Questões de Trigonometria em Triângulos Retângulos

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1.
		Num triângulo retângulo ABC a hipotenusa AB forma o ângulo A com o lado AC. Marque a opção correspondente ao valor da razão  BC/AC .
	
	
	
	cotg A 
 
	
	
	sec A 
	
	
	tg A
	
	
	cos A
	
	
	sen A
	
Explicação:
Se AB é hipotenusa então AC e BC são os catetos , sendo BC oposto ao vértice A . 
Portanto  BC/ AC = cateto oposto /cateto adjacente ao A  =  tgA .  
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o triângulo retângulo isósceles de cateto igual a lado L. Então a tg 45 é igual a:
	
	
	
	1212.
	
	
	√3232;
	
	
	1
	
	
	√2222;
	
	
	3232;
	
Explicação:
Se o triângulo é isósceles os catetos são iguais e de valor  L  . Os ângulos agudos também são iguais e como no triângulo retângulo um ângulo é 90º e a soma dos ângulos de um triângulo é 180º, resulta que a soma dos ângulos agudos é 90º . Portanto cada ângulo agudo é 45º  . 
Então tangente de 45º = cateto oposto / cateto adjacente  =  L/ L = 1. 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Num triângulo retângulo ABC o maior lado AB mede 12m e forma um ângulo A de 30 graus com o lado AC. Qual a medida em metros do lado BC?
	
	
	
	   6
	
	
	12V3  
	
	
	4V 3 
	
	
	6V2 
	
	
	 6V3
	
Explicação:
sen 30º =  BC/ AB     ½  = BC / 12      BC = 6 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o triângulo retângulo de ângulo de 30 e 60,  hipotenusa igual a L e catetos igual a L2L2 e L(√3)2L(3)2.  Indique a opção correta para o sen 60:
	
	
	
	√3232;
	
	
	√3333.
	
	
	1313;
	
	
	√2222;
	
	
	3232;
	
Explicação:
Hipotenusa = L .  Cateto menor = L/2 oposto ao ângulo menor 30º . Cateto maior = L(√3)/2 oposto ao ângulo maior 60º ....
Então sen 60º =  L(√3)/2  / L =  (√3)/2 .
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 m e a diferença entre os catetos é 7 m. Calcule os catetos.
	
	
	
	catetos sao 7 m e 9 m.
	
	
	catetos sao 5 m e 3 m.
	
	
	catetos sao 12 m e 5 m.
	
	
	catetos sao 12 m e 4 m
	
	
	catetos sao 10 m e 2 m.
	
Explicação:
Usando Pitágoras a²  = b² + c²   ... 13² =  b² + c²   ....  b² + c²  = 169  .
Diferença  b - c  =  7 ... então b =  c +7  e substituindo  fica  (c + 7 )²  + c²  = 169   ...  c² + 49 + 14c + c²  = 149  ...  2c²  + 14c - 120 = 0 
Resolvendo essa equação do 2º grau temos c = +5  ou -12  , mas o valor negativo não serve. ..Então c = 5   ...  b = c + 7 = 12 .
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Num triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual a 1 /2 . Qual o valor da tangente do outro ângulo agudo ?
	
	
	
	(raiz de 3) /3
	
	
	raiz de 3
	
	
	(raiz de 2) /2
	
	
	(raiz de 3) /2
	
	
	raiz de 2
	
Explicação:
Num triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual a 1 /2 . Qual o valor da tangente do outro ângulo agudo ?
Se o seno do ângulo  é 1/2 , então pela tabela esse ângulo é 30º .  Como no triângulo retângulo temos um ângulo de 90º  e a soma dos ângulos de um triângulo é 180º , o outro ângulo agudo  é o complemento do primeiro : 90º - 30º = 60º .
A tangente de 60º pela tabela é raiz3  ( igual á divisão  sen60º/cos60º ) .
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Num triângulo retângulo ABC o maior lado AB mede 6m e forma um ângulo de 30 graus com o lado AC. Qual a medida em metros do lado BC ?
	
