Relação fundamental da trigonometria

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Matemática 
 
 
 
 
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Relação fundamental da trigonometria .............................................................................. 2 
1.1. Relação trigonométrica fundamental ............................................................................. 2 
1.2. Identificando as relações trigonométricas derivadas ..................................................... 5 
1.3. Redução ao 1º quadrante ................................................................................................. 6 
Exercícios ...................................................................................................................................... 9 
Gabarito ........................................................................................................................................ 9 
Resumo ....................................................................................................................................... 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila Funções Trigonométricas: secante e cossecante, dando 
continuidade ao estudo das funções trigonométricas, encerramos estudando as 
funções secante e cossecante respectivamente, onde foram apresentadas as 
características referentes ao conjunto imagem, domínio, periodicidade e gráfico 
destas funções trigonométricas. 
Nesta apostila abordaremos a relação fundamental trigonométrica, princípio 
fundamental para dar continuidade no estudo da trigonometria; a partir desta 
relação, ao decompô-la e trabalhar com ela em diferentes formatos, veremos que é 
possível encontrar outras relações trigonométricas que se relacionam as outras 
razões. 
Objetivo 
• Apresentar a relação trigonométrica fundamental. 
• Apresentar as relações trigonométrica derivadas. 
 
1. Relação fundamental da trigonometria 
1.1. Relação trigonométrica fundamental 
A relação trigonométrica também é conhecida como a fórmula fundamental 
da trigonometria, essa fórmula é responsável por relacionar os valores de seno e 
cosseno de um mesmo ângulo. Temos que: 
sen2θ + cos2θ = 1 
Essa fórmula é derivada do Teorema de Pitágoras, e podemos verificar este 
fato na circunferência trigonométrica, representada na Figura seguinte. 
 
 
3 
 
Circunferência Trigonométrica 
Como a circunferência possui raio igual a 1, temos que a hipotenusa OB = 1, 
então utilizamos as fórmulas de seno e cosseno, temos que: 
sen θ = AB/1 = AB 
cos θ = OA/1 = OA 
Aplicando o teorema de Pitágoras temos que : 
(AB)2 + (AO)2 = 12 
sen2θ + cos2θ = 1 
As demais relações fundamentais são citadas a seguir, sendo fundamentais 
porque a partir de um valor de uma razão de um arco qualquer, calculamos os 
valores das outras razões trigonométricas caso existam. 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
Demonstrando a relação trigonométrica fundamental, como obtemos a 
equação (sen2θ + cos2θ = 1). 
Temos o triângulo que já vimos anteriormente e as razões trigonométricas do 
ângulo α : 
 
Triângulo Retângulo. 
tg x = sen x/cos x 
cotg x = cos x / sen x 
sec x = 1/cos x 
cos sec x = 1/sen x 
 
 
4 
 
sen α =
𝑏
𝑎
 ; cos α = 
𝑐
𝑎
 ; tg α = 
𝑏
𝑐
 
Como o triângulo é retângulo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, ou 
seja, o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos: 
a2=b²+c² 
Pelo fato de ser uma equação podemos aplicar a mesma operação dos dois 
lados. Vamos dividir todos os termos por a². 
a²
a² 
 = 
b²
a² 
 + 
c²
a² 
 
Simplificando a equação, teremos: 
b²+ c²
a² 
= 1 
Como já sabemos que o sen α =
𝑏
𝑎
 e cos α = 
𝑐
𝑎
, logo concluímos que sen2x + 
cos2x = 1.. 
Vamos aos exemplos: 
1. Calcule o valor aproximado do cosseno de 40º, sabendo que sen 40º ≅ 0,64. 
sen2θ + cos2θ = 1 
sen240º + cos240º = 1 
(0,64)2 + cos240º ≅ 1 
0,41 + cos240º ≅ 1 
cos240º ≅ 1 – 0,41 
cos40º ≅ √0,59 
cos40º ≅ 0,77 
2. Calcule o valor aproximado do cosseno de 30º, sabendo que sem 30º = 0,5. 
sen2θ + cos2θ = 1 
sen230º + cos230º = 1 
(0,5)2 + cos230º ≅ 1 
0,25 + cos230º ≅ 1 
cos230º ≅ 1 – 0,25 
cos30º ≅ √0,75 
cos30º ≅ 0,87 
Agora vamos resolver a equação na variável x:x2 – 2x + cos2α = 0 
 
