Problemas com circunferência

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Matemática 
 
 
 
 
PROBLEMAS COM CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. Problemas de tangência ...................................................................................................... 2 
1.1. Recordando detalhes ....................................................................................................... 2 
1.2. Problemas envolvendo tangência ................................................................................... 4 
1.3. Determinação do centro e do raio de uma circunferência ............................................. 8 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 9 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 9 
 
Resumo ....................................................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
 Vimos na apostila anterior sobre Circunferência, as equações normal e 
reduzida da circunferência, fizemos o reconhecimento de uma circunferência, ponto 
e circunferência, reta e circunferência e duas circunferências. 
No conteúdo de hoje, dando andamento aos nossos estudos, veremos 
problemas com a circunferência. 
Objetivo 
• Conhecer os problemas envolvendo retas tangentes à circunferência; 
• Resolver problemas envolvendo retas tangentes à circunferência. 
 
1. Problemas de tangência 
1.1. Recordando detalhes 
Para que possamos solucionar problemas que envolvem retas que tangenciam 
as circunferências, vamos recordar alguns conhecimentos que já adquirimos 
anteriormente: 
Se uma reta é tangente à circunferência, sabemos que a distância entre o 
centro da circunferência até a reta tangente é o raio. 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
Já vimos anteriormente que temos posições relativas de um ponto a uma 
circunferência que são: 
1-Quando o ponto é interno à circunferência, não existe a possibilidade de 
traçar uma reta tangente por esse ponto. 
Outro fato importante é que a reta tangente sempre será 
perpendicular ao raio no ponto de tangência. 
 
3 
 
 
Representação de ponto interno 
 
2-Quando temos um ponto que pertence à circunferência, com esse ponto é 
possível ter apenas uma reta tangente, já que é o ponto de tangência. 
 
Representação de ponto de tangência 
 
3-Quando o ponto é externo à circunferência, ou seja, fora da circunferência, 
torna-se possível traçar duas retas que tangenciam a circunferência. 
P
C P
r
C
t
 
 
4 
 
 
Representação de duas retas tangentes 
 
Assim, é possível concluir que a determinação de uma equação da reta 
tangente a circunferência por um ponto, deve ser através da posição relativa desse 
ponto, ou seja, depende da distância entre o centro da circunferência e o ponto. 
 
1.2. Problemas envolvendo tangência 
Vamos agora resolver problemas envolvendo tangência. 
Considere o ponto P(5,2) pertencente à circunferência cuja equação é: 
2 2 2 – 6 27 0x y x y+ + − =
 . 
A reta será chamada de t que é tangente a essa circunferência em P e vamos 
determinar sua equação. 
Sabemos que a reta t tangencia a circunferência cujo centro C e o raio r em P e 
assim t é perpendicular à reta-suporte de CP. 
 
Reta t tangenciando a circunferência 
C
P
 
5 
 
 
As coordenadas do centro C e o raio r podem ser assim determinadas: 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
 2 – 6 27 0
 2 – 6 27
 2 1 6 – 9 27 1 9
 1 – 3 37
x y x y
x y x y
x x y y
x y
+ + − =
+ + =
+ + + − = + +
+ + =
 
Logo, C(-1,3) e 
 37r =
 
É preciso agora, determinar o coeficiente angular m1 da reta, que passa pelos 
pontos C(-1,3) e P(5,2): 
1
y
m
x

=

 
1
2 3 1
5 1 6
m
−
= = −
+
 
O coeficiente angular de m2 da reta t perpendicular à reta que passa pelos 
pontos C e P também precisa ser determinado. 
2
1
1 1 6
1 6
m
m
−= − = =
 
A partir daí podemos calcular a equação da reta t que passa pelo ponto P(5,2) 
e tem coeficiente angular igual a 6. Para isso, basta substituir na fórmula do 
coeficiente angular o ponto que conhecemos e um ponto genérico pertencente a reta 
na qual podemos chamar de P(x,y). 
0
0 0
0
( )
y y
m y y m x x
x x
−
= → − = −
−
 
y – 2 = 6(x-5) 
y – 2 = 6x – 30 
6x – y -28 = 0 
Assim concluímos que a equação pedida é 6x – y -28 = 0. 
Vejamos agora a reta de equação x – y + k = 0 é tangente à circunferência de 
equação
2 2 9x y+ =
 . Nosso objetivo aqui é saber qual é o valor de k. 
Sabemos que se a reta é tangente à circunferência, a distância do centro até a 
reta é igual ao raio. 
1-Centro e raio da circunferência 
 
6 
 
( ) ( )
2 2
2 2 2
 9
 – 0 – 0 3
x y
x y
+ =
+ =
 
Logo, C(0,0) e r = 3 
2-Distância do centro (0,0) à reta 1x – 1y + k = 0 
2 2
1.0 1.0
21 1
k k
d
− +
= =
+
 
3-Calculando k sabendo que d = r 
3
2
3 2
3 2
k
k
k
=
=
= 
 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
Se existem dois valores para k, existem duas retas, ou seja, 
 – 3 2 0x y + =
 
e também 
 – - 3 2 0x y =
 que satisfazem à condição imposta. 
Tenhamos em mente um ponto P(1,-2) que é externo à circunferência de 
equação
( ) ( )
2 2
 – 1 – 2 8x y+ =
 . Vamos determinar as equações das retas 
tangentes à circunferência e que passam pelo ponto P. 
De acordo com a equação dada, C(1,2) e 
8r =
. 
É importante lembrar que o módulo de um 
número real positivo é sempre o próprio número e se for 
negativo será o seu simétrico. Neste exemplo temos o 
módulo de k (|k|) ou seja k poderá ser negativo ou 
positivo. 
 