	
	
	3
	
	
	2 raiz de 3
	
	
	6 raiz de 3
	
	
	3 raiz de 3
	
	
	3 raiz de 2
	
Explicação:
O maior lado AB com 6 m é a hipotenusa, portanto  o lado AC é um cateto e está adjacente (junto) ao ângulo 30 graus .O lado BC é portanto o outro cateto,  então oposto ao ângulo 30 graus.  Assim podemos usar a relação BC / AB = seno 30º , donde  BC / 6  = 1/2   e  BC = 6/2 = 3m .
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dado um triângulo retângulo, o seno de um ângulo não reto é obtido pela razão
	
	
	
	CATETO ADJACENTE AO ÂNGULO PELO CATETO OPOSTO AO MESMO ÂNGULO.
	
	
	CATETO OPOSTO AO ÂNGULO PELA HIPOTENUSA
	
	
	CATETO OPOSTO AO ÂNGULO PELO CATETO OPOSTO AO ÂNGULO
	
	
	HIPOTENUSA PELO CATETO RETO AO ÂNGULO
	
	
	CATETO OPOSTO AO ÂNGULO PELO SEU CATETO ADJACENTE
	
Explicação:
O seno de um ângulo agudo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa : sen A = cateto oposto / hipotenusa .
	
	
	 
		
	
		1.
		Uma rampa forma um ângulo de 30 graus com o solo. Andando 12 metros sobre a rampa  a partir do seu início no solo, qual a altura em metros  alcançada em relação ao solo?
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	V3
	
	
	3V3
	
	
	1,5V3
	
	
	 1,5
	
	
	6 
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo.
A distância percorrida de 12m sobre a rampa é a hipotenusa e a altura alcançada h é o cateto oposto a 30º .  
Portanto   h /12  = seno 30º = 1/2 ..   Daí  h = 12/2   = 6 m.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Um observador vê o topo de uma torre , perpendicular ao solo, sob um ângulo de 30°. Caminhando mais 40m na direção da torre ele vê o topo da torre sob um ângulo de 60°. Desprezando a altura do observador, calcule a medida aproximada da altura da torre.
	
	
	
	34√3343 m
	
	
	20√3203 m
	
	
	18 m
	
	
	150√21502 m
	
	
	20 m
	
Explicação:
Na distância final  x  vê altura h sob 60graus , então   h/tg 60º = h / V3   ... (1)
Inicialmente 40 m mais distante = 40 + x , via a altura h sob angulo 30º. 
 Portanto 40 + x = h / tg 30º = 3.h / V3... (2) .
Substituindo x de (1) em (2) resulta  :  40 + h / V3 = 3 h./ V3
40 V3  + h = 3 h  ...    então 2h = 40 V3  ...   h = = 20 V3  m .
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma escada de 6 metros está apoiada em uma parede formando com ela um ângulo de 30 graus. Os pés da escada estão sobre o piso que é perpendicular à parede. Qual a distância em metros, no piso,  entre os pés da escada e a parede?
	
	
	
	3
	
	
	V3      
	
	
	3V2  
	
	
	6V3
	
	
	3V3
	
Explicação:
A hipotenusa é 6  e a distância pedida d é o cateto oposto ao ângulo de 30º  .
Então d / 6  = sen30º = 1 /2.   ... donde d = 6/2 = 3.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Um indivíduo sobe totalmente uma rampa lisa de 50m de comprimento. Esta rampa faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Ao final da subida de quanto essa pessoa eleva-se verticalmente em relação ao solo?
	
	
	
	40m
	
	
	30m
	
	
	50m
	
	
	25m
	
	
	10m
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo . A rampa é a hipotenusa com 50m . A altura final h é o cateto oposto à inclinação 30º.
Então seno 30º =  h / hipotenusa  ... substituindo : 1/2 = h/  50   ... donde 2h = 50   e  h =25m.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32º. A altura do edifício é aproximadamente: (sen 32º = 05299, cos 32′ = 0,8480 e tg 32º = 0,6249)
	
	
	
	29,24m
	
	
	35,24m
	
	
	27,24m
	
	
	33,24m
	
	
	31,24m
	
Explicação:
Altura H é cateto oposto  a 32º  . A distância 50 m é o outro cateto (adjacente a 32º)  .  
tg32º =  H / 50  ... 0,6249  = H /50 ... H =50 x 0,6249  = 31,245 m
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Um foguete é lançado sob um ângulo de 30º. A que altura se encontra depois de percorrer 12 km em linha reta?
	
