Logaritmos decimais

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Matemática 
 
 
 
 
LOGARITMOS DECIMAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Logaritmo decimal ............................................................................................................... 2 
1.1. Conceito ............................................................................................................................ 2 
1.2. Característica e mantissa ................................................................................................. 3 
1.3. Característica de um número real maior ou igual a um.................................................. 4 
1.4. Característica de um número real maior que zero e menor que um.............................. 5 
1.5. Logaritmo na forma mista ou preparada ........................................................................ 5 
1.6. Logaritmo na forma negativa .......................................................................................... 5 
1.7. Convertendo logaritmo na forma preparada para forma negativa ............................... 6 
1.8. Convertendo logaritmo na forma negativa para forma preparada ............................... 6 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Na apostila anterior, Inequações Logarítmicas, aprendemos que as inequações 
logarítmicas obedecem à uma condição de existência, e que após a resolução da 
equação, é preciso observar a base, sendo que, quando for maior que 1, o sentido da 
desigualdade entre os logaritmos é mantida e se for entre 0 e 1 o sentido da 
desigualdade é invertido. 
Agora, vamos aprender sobre os logaritmos decimais, sua característica e 
mantissa, seu conceito e como esses são indicados. 
Objetivo 
• Conceituar logaritmo decimal; 
• Mostrar as partes de um logaritmo decimal. 
 
1. Logaritmo decimal 
1.1. Conceito 
Chama-se logaritmo decimal aquele de base 10. Indica-se o logaritmo decimal 
de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica subentendida). 
O log 
1
1000
 é o expoente x tal que 10x = 
1
1000
 . 
Então temos: 
10x = 
1
1000
 
10x = 10-3 
x = -3 
Assim, log 
1
1000
 = -3. 
Neste exemplo, podemos perceber que log 1000 é igual a 3, pois 103 é igual a 
1000, ou seja 1000 é uma potência de 10 com expoente 3. Veja que o logaritmo de 1000 
é o expoente da potência de 10, então podemos dizer que para um expoente N, o log 
10N = N. 
Vamos então, construir uma tabela onde teremos N apenas com números 
inteiros, sejam eles positivos ou negativos. 
Note que nesta tabela, só temos potências de dez com expoente inteiro, seja 
ele negativo, nulo ou positivo. 
 
 
3 
 
N log 10N = N Solução 
-3 log 10-3 = -3 10-3 = 0,001 
-2 log 10-2 = -2 10-2 = 0,01 
-1 log 10-1 = -1 10-1 = 0,1 
0 log 100 = 0 100 = 1 
1 log 101 = 1 101 = 10 
2 log 102 = 2 102 = 100 
3 log 103 = 3 103 = 1000 
Matemática Didática 2019 
De acordo com a tabela, nas linhas onde N = 2 e N = 3, vemos que o log 100 = 2 
e log 1000 = 3. Mas o que isso quer dizer? Isso nos diz que o logaritmo de qualquer 
número real maior que 100 e menor que 1000 é maior que 2 e menor que 3. 
Se esta tabela fosse prolongada, teríamos o log 0,0001 = -4 e o log 0,00001 = -5 
de forma que, qualquer número real maior de 0,00001 e menor que 0,0001 é maior que 
-5 e menor que -4. 
Hora, continuando assim, temos o log 50 como 1 vírgula alguma coisa, pois 50 
está entre 10 e 100, e estes têm como logaritmo 1 e 2 respectivamente. 
Na verdade, log 50 é aproximadamente 1,68970 e de fato está entre 1 e 2. 
De um modo mais claro, temos 1 <1,698970 < 2 e 101 < 50 < 102. 
 
1.2. Característica e mantissa 
O log 50 é um número decimal que pode ser separado em duas partes. Uma 
parte inteira e outra decimal. 
À parte inteira damos o nome de característica, à parte decimal denominamos 
mantissa. 
 