7 
 
 
Retas tangentes passando pelo ponto P 
 
Iremos considerar o coeficiente angular m da tangente e escreveremos a 
equação geral dessa reta, que passa pelo ponto P(1,-2). 
y + 2 = m(x – 1) 
y + 2 = mx – m 
mx – y – 2 – m = 0 
A distância entre o centro C(1,2) e a reta de equação mx – y – 2 – m = 0 deve ser 
igual a = √8 ou seja, igual ao raio. 
2 2
2
2
2
(1) 1(2) 2
8
1
2 2
8
1
4
8
1
4
8
1
m m
m
m m
m
m
m
− − −
=
+
− − −
=
+
−
=
+
=
+
 
Para eliminar a raiz vamos elevar os dois membros ao quadrado: 
2
2
2
8 – 8 0
 1
1
’ 1 ” 
6
8
 1
1
m
m
m
m
e m
=
=
= =
=
−
+
 
Agora precisamos calcular as equações das retas 
1t
 e 
2t
 e substituindo m por 
m’ na equação geral mx – y – 2 – m = 0. 
Para m’ = 1, temos: 
y
 
t1
C(1,2)
√8
t2
O x
P (1,-2)
 
8 
 
(1)x – y -2 – 1 = 0 
x – y – 3 = 0 
Para m” = -1, temos: 
(-1)x – y – 2 –(- 1) = 0 
-x – y – 1 = 0 vamos multiplicar tudo por -1 
x + y + 1 = 0 
Assim, as retas tangentes t1 e t2 são x – y – 3 = 0 e x + y + 1 = 0. 
 
1.3. Determinação do centro e do raio de uma circunferência 
Para que possamos determinar o centro e o raio de uma circunferência,precisamos transformar a equação geral, através da fatoração de trinômio quadrado 
perfeito, em uma equação reduzida. 
A equação geral por sua vez, deve ter os coeficientes dos termos 
2x
 e 
2y
 iguais 
a um e não poderá existir o termo xy. 
Vamos considerar a equação geral 
2 2– 8 6 9 0x x y y+ + + =
 e determinar o 
centro e o raio. 
Incialmente, vamos agrupar os termos x e y, isolando o termo independente, 
pois a equação está de acordo com as condições pré-estabelecidas. 
 
2 2– 8 6 9x x y y+ + = −
 
Agora é preciso determinar os termos que completam os quadrados perfeitos 
em x e y. É preciso somar nos dois membros as parcelas correspondentes, pois só 
assim não alteraremos a equação. 
Não podemos esquecer que, a equação tem o formato 
( ) ( )
2 2 2
1 2 – – x c y c R+ =
 e que o centro é 
( )1 2, c c
 e o raio R. 
Ora, sabemos que o quadrado da diferença é 
( )
2 2 2 – 2 a b a ab b= − +
 e 
comparando com a equação concluímos que os termos de x são x e 4 e fazendo a 
mesma comparação com y os termos são y e 3. 
Vale lembrar que para o quadrado da diferença temos o quadrado do primeiro 
menos duas vezes o primeiro, vezes o segundo mais o quadrado do segundo e, 
portanto, temos
( )
2 2 2 4 2. .4 4x x x− = − +
 . 
x2 – 8x + 42 + y2 + 6y + 32 = - 9 +42 + 32 
 
9 
 
 
Assim teremos 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
 – 4 3 9 16 9 – 4 3 16x y x y+ + = − + + → + + =
 
Agora temos a equação reduzida: 
(
( )
22 – 4 3 16)x y+ + =
 
Daí deduzimos que pelo formato da equação que descrevemos acima, o centro 
(c1, c2) = (4,-3) e o raio 2 16R = e R = 4. 
Exercícios 
1. (FUVEST-SP) Qual das equações abaixo representa a circunferência de 
centro (2,-1) tangente à reta de equação y=-x + 4? 
a)
( ) ( )
2 2
9 – 2 9 1 2x y+ + =
 
b)
( ) ( )
2 2
2 2 2 1 9x y+ + − =
 
c)
( ) ( )
2 2
2 – 2 2 1 9x y+ + =
 
d)
( ) ( )
2 2
4 – 2 4 1 9x y+ + =
 
e)
( ) ( )
2 2
4 – 2 4 – 1 9x y+ =
 
 
2. (UFV-MG) Determine a equação da reta que tangencia a circunferência cuja 
equação é 
2 2 4 6 0x y x y+ − − =
 no ponto P(4,6). 
 