	
	
	7 Km
	
	
	6 Km8 Km
	
	
	9 Km
	
	
	10 Km
	
Explicação:
A altura h é o cateto oposto  a 30º . O precurso do foguete ,12km,  inclinado, é a hipotenusa. 
Sen 30º  = h/ 12 ...  1/2 = h/12  .. 2 h = 12 .. h =6km .
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Um observador localizado numa praia avista um adepto de asa delta no alto de um morro, sob um Ângulo de 32° com a horizontal. Sabendo que a distância do observador a base da encosta é de 800m, qual a altura h em que se encontra o esportista? Dado: tg 32° = 0,625
	
	
	
	500m
	
	
	300m
	
	
	200m
	
	
	600m
	
	
	400m
	
Explicação:
A altura h é um cateto oposto ao ângulo de visada  do solo para o topo. . A distância 800 é o cateto adjacente a essa ângulo .. 
Assim :  h/ 800 = tg do ângulo dado = 0,625  ... donde  h=  800 x 0,625 = 500m 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Um avião, ao decolar, sobe formando com a pista um ângulo de 30º. Após percorrer 700 metros, qual a altura em que ele se encontra do solo?
	
	
	
	380 m
	
	
	360 m
	
	
	350 m
	
	
	370 m
	
	
	390 m
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo  em que a distância percorrida pelo avião na sua trajetória inclinada  é a hipotenusa de 700 m.
A altura H do avião em relação ao solo é o cateto oposto ao ângulo de inclinação da trajetória com o solo = 30º .
Com esse dados podemos usar : seno 30º  = cateto oposto  / hipotenusa , ou seja, H / 700  = 1/2 .
Daí igualando os produtos cruzados resulta : 2H = 700   donde H = 350 m .
	
	
	
		
	TRIGONOMETRIA
CEL0489_A3_201803381061_V1
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	
Vídeo
	
PPT
	
MP3
	 
		Aluno: WILLIAN BATISTA BARBOSA
	Matr.: 201803381061
	Disc.: TRIGONOMETRIA 
	2019.3 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Qual a medida em radianos do arco de 150º ?
	
	
	
	5pi /3
	
	
	5pi /6 
	
	
	3pi /7
	
	
	1,5 pi /7
	
	
	5pi /4
	
Explicação:
180º =  pi rad   ... 150º =  x rad  ..
Daí  180  x  = 150 pi     e  x = (150/180)  pi =   ( 5 /6 ) pi  =  5pi /6 rad   .
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a expressão geral dos arcos côngruos a 30300.
	
	
	
	α=1500+3600k,k∈Zα=1500+3600k,k∈ℤ
	
	
	α=1200+3600k,k∈Zα=1200+3600k,k∈ℤ
	
	
	α=1000+3600k,k∈Zα=1000+3600k,k∈ℤ
	
	
	α=600+3600k,k∈Zα=600+3600k,k∈ℤ
	
	
	α=300+3600k,k∈Zα=300+3600k,k∈ℤ
	
Explicação:
Dividindo 3030º por 360º encontramos 8 voltas completas de 360º = 2880º  e sobrando um resto de 3030 - 2880 = 150º que é a primeira determinação positiva de todos os arcos côngruos de 3030º  . Daí  os  arcos côngruos a 3030º  são calculados como :  150º + k. 360º  , sendo k um inteiro.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A primeira determinação positiva e a primeira negativa de um arco de 4260 graus são , respectivamente
	
	
	
	330 graus e - 30 graus
	
	
	300 graus e - 30 graus
	
	
	300 graus e 60 graus
	
	
	330 graus e - 60 graus
	
	
	300 graus e - 60 graus
	
Explicação:
Deve- se dividir o arco por 360º  para saber o número de voltas completas e calcular o arco que sobra após essas voltas completas que é  a primeira determinação A do arco , origem de todos os arcos côngruos  A + k 360º .
4260º = 11 x 360º + 300º   ..  primeira determinação positiva  = 300º   
A primeira determinação negativa é 300º - 360º =  - 60º
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Qual é a medida do maior ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 12 horas e 30 minutos?
	