5 
 
Na variável x, a equação é do segundo grau e, portanto, temos: 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = (-2)2 – 4.1. cos2α 
Δ = 4 -4cos2α 
Δ = 4(1 - cos2α) 
Bem, relembrando, temos que 1 - cos2α = sen2 α; assim Δ = 4 sen2 α. 
Agora resolvemos assim: 
x=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 , logo x=
2±√ 4 𝑠𝑒𝑛2 α
2
 
x = ± sen α 
Então, S = {1 + sen α, 1 – sen α} 
1.2. Identificando as relações trigonométricas derivadas 
Agora que já entendemos as relações trigonométricas fundamentais, então 
podemos aprender as derivadas das relações fundamentais. Das relações entre 
funções trigonométricas de mesmo arco podemos derivar algumas outras, vejamos: 
• Das relações cotg x = cos x / sen x e tg x = sen x/cos x podemos formar 
outra relação: 
O valor da tg x é o inverso do valor a cotg x. Para que esses valores fiquem 
iguais devemos inverter o valor da tg x, assim: 
tg x-1 = cos x / sen x 
Como os dois valores ficaram iguais, podemos dizer que: 
sen x cot x = tg x-1, portanto, cotg x =1/tg x2, com x ≠ kπ, k є Z. 
• Utilizando a relação fundamental da trigonometria, que também é 
uma relação entre as funções trigonométricas do mesmo arco cos2x + sen2x = 1, e 
dividindo cada membro deles por cos2x, teremos: 
cos2x / cos2x + se2x/ cos2x = 1/ cos2x 
1+(sen x)2/cos x = (1)²/cos x 
Como tg x = sen x/ cos x e sec x = 1/cos x, fazendo as devidas substituições, 
teremos: tg2x + 1 = sec2x, portanto, sec2x = tg2 x + 1, com x ≠ π/2 +kπ, kZ. 
Em exemplo, vamos determinar a tg x, onde x є ]0, π/2[ e o cos x é 1/3. 
 
6 
 
Utilizando a fórmula temos tg2x + 1 = sec2x e lembrando que a secante é o 
inverso do cosseno, ou seja, se o cos x é 1/3 então sec x = 3. 
tg2x + 1 = 32 
tg2x = 9 -1 
tg2x = 8 
tg x =√8 logo tg x = 2√2 
• Utilizando também a relação fundamental da trigonometria cos2 x + 
sen2 x = 1 e dividindo cada membro dele por cos2 x, teremos: 
sen2x /sen2x + cos2x/sen2x = 1/ sen2x 
1+(cos x)2/sen x = (1)²/sen x 
Como cotg x = cos x/ sen x e cossec x = 1/sen x, fazendo as devidas 
substituições, teremos: 
cotg2x + 1 = cosec2x, portanto, cosec2x = cotg2 x + 1, com x ≠ kπ, k є Z. 
1.3. Redução ao 1º quadrante 
Vamos agora, relacionar o seno e o cosseno de um arco do 2º, 3º ou do 4º 
quadrante com seno e cosseno do arco correspondente no 1º quadrante. Vamos 
então utilizar a tabelas de arcos notáveis. 
 30º 45º 60º 
sen 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
cos √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
 
Para iniciar vamos reduzir do 2º para o 1º quadrante e para isso calcularemos 
sem 150º e cos 150º. 
Na figura abaixo, a extremidade M do arco de 150º pertence ao 2º quadrante. 
 
7 
 
 
Vamos traçar uma perpendicular a partir de M ao eixo dos senos, obtendo o 
ponto P, que é correspondente de M no 1º quadrante: 
 
Os pontos M e P possuem ordenadas iguais e abscissas opostas, então dessa 
forma sen 150º = sen 30º = 
1
2
 e cos 150º = - cos 30º = 
−√32
. 
Para a redução do 3º quadrante para o 1º quadrante, vamos calcular sen 240º 
e cos 240º. 
A extremidade M do arco de 240º pertence ao 3º quadrante: 
 
Para obter o ponto P, traçamos por M a reta perpendicular que passa pelo 
centro da circunferência. O ponto P é correspondente de M no 1º quadrante. 
A
(150o) M
P (180º -150º = 30º)
A
Cosseno
(150o) M
A
(240o) M
 
8 
 
 
Os pontos M e P tem ordenadas opostas e abscissa opostas e assim temos 
que sen 240º = -sen 60º = - 
√3
2
 e cos 240º = - cos 60º = -
1
2
. 
Finalizando, faremos a redução do 4º quadrante para o 1º quadrante, 
calculando sem 330º e cos 330º. 
Na figura, podemos ver a extremidade M do arco de 330º pertencente ao 4º 
quadrante. 
 
Traçando por M a perpendicular ao eixo dos cossenos, obtemos o ponto P, 
correspondente de M no 1º quadrante. 
 