3. (UFV-MG) Obtenha as equações das retas paralelas à reta s:x + y -7 =0 e que 
são tangentes à circunferência 
( ) ( )
2 2
: – 2 – 5 8x y + =
 
Gabarito 
1. A distância entre ponto e reta é dada pela fórmula 
2 2
0 0ax by c
d
a b
+ +
=
+
. 
Quando temos uma reta da forma ax0 + by0 + c = 0 e queremos encontrar a 
distância entre o ponto P e a reta, então vamos substituir o ponto P na reta 
dentro do módulo. 
 
10 
 
 
Na forma geral teremos s: x + y – 4 = 0 e sabemos que o centro tem coordenadas 
C(2,-1). 
 
 
Vamos agora encontrar a distância entre C e a reta, ou seja, o raio. 
s: x + y – 4 = 0 
2 2
2 1 4 3 3
2 21 1
dCs
− − −
= = =
+
 
Logo o raio é 
3
2
R =
. 
A equação da circunferência é 
( ) ( )
2 2 2 – – x a y b R+ =
 e o centro é c(a, b) e 
o raio é R. 
Com as informações temos: 
( ) ( )
2
2 2 2 23 9 – 2 1 ( 2) ( 1)
22
x y x y
 
+ + = → − + + = 
 
 
Vamos multiplicar tudo por 2 para facilitar a resolução: 
(
( )( ) ( ) ( )2 2 22 9)
2
 – 2 1 2 2 – 2 2 1 9x y x y+ + → + + ==
. 
Portanto resposta correta letra c. 
s
:a
x
 +
 b
y
 +
 c
 =
 0
 
d
P
s
P
(X
p
, 
Y
p
)
 
11 
 
2. Como primeiro passo, precisamos encontrar a reta t que tangencia λ. Como 
temos o ponto (4,6) da reta, podemos substituir esse ponto equação 
( )0 0 – – .y y m x x=
 Daí temos para reta t : y – 6 = m(x -4). Para obter o 
valor de m, vamos raciocinar o seguinte: 
Existe uma reta r que passa pelo centro de λ e pelo ponto P que é 
perpendicular à reta t que tangencia λ. Se t é perpendicular a r, então mt.mr 
= -1. 
6 3 3
4 2 2
r
y
m
x
 −
= = =
 −
 e como 
. 1t rm m = −
 temos 
3
 . 1
2
mt = −
 logo 
2
 =
3
mt
−
 
Substituindo 
2
3
m = −
 em y -6 = m(x – 4) concluímos que (t) 2x + 3y – 26 = 0. 
A reta (t) 2x + 3y -26 = 0 é a única que tangencia λ no ponto P(4,6). 
 
3. Nosso objetivo é encontrar as retas t1 e t2 que são paralelas a reta s. Como 
t//s elas terão os mesmos coeficientes angulares. Assim podemos chamar 
a reta t de (t) y=mx + q onde mt = ms = -1 e t(y)= -x + q. 
r
t1
P (4,6)
λ
C (2,3)
O
 
12 
 
 
 
Vimos que (t) y = -x + q, então podemos obter o valor de q utilizando a fórmula 
da distância do ponto à reta e para isso precisamos da equação geral da reta t: 
 (t) x + y – q = 0. 
A seguir vamos calcular q pela fórmula da distâcia entre ponto e reta. 
 
Sabemos que
 tdC R=
 , onde C é o centro da circunferência e R é o raio da 
mesma. 
 
8R =
 C(2,5) (t) 1.x + 1.y – q = 0 
 X0 Y0 a b c 
 
2 2
1.2 1.5
8
1 1
q+ −
=
+
 
7
8
12
q−
=
 
7
8
12
q−
 =
 
7
8 7 4 3
2
q
q q
−
= → − = → =
 
7
8 7 4 11
2
q
q q
−
= → − = − → =
 
t1
λ
C (2,5)
t2
 (s ) x + y -7 = 0
 
13 
 
As retas (t) tangentes à λ são paralelas à reta são: 
(t1) x + y – 3 = 0 e (t2) x + y -11 = 0 
( )1 – 3 0t x y+ =
 e 
( )2 11 0t x y+ − =
 
Resumo 
Nesta aula, aprendemos os problemas com circunferência, problemas de 
tangência e determinação de circunferência e para isso, utilizamos vários conceitos 
aprendidos anteriormente, como o conceito que diz que quando a reta é tangente à 
circunferência, a distância do centro da circunferência à reta tangente é o raio e que a 
tangente é sempre perpendicular ao raio no ponto de tangência. 
Outro fato importante é que para determinar o centro e o raio de uma 
circunferência, precisamos transformar a equação geral, em uma equação reduzida. 
A equação geral deve ter os coeficientes dos termos 
2x
 e 
2y
 iguais a um e não 
poderá existir o termo xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999