	
	
	
	190 graus
	
	
	200 graus
	
	
	205 graus
	
	
	195 graus
	
	
	185 graus
	
Explicação:
A circunferência toda corresponde a  360º.  Entre cada número há 360/12 = 30º .
Às 12h:30 o ponteiro  dos minutos está sobre o 6 . Portanto entre o número 12 e número 6 há 6 x 30º = 180º .
Mas o ponteiro das horas se desloca 30º  cada hora . Portanto  em meia hora se deslocou 30/2 = 15 graus , reduzindo o arco anterior .
Então o menor ângulo entre os ponteiros é 180º - 15º = 165º  graus .
O maior ângulo  é a diferença pra 360º =  360º - 165º = 195º
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Qual o comprimento aproximado de um arco de 30º em uma circunferência de raio 12m ?
 
	
	
	
	9,42 m       
	
	
	12,56 m           
	
	
	1,07 m
	
	
	3,14 m           
	
	
	6,28 m   
	
Explicação:
Comprimento do arco = radianos x raio .  
30º = 180º /6 = pi/6 rad  = 3,14 / 6
Então :  C = (3,14 /6 ) x 12  = 3,14 x 2  =  6,28 m
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual a medida de um arco de 210 graus , em radianos?
	
	
	
	3π23π2rad
	
	
	7π67π6rad
	
	
	π2π2rad
	
	
	π2π2
	
	
	7π37π3
	
Explicação:
Sabemos que pi rad = 180 graus , então proporcionalmente x rad  = 210 graus   .
Aplicando uma Regra de Três , concluimos  que 210 pi  = 180 x   , donde  x = 210 pi /180  =  ( dividindo por 30)  = 7 pi /6 radianos .
Observe então que na conversão de graus para radianos basta multiplicar o valor em graus por pi/180. 
	
	 
		
	
		1.
		Se cotg x  = - 0,75  , então x é um arco de qual quadrante ?
	
	
	
	2º ou 3º 
	
	
	1º ou 3º
	
	
	1º ou 4º 
	
	
	 2º ou 4º
	
	
	3º ou 4º
	
Explicação:
Cotangente = cosseno / seno . Portanto é negativa quando seno e cosseno têm sinais contrários, o que ocorre no 2º e no 4º quadrantes.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere os ângulos a = 30° e b = 330° , que são simétricos em relação ao eixo x no círculo trigonométrico. Podemos afirmar que :
	
	
	
	sen (a) = - sen (b) e cos (a) = - cos (b)
	
	
	sen (a) = sen (b) e cos (a) = cos (b)
	
	
	sen (a) = - sen (b) e cos (a) = cos (b)
	
	
	sen (a) = sen (b) e cos (a) = - cos (b)
	
	
	sen (a) = cos (b) e cos (a) = sen (b)
	
Explicação:
Se os ângulos são simétricos em relação ao eixo x no círculo trigonométrico , o cosseno é medido no mesmo ponto do eixo x , portanto tem o mesmo valor Entretando os senos  têm o mesmo módulo , mas um é medido  no eixo y positivo e o outro no eixo y negativo , ou seja têm sinais contrários.  . 
 Daí cos 30º =  cos 330º   e  seno 30º = - seno 330º
 
 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na origem e com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo a com o eixo x no primeiro quadrante . Podemos afirmar então que o valor de cos (a) é :
	
	
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo x.
	
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo y.
	
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo x.
	
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo y.
	
	
	a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M.
	
Explicação:
No círculo trigonométrico o cosseno de um arco é medido como a projeção no eixo x , do raio de medida 1 que delimita o arco . Ou seja,  é a coordenada no eixo x  ou a abcissa do ponto M que marca o arco na circunferência .
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere os ângulos a = 30°e b = 150° , que são simétricos em relação ao eixo y no círculo trigonométrico. Podemos afirmar que :
	
	
	
	sen (a) = cos (b) e cos (a) = sen (b)
	
	
	sen (a) = - sen (b) e cos (a) = - cos (b)
	
	
	sen (a) = - sen (b) e cos (a) = cos (b)
	
	
	sen (a) = sen (b) e cos (a) = - cos (b)
	
	
	sen (a) = sen (b) e cos (a) = cos (b)
	
Explicação:
Se os ângulos são simétricos em relação ao eixo y no círculo trigonométrico , o seno é medido no mesmo ponto do eixo y , portanto tem o mesmo valor Entretando os cossenos  têm o mesmo módulo , mas um é medido  no eixo x positivo e o outro no eixo x negativo , ou seja têm sinais contrários. 
 Daí seno 30º = seno 150º   e  cos 30º = -  cos 150º   .
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na origem e com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo A com o eixo x no primeiro quadrante. Podemos afirmar então que o valor de cos (A) é:
	
	
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo x.
	
