e raio R de 1 cm como 
mostrado abaixo: 
 
 
 6√3 g63g 
 
 5a Questão 
 
 O perímetro da base de um prisma triangular regular mede 6cm e sua área total é 8V3cm². Sua altura mede: 
 
 V3 
 
 6a Questão 
 
 Qual deve ser, em centímetros, a medida do lado de um cubo maior para conter exatamente 30 outros cubos 
menores de lado igual a 2 cm? 
 
 4√15 cm415cm 
 
 7a Questão 
 
 Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas de sabão com as medidas: 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 14 cm de altura. 
Desprezando as abas, a quantidade, em metros quadrados, de papelão necessários para a fabricação dessas 10 000 caixas é igual a: 
 3 
280 
 
 8a Questão 
 
 O paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 3 , 4 e 5 tem diagonal igual a: 
 
 5V2 
Questão 
 
 
 Sabendo que a área da secção meridiana de um cilindro eqüilátero é 100cm2, calcule o volume desse sólido. 
 
 250πcm3250πcm3 
 
 2a Questão 
 
 O raio de um cilindro circular reto é aumentado de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume desse cilindro sofre um aumento de: 
 
 8% 
 
 3a Questão 
 
 Uma caixa d´água tem a forma de um prisma reto que tem para base um losango cujas diagonais medem 9m e 12m e cuja aresta lateral 
mede 10m.. Calcule, em litros, o volume dessa caixa. 
DADO: 1 litro = 1 dm3 
 540.000 l 
 
 4a Questão 
 
 Considere uma folha de cartolina de forma retangular com 12cm de comprimento por 8cm de largura. Calcule, em centímetros cúbicos, o 
volume do cilindro obtido quando se dobra essa folha ao longo da maior medida. 
 288π288π 
 
 5a Questão 
 Usando suportes circulares de copos com 2cm de raio, em uma oficina de geometria, os alunos resolveram construir um cilindro eqüilátero. Qual 
deve ser a forma da superfície lateral e a respectiva área ? 
 
 Retangular com 16 πcm2πcm2 
 
 6a Questão 
 
 Se quadruplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado 
por: 
 16 
 
 
 7a Questão 
 
 Calcule a altura de um cilindro reto eqüilátero sabendo que sua superfície total mede 37,5πcm237,5πcm2. 
 
 5cm 
 
 8a Questão 
 
 A geratriz de um cilindro oblíquo mede 12cm e forma um ângulo de 600 com a base. Sabe-se que a base é 
um círculo de raio 5m. Qual é , em cm3 , o volume desse cilindro? 
 
 150√ 3 π 
 
 1a Questão 
 
 Um cubo tem área total de 150m2. O volume da pirâmide quadrangular regular que tem como vértice o centro de uma das faces desse 
cubo e como base a face oposta a esse vértice é: 
 
 1253m31253m3 
 
 2a Questão 
 
 Em uma pirâmide reta de base quadrada, de 4 cm de altura, uma aresta da base mede 6 cm. calcular a área total dessa pirâmide. 
 
 96 cm² 
 
 3a Questão 
 
 Em uma pirâmide quadrangular regular a área da base mede 32dm2 e o apótema da pirâmide mede 6dm, calcule a sua área lateral, em 
dm2. 
 
 48√ 2 482 
 
 4a Questão 
 
 Em uma pirâmide reta de base quadrada, de 4 cm de altura, uma aresta da base mede 6 cm. calcular volume dessa pirâmide. 
 
 48 m³ 
 
 5a Questão 
 
 Consideremos uma pirâmide regular cuja base quadrada que mede 64cm². Numa secção paralela à base que dista 30mm desta, inscreve-
se um círculo. Se a área deste círculo mede 4πcm², então a altura desta pirâmide mede: 
 
 6cm 
 
 
 6a Questão 
 
 Para guardar seu tesouro, um faraó mandou construir uma pirâmide com as seguintes características: 
1º) sua base é um quadrado de 50m de lado 
2º) sua altura é igual a medida do lado da base. 
Sabe-se que para construir cada parte da pirâmide equivalente a 125m3 , gasta-se em média 27 dias. 
Mantendo essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias, é de: 
 25 anos 
 
 7a Questão 
 
 Considere um cilindro circular reto de raio da base 2 cm e altura 3 cm. Determine a medida da superfície lateral, em centímetros 
quadrados. 
 12π 
 
 8a Questão 
 
 Numa pirâmide hexagonal regular a aresta da base mede 4m e a altura 6m. A sua área total mede: 
 
 125 cm
2 
 
 
 1a Questão 
 
 O sólido abaixo é um cone reto eqüilátero superposto a um cilindro reto eqüilátero. 
Podemos afirmar que seu volume é:9 πdm3πdm3 
 
 2a Questão 
 
 Um cone circular tem raio 3m e altura 6m. Qual a área da secção transversal feita por um plano distante 2m de seu vértice? 
 
 pi m² 
 
 3a Questão 
 
 Qual o volume do cone obtido pela rotação, em relação ao menor lado, de um triângulo retângulo com catetos medindo 6cm e 8cm? 
 
 128π128π 
 
 4a Questão 
 
 Sabendo que a área da base de um cone eqüilátero é 56,52cm256,52cm2, qual a medida de sua altura? 
 
 √ 54 54cm 
 
 5a Questão 
 
 O chapéu de uma fada tem a forma de um cone de revolução de 12cm de altura e 100πcm3100πcm3 de volume. Se ele é feito de 
cartolina, quanto desse material foi usado para fazer a sua superfície lateral? 
 
 65πcm265πcm2 
 
 6a Questão 
 
 A seção meridiana de uma tenda em forma de um cone eqüilátero tem perímetro igual a 24m. Calcule o volume desse cone. 
 
 64√ 3 π3m2643π3m2 
 
 7a Questão 
 
 Considere um triângulo isósceles de altura 9 cm e base 6 cm. Calculando o volume do sólido obtido pela rotação desse triângulo em torno 
da sua base, encontramos, em cmᶾ: 
 
 162π162π 
 
 8a Questão 
 
 Um cone circular reto tem por base uma circunferência de comprimento igual a 6 πcm6 πcm e sua altura é 2/3 do diâmetro da base. 
Calcule a área lateral desse cone. 
 
 15πcm215πcm2