Representação de mantissa 
Observando o quadro acima, podemos dizer que log x = c + m, onde x deve ser 
maior que zero (condição de logaritmo), a característica pertence ao conjunto dos 
x > 0
log x = c + m
caracterítica mantissa
(C є Z) (0 < m < 1)
 
4 
 
números inteiros, sejam eles negativos ou positivos e a mantissa está entre 0 e um, ou 
seja, maior que zero e menor que um. 
Vamos exercitar: 
Dado o log 2 = 0,301, calcule: 
a) log 20 
Resolvendo temos log 20 = log (10.2) = log 10 + log 2. 
O log 10 = 1 e log 2 = 0,301. 
Temos então que 1 é a característica e 0,301 a mantissa. 
Podemos perceber que no log 2 a característica é 0 e mantissa 0,301 e no log20 
a característica passou para 1 e a mantissa a mesma. 
b) log 200 
Resolvendo fazemos log 200 = log (100.2) = log 100 + log 2 = log 102 + 0,301. 
Então log 200 = 2 + 0,301 = 2,301. 
A característica aumentou para 2 e a mantissa permaneceu a mesma. 
Assim podemos concluir que quando você tem um log de um número e 
multiplica esse número por uma potência de 10, a mantissa não se altera e a 
característica aumenta uma unidade. 
c) log 2000 = 3 + 0,301 = 3,301 
d) Para o log 0,2 vamos dividir por potência de 10. 
Fazemos log 0,2 = log 
2
10
 = log 2 – log 10 
Assim temos 0,301 – 1 = -0,699 
e) log 0,02 = -2 + 0,301 = -1,699 
Quando se divide por 10, a mantissa se mantém e a característica diminui uma 
unidade. 
 
1.3. Característica de um número real maior ou igual a um 
A característica do logaritmo decimal de um número real maior ou igual a 1 é 
igual ao número de algarismos da parte inteira subtraída de uma unidade. 
O número 70 possui dois algarismos na parte inteira, por isto a sua 
característica é igual a 1. 
A característica do logaritmo decimal de 543,76 é igual a 2, pois na parte inteira 
este número possui 3 algarismos. 
 
 
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1.4. Característica de um número real maior que zero e menor que 
um 
Para obtermos a característica do logaritmo decimal de um número real maior 
que zero e menor que um, contamos o número de zeros antes do primeiro algarismo 
diferente de zero. A característica é o valor simétrico desta contagem, ou seja, é a 
contagem com o sinal de negativo, já que o logaritmo decimal de um número menor 
que um e maior que zero é negativo. 
Lembre-se que não existe logaritmo de número negativo. 
Qual é a característica do log 0,000504? 
Veja que o número 0,000504 possui um zero antes da vírgula e mais três depois 
dela e antes do primeiro algarismo diferente de zero que é o 5. Por isto a característica 
do número 0,000504 é -4. 
 
1.5. Logaritmo na forma mista ou preparada 
A mantissa aproximada do log 0,000504 é 702431, então podemos dizer que o 
log 0,000504 = -4 + 0,702431, na forma mista. 
Veja que na forma mista ou preparada, escrevemos a característica e a 
mantissa como os termos de uma adição. Nesta forma também podemos expressar 
assim o logaritmo de log 0,000504: 4,702431. 
Note querealizamos um traço sobre a característica negativa, semelhante ao 
vinculum utilizado na escrita de números romanos. 
 
1.6. Logaritmo na forma negativa 
Se você calcular o log 0,000504 em uma calculadora científica irá obter 
aproximadamente o seguinte valor: -3,297569. 
Note que ele difere do valor considerado anteriormente. Por quê? 
Porque anteriormente o log 0,000504 estava representado na sua forma 
preparada e agora ele está na sua forma negativa. 
Esta é a forma utilizada pelas calculadoras. 
 
 
6 
 
1.7. Convertendo logaritmo na forma preparada para forma 
negativa 
Para conversão de 4,702431 em -3,297569 devemos tratar a característica e a 
mantissa separadamente. 
A característica passa para -3 simplesmente se somando 1 ao -4 da parte 
inteira: 4 = -4 + 1 = -3. 
Em relação à mantissa subtraímos de 1 o 0,702431 referente à parte decimal: 
1-0,702431 = 0,297569. 
O logaritmo resultante na forma negativa será a subtração das novas partes 
obtidas: -3 -0,297569 = -3,297569. 
Caso só tenhamos a característica, isto é, a mantissa seja zero, a conversão é 
mais simples. 4 na forma preparada é igual a -4 na forma negativa. 
 
1.8. Convertendo logaritmo na forma negativa para forma 
preparada 
A conversão de -3,297569 em 4,702431 também é realizada se tratando a 
característica e a mantissa separadamente. 
Da parte inteira -3 subtraímos 1, que resulta em -4 e escrevemos a 
característica utilizando o traço sobre este número sem o sinal de negativo: 
-3 -1 = - 4 = 4 
4 é a característica na forma mista. 
A mantissa é obtida subtraindo de 1 a parte decimal: 
1 – 0,297569 = 0,702431 
O logaritmo resultante na forma preparada será a junção da característica 4 
com a mantissa 702431, ou seja: 4,702431 
No caso de números inteiros o procedimento é simplificado. Se ao invés de 
3,297569, tivéssemos apenas o inteiro -3, na forma preparada teríamos simplesmente 
3. 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Se log 2 = 0,301 então determine o número de algarismos de 
250. 
2. (Matemática didática, 2019) O logaritmo decimal de 0,2 é igual a -0,698970 
na sua forma negativa. Qual é o logaritmo decimal de 200? 
3. (Matemática didática, 2019) Qual é a forma negativa do logaritmo decimal 
1,511883? 
 