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo y.
	
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo x. 
	
	
	a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M.
	
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo y
	
Explicação:
No círculo trigonométrico o cosseno de um arco é medido como a projeção no eixo x , do raio de medida 1 que delimita o arco . Ou seja,  é o valor da abcissa no eixo x , ou seja , é a abcissa do ponto M que marca o arco na circunferência .
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na origem e com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo a com o eixo x no primeiro quadrante . Podemos afirmar então que o valor de sen (a) é :
	
	
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo y.
	
	
	a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M.
	
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo x.
	
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo y.
	
	
	a abcissa do ponto M medida no eixo x.
	
Explicação:
No círculo trigonométrico o seno de um arco é medido como a projeção no eixo y , do raio de medida 1 que delimita o arco . Ou seja,  é o valor da coordenada no eixo y  , ou seja , é a ordenada  do ponto M que marca o arco na circunferência .
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sabendo que sen x = 2/3, calcule a cotg x quando x pertence ao primeiro quadrante.
	
	
	
	- V5/2
	
	
	-4/9
	
	
	3/2
	
	
	V5/2
	
	
	- 3/2
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno,  conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 4/9   então, cos² x = 1 - 4/9 = 5/9   ... daí cos x= V(5/9) =  V5/ 3   pois x é um arco do 1° quadrante.
Então cotg x =  cos x / sen x  =  (V5/3) / (2/3)   =  (V5/3) . (3/2) =  (cortando o 3)  = V5/2 .
 
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		
 -e um arco do terceiro quadrante e que sen x = - 0,6, calcule a tg x.
	
	
	
	3/4
	
	
	0,8
	
	
	-0,8
	
	
	0,7
	
	
	- 3/4
	
Explicação:
 Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno,  conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 0,36  então, cos² x = 1 - 0,36 = 0,64   ... daí cos x=  raiz de 0,64 =  - 0,8  pois x é um arco do 3° quadrante.
Então tg x =  sen x / cos x  =  - 0,6 / - 0,8  =  6/ 8 =  3/ 4. 
	
	 
		
	
		1.
		Dado um ângulo x qualquer, podemos afirmar que cos (900 + x) é igual a:
	
	
	
	sen x;
	
	
	cos x;
	
	
	tg x;
	
	
	- sen x;
	
	
	-tg x.
	
Explicação:
Observa-se no círculo trigonométrico que :
cos x = sen (90º +x)   como cos 30º = sen 120º  
sen x = - cos (90º +x)  como sen 30º = - cos 120º 
Daí cos (90º + x)  =  - senx
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Para um ângulo x qualquer temos que sen (900 - x) é igual a:
	
	
	
	cos x
	
	
	tg x 
	
	
	- cos x
	
	
	- sen x
	
	
	sen x
	
Explicação:
Observa-se no círculo trigonométrico que a medida de seno 30º no eixo y é igual à medida do cos 60º no eixo x .
Portanto sen(90º - 60º)  = cos 60º.
Então sen(90º- x) = cos x.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Para um ângulo x qualquer temos que sen (90º +  x) é igual a:   
	
	
	
	- sen x   
	
	
	sen x            
	
	
	 tg x
	
	
	- cos x             
	
	
	cos x
	
Explicação:
Observa-se no círculo trigonométrico que a medida de cos x  é igual a  sen (90º + x)   como cos 30º = sen(90º +30º) = sen 120º .
Portanto  sen (90º + x) = cosx .
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O seno de 210º  é igual a :
	
	
	