A
M (330o)
P (360º -330º = 30º)
A
Cosseno
M (330o)
 
9 
 
Os pontos M e P tem ordenadas opostas e abscissas iguais e, portanto, 
sen 330º = -sen 30º = -
1
2
 e cos 330º = cos 30º = 
√3
2
. 
Exercícios 
1. (SABER MATEMÁTICA, 2014) Calcule o valor aproximado do cosseno de 37º, 
sabendo que sem 37º ≅ 0,6. Utilize a relação fundamental da trigonometria. 
 
2. (DA SILVA, 2014) Demostre a seguinte identidade trigonométrica: 
cos x . tg x . cossec x =1. 
 
3. (DA SILVA, 2014) Demostre que a identidade sec²x – sen²x = tg²x + cos²x. 
Gabarito 
1. Vamos a resolução: 
sen2θ + cos2θ = 1 
sen237º + cos237º = 1 
(0,60)2 + cos237º ≅ 1 
0,36 + cos237º ≅ 1 
cos237º ≅ 1 – 0,36 
cos237º ≅ 0,64 
cos37º ≅ √0,64 
cos37º ≅ 0,8 
 
2. Vamos a resolução: 
cos x * tg x*cossec x = 1 
cos x * (sen x /cos x) * 1/sen x =1 
1 = 1 
 
3. Vamos a resolução: 
 
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Substitua sec²x – sen²x por f(x) e tg²x + cos²x por g(x), e faça: 
f(x) – g(x) = sec²x – sen²x – tg²x – cos²x = (sec²x – tg²x) – (sen²x + cos²x) 
Sabemos que: 
tg²x + 1 = sec² x 
tg²x – sec²x = 1 
sen²x + cos²x = 1 
Portanto: 
(sec²x – tg²x) – (sen²x + cos²x) = 1 – 1 = 0 
Concluímos que, se f(x) – g(x) = 0, temos que f(x) = g(x), então: 
sec²x – sen²x = tg²x + cos²x 
Resumo 
Nesta aula aprendemos que a relação trigonométrica também é conhecida 
como a fórmula fundamental da trigonometria, essa fórmula é responsável por 
relacionar os valores de seno e cosseno de um mesmo ângulo. Temos que: sen2θ + 
cos2θ = 1, essa fórmula é derivada do Teorema de Pitágoras. Aprendemos que das 
relações entre funções trigonométricas de mesmo arco podemos derivar algumas 
outras, vejamos: 
Das relações cotg x = cos x / sen x e tg x = sen x/cos x podemos formar outra 
relação: O valor da tg x é o inverso do valor a cotg x. Para que esses valores fiquem 
iguais devemos inverter o valor da tg x, assim: tg x-1 = cos x / sen x Como os dois 
valores ficaram iguais, podemos dizer que: sen x → cot x = tg x-1, portanto, cotg x 
=1/tg x2, com x ≠ kπ, k є Z. 
Utilizando a relação fundamental da trigonometria, que também é uma 
relação entre as funções trigonométricas do mesmo arco cos2x + sen2x = 1, e 
dividindo cada membro deles por cos2x, teremos: cos2x / cos2x + se2x/ cos2x = 1/ cos2x 
→ 1+(sen x)2/cos x = (1)²/cos x → Como tg x = sen x/ cos x e sec x = 1/cos x, fazendo as 
devidas substituições, teremos: tg2x + 1 = sec2x, portanto, sec2x = tg2 x + 1, com x ≠ π/2 
+kπ, k є Z. 
Utilizando também a relação fundamental da trigonometria cos2 x + sen2 x = 1 
e dividindo cada membro dele por cos2 x, teremos: sen2x /sen2x + cos2x/sen2x = 1/ 
sen2x → 1+(cos x)2/sen x = (1)²/sen x. Como cotg x = cos x/ sen x e cossec x = 1/sen x, 
fazendo as devidas substituições, teremos: cotg2x + 1 = cosec2x, portanto, cosec2x = 
cotg2 x + 1, com x ≠kπ, k є Z. 
 
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Vejamos aqui as reduções ao 1º quadrante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Referências bibliográficas 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005 
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2014. 
MACHADO, A. dos Santos. Matemática: temas e metas 2 - Trigonometria e Progressões. São Paulo: Atual, 1986. 
PAIVA, M. Matemática: volume único. 1.ed.São Paulo, Moderna, 1999. 
Referências imagéticas 
Saber Matemática. Relação Fundamental da Trigonometria. Disponível em: 
https://sabermatematica.com.br/relacao-fundamental-da-trigonometria.htm. Acessado em: 16/03/2019 às 
14h30. 
Matika: matemática para você. Trigonometria no Triângulo Retângulo. Disponível em: 
https://matika.com.br/trigonometria-no-triângulo-retangulo/relacao-trigonometrica-fundamental. Acessado 
em: 16/03/2019 às 15h30.