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Gabarito 
1. Quando se calcula o logaritmo de um número, encontramos um número 
real composto por uma parte inteira e uma parte decimal. A parte inteira é 
chamada de característica e a parte decimal é chamada de mantissa. 
log 2 = 0,301 tem característica 0 e mantissa 0,301. 
A mantissa tem como propriedade, não se alterar, quando multiplicamos o 
logaritmando por uma potência de 10. 
log (2 . 10n) = log 2 + log 10n = 0,301 + n = n,301 
Perceba que somamos a característica do log de 2 com n (0 + n) e a mantissa é 
a mesma (0,301). 
Como log 2 = 0,301, então: 
log (250) = 50 . log 2 = 50 . 0,301=15,05 
log (250) = 15,05 que tem característica 15, logo o número de algarismos de 
250 é a característica mais 1, ou seja, 16 algarismos. 
 
2. Já que log 0,2 está na sua forma negativa, devemos primeiramente obter a 
sua mantissa, visto que ela não é a parte decimal do logaritmo informado. 
Já vimos que isto sempre acontece quando o logaritmando é maior que 0 e 
menor que 1 e no caso deste exercício o logaritmando é igual a 0,2. 
Para a obtenção da mantissa do log 0,2, simplesmente vamos subtrair 
0,698970. Estamos considerando apenas os algarismos da parte decimal 
(698970) do logaritmo informado no enunciado, acrescentando o "0," na 
frente: 
1 – 0,698970 = 0,301030 
Portanto a mantissa do log 0,2 é igual a 301030. 
Visto que os logaritmos decimais de dois números que diferem entre si 
somente pela posição da vírgula, possuem a mesma mantissa, então ambos os 
logaritmos decimais de 0,2 e 200 possuem a mantissa 301030. O que difere 
neles é a característica. 
Para obtermos a característica do log 200, basta subtrairmos 1 do número de 
algarismos da parte inteira de 200: 
3 – 1 = 2 
 
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Com característica igual a 2 e mantissa igual a 301030, o logaritmo decimal de 
200 é igual a 2,301030. 
 
3. Vamos realizar a conversão separando o número em duas partes. 
A primeira parte é obtida somando-se 1 à característica 1 (-1): 
1 = -1 + 1 = 0 
Para a segunda parte subtraímos o 0,511883, referente à mantissa precedida 
de "0,", de 1: 
1 – 0,511883 = 0,488117 
Concluindo subtraímos as partes obtidas: 
0 – 0,488117 = -0,4188117 
 A forma negativa deste logaritmo decimal é -0,488117. 
Resumo 
Na aula de hoje, aprendemos que logaritmo decimal aquele de base 10. Indica-
se o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica 
subentendida). 
 
LOGARITMOS DECIMAIS 
 
O número “a” é uma potência de 10 com 
expoente inteiro: 
a = 10n, com n є Z, então: 
log a = log 10n = n log 10 = n . 1 = n 
O número “a” não é potência de 10 com 
expoente inteiro: 
a = 300 
O log decimal de uma potência inteira de 
10 é o expoente dessa potência, nesse 
caso um número inteiro: 
log 0,01 = log 10-2 = -2 
log 1 = log 100 = 1 
log 10 = log 101 = 1 
O número “a” está entre duas potências 
de base 10 com expoentes inteiros e 
consecutivos: 
102 < 300 < 103 
log 102 < log 300 < log 103 
2 < log 300 < 3 
Somente as potências de 10 com 
expoentes inteiros possuem logaritmos 
inteiros. 
O valor de log 300 está entre 2 e 3, sendo 
2 + 0,4771, ou ainda 2,4771. 
 
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Então, log a = c + m sendo (a > 0) 
O logaritmo decimal de um número positivo é constituído de uma parte inteira “c” 
(característica) e uma parte decimal “m” mantissa (0 ≤ m < 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmosDecimais.aspx- Acessado em 25/04/2019 as 13h25 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999.