	- sen30º                   
	
	
	cos 30º
	
	
	sen 30º                      
	
	
	 - sen 60º
	
	
	cos60º
	
Explicação:
sen 210 = sen(180 + 30 ) =  - sen30 no 3º quadrante.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Para os ângulos A = 30º e B = 210º  temos que : 
	
	
	
	sen A = sen B   e  cos A = cos B
	
	
	sen A = -  sen B   e  cosA = cos B
	
	
	 sen A =  - sen B  e  cos A  =  - cos B 
	
	
	 sen A = cos B    e   sen B = cos A
	
	
	 sen A =  sen B   e   cos A  =  - cos B 
	
Explicação:
Observa-se no círculo trigonométrico que ângulos com diferença de 180° têm mesmo módulo para o seno e  para cosseno, entretanto com sinais opostos :
seno A  = - sen ( A +180)     e cos A = - cos (A + 180)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Sabendo que sen x = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine cotg x.
	
	
	
	-V3/3
	
	
	- V3
	
	
	1
	
	
	V3/3
	
	
	V3
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 1/4   então, cos² x = 1 - 1/4 = 3/4   ...  daí cos x=  +V(3/4)  =  + V3/ 2 pois x é um arco do 4° quadrante.
Então cotg x = cos x /sen x  = V3/ 2 / (- 1/2)  =  V3/ 2 . ( - 2) =  - V3
 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine 3 tg x.
	
	
	
	- V3
	
	
	V3
	
	
	V3/3
	
	
	-V3/3
	
	
	1
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 1/4   então, cos² x = 1 - 1/4 = 3/4   ...  daí cos x=  +V(3/4)  =  + V3/ 2 pois x é um arco do 4° quadrante.
Então 3 tgx  =  3 sen x /cos x  =  3 ( -1/2) ./ V3/ 2  =    (- 3/2) . (2/ V3)  =  - 3/ V3  =  - V3 .
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine 2 cos x.
	
	
	
	-V3
	
	
	-1/2
	
	
	V3/2
	
	
	V3
	
	
	-V3/2
	
Explicação:
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 1/4   então, cos² x = 1 - 1/4 = 3/4   ...  daí cos x=  +V(3/4)  =  + V3/ 2 pois x é um arco do 4° quadrante.Então 2 cosx = 2. V3/ 2 = V3.
	
	
	 
		
	
		1.
		Se sen A  = 4/5, sendo A um arco do 2º quadrante, calcule sen 2A .
 
	
	
	
	12/25
	
	
	 -2/5
	
	
	2/5
	
	
	-24/25
	
	
	24/25
	
Explicação:
cos² A = 1 - sen² A  =  1 - 16/25  = 9/25
cos A = V9/25 =  - 3 /5 , negativo, pois A é do 2º quadrante .
Então sen 2A = 2senA .cosA   = 2 .4/ 5 .(- 3/ 5)  =   -24/25
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Usando o cosseno de arcos conhecidos pode-se calcular o  cos 75º como :  
	
	
	
	(√3  - √2) /2
	
	
	(√6 + √2) /2  
	
	
	(√3 + √2) /4  
	
	
	√6 + √2) /4             
	
	
	(√6 - √2) /4     
	
Explicação:
cos75º = cos(45° + 30°) =  cos45°·cos30° - sen45°·sen30° 
=V2/2 . V3/2 -  V2/2 . 1/2 
=V6 /4  - V2/ 4 
=(V6 - V2) / 4
 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Utilize a expressão trigonométrica da soma ou da diferença de dois ângulos notáveis e calcule cos 135°.
	
	
	
	-raiz de 2
	
	
	- 1/2
	
	
	- (raiz de 2)/2
	
	
	(raiz de 2)/ 2
	
	
	raiz de 2
	
Explicação:
cos (a + b) = cos a * cos b ¿ sen a * sen b 
cos 135°.= (cos 90º + 45º) = 0 - 1 .V2/2 =  - V2/2 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine o valor da expressão sen (x + a) + cos (x + b), quando a = 30 graus e b = 60 graus.
	
	
	
	sec x
	
	
	cossec x
	
	
	tg x
	
	
	senx
	
	
	cos x
	
Explicação:
sen (x + a) + cos (x + b), quando a = 30 graus e b = 60 graus.
sen (a + b) = sen a * cos b + cos a * sen b
sen (x + 30) = sen x * cos 30 + cos x * sen 30 =  V3/2 senx  + 1/2 cosx 
cos (a + b) = cos a * cos b ¿ sen a * sen b
cos (x + 60) =  cos x * cos60 ¿ sen x * sen 60  =  1/2 cos x -  V3/2 sen x  
Então : sen (x + 30) + cos (x + 60)  =  V3/2 senx  + 1/2 cosx  + 1/2 cos x -  V3/2 sen x   = simplificando = cosx 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O valor de tg 75° é igual a:
	
	
	
	2 + √33 
	
	
	2 - √22
	
	
	2 -√33 
	
	
	3 + √22 
	
	
	3 - √22 
	
Explicação:
tg 75º = tg (45º + 30º) =
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Se sen x + cos x = 1 / √22 , então o valor de sen (2x) é:
	
	
	
	-1/5
	
	
	-2/3
	
	
	1/2
	
	
	2/5
	
	
	-1/2
	
Explicação:
(senx + cosx )²   =  sen²x + cos² + 2 senx .cosx    =  1 + sen2x  ... Também pelo enunciado (senx + cosx )²  = (1 / √2)²  =  1/2 ...
 Então igualando fica 1 + sen2x = 1/2   ..donde  sen2x = 1/2 - 1 = - 1/2
	
	Gabarito
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		7.
		Uma haste de 1 metro é erguida formando um ângulo de 45 graus com sua base horizontal e em seguida é abaixada dessa posição em 30 graus. Qual das expressões abaixo representa a altura final em metros da ponta da haste em relação à sua posição horizontal ?
	
	
	
	(raiz de 6 + raiz de 2) / 4
	
	
	(raiz de 6 - raiz de 2) / 4
	
	
	(raiz de 3 - raiz de 2) / 2
	
	
	(raiz de 2 - 1) / 2
	
	
	(raiz de 6 - raiz de 2) / 2
	
Explicação:
O ângulo final é 45º - 30º = 15º em realção á horizontal ou eixo x do círculo trigonométrico.  A altura pedida corresponde à medida no eixo y do círculo trigonométrico de raio 1 , pois a haste tem 1m . Daí essa medida é o seno de 15º  .
sen 15º = sen (45º ¿ 30º) = sen 45º * cos 30º ¿ cos 45º * sen 30º
sen 15º = V2/2 .V3/2  -  V2/2. 1/2  =  V6/4 - V2/4  =  (V6-V2) /4 .
 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Para facilitar o trânsito em um cruzamento muito movimentado, será construída uma ponte sobre o qual passará uma das vias. A altura da via elevada, em relação à outra, deverá ser de 5,0m. O ângulo da inclinação da via elevada, em relação ao solo, deverá ser de 22,5o. A distância d, em metros, onde deve ser iniciada a rampa que dará acesso à ponte, medida a partir da margem de outra via, conforme mostra a figura abaixo, deverá ser de:
	
	
	
	52(√2−1)52(2-1)
	
	
	53(√2+1)53(2+1)
	
	
	54(√3+1)54(3+1)
	
	
	53(√3−1)53(3-1)
	
	
	5(√2+1)5(2+1)
	
Explicação:
5/d = tg 22,5º   .. Cálculo de tg22,5º ... usando tg 2a  : ...  tg45º = 2tg22,5º/ (1 - tg²22,5º) = 1   ...
Fazendo tg22,5º = x  ..   2x = 1 - x²    ...  x² +2x-1 =0 ...  x = V2 -1  ou  - (V2+1)  , mas tg 22,5 é positiva  =  V2-1  ...
Então 5/d  = V2-1   ... d = 5/(V2-1)   =  5 (V2 +1 ) / (V2-1) (V2 +1)  =   5 (V2 +1 ) / (2-1)    =   5 (V2 +1 )
	
	
	 
		
	
		1.
		O gráfico abaixo é representativo da função:
 
	
	
	
	- 2 cos x
	
	
	2 sen x
	
	
	cos 2x
	
	
	2 cos x
	
	
	- 2 sen x
	
Explicação:
Observa-se uma curva periódica , com características de  2 cos x , pois os valores f(x) são o dobro dos valores de cos x  .
f(x) =2,   para x=0 
f(x) = 0 , para x = pi/2  
f(x) = -2 , para x = pi 
f(x) = 0 , para x = 3pi/2
f(x) = 2, para x=2pi 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Em um sistema o número de predadores e de presas tende a variar periodicamente com o tempo. Considere que, em determinada regiao, onde gatos sao os predadores e ratos sao as presas, a população de presas tenha variado de acordo com a funçao
P(t)=450+200sen(πt4)P(t)=450+200sen(πt4)
sendo o tempo t medido em meses a partir de janeiro (t = 0). Determine qual a população de ratos (presas) em janeiro.
	
	
	
	A populacao de ratos será de 250.
	
	
	A populacao de ratos será de 750.
	
	
	A populacao de ratos será de 450.
	
	
	A populacao de ratos será de 50.
	
	
	A populacao de ratos será de 650.
	
Explicação:
Em janeiro, pelo enunciado,  t = 0 e portanto o seno 0 = 0 .  Daí  P = 450 + 200 .0  =  450. 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Observando o gráfico da função trigonométrica abaixo, é correto afirmar que ele é o grafico representativo da função:
 
	
	
	
	tangente
	
	
	secante
	
	
	seno
	
	
	cosseno
	
	
	cotangente
	
Explicação:
Observa-se uma curva periódica , com características do  seno x , pois atende ao seguinte : 
f(x) =0,   para x=0 
f(x) = 1 , para x = pi/2  ( pi = 3,14)
f(x) = 0 , para x = pi 
f(x) = -1 , para x = 3pi/2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine os valores do parâmetro real  m que torna possível a condição  sen(α)=2m−1sen(α)=2m-1, supondo que αα  é um ângulo agudo.
	
	
	
	 -12<="" font="">
	
	
	 −12≤m<1-12≤m<1
	
	
	12≤m<112≤m<1
	
	
	 0≤m<10≤m<1<1`<="" body="">
	
	
	 -1<1`<="" font=""><1`<="" body="">
	
Explicação:
Como o ângulo é agudo ele  está no 1º quadrante, de 0 a 90º , portanto seno de 0 a +1.  
Então no 1º quadrante para  sen(α) = 2m −1 , é necessário que    0 ≤ 2m -1 ≤  1 .. 
Daí :   1  ≤ 2m  ≤  1+ 1   donde    0  ≤ 2m  ≤  2   e     1/2  ≤ m  ≤  1 .
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine os valores do parâmetro real  m que torna possível a condição  sen(α)=2m−1sen(α)=2m-1, supondo que αα  é um ângulo agudo.
	
	
	
	-1 < m < 0
	
	
	-1/2 < m < 1
	
	
	1/2 < m <1 
	
	
	-1/2 < m < 0
	
	
	0 < m < 1
	
Explicação:
Como é um ângulo agudo , está no primeiro quadrante entre 0º e 90º  e o seno  tem valores entre 0 a +1.
Então     0 < 2m-1 <  1  ...  1  < 2m  < 1 + 1    ...     1 < 2m  < 2  ...   1/2  < m  <  1  
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine respectivamente o máximo e o mínimo da função f(x) = 2 - [(3cos4x)/4].
	
	
	
	2 e 5/4
	
	
	1 e -1
	
	
	2 e - 3/4
	
	
	2 e 0
	
	
	1 e 0
	
Explicação:Para cos x = +1 ou -1  ... 3cos4x/4 = 3/4  ...  f(x) = 2 -3/4   = 8/4-3/4 = 5/4.
Para cos x = 0 ...  3cos4x/4 = 0  ...  f(x) = 2 -0   = 2 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma empresa produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças para computadores. Sabe-se que o custo de produção C(x)C(x) e a receita  R(x)R(x)  de venda são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções
C(x)=2−cos(xπ6)C(x)=2-cos(xπ6) e R(x)=3√2sen(xπ12)R(x)=32sen(xπ12), 0≤x≤60≤x≤6 .
O lucro, em reais, obtidos na produção de 3 dezenas de peças é:
	
	
	
	3000
	
	
	1000
	
	
	750
	
	
	500
	
	
	2000
	
Explicação:
Para x = 3 ....
C(3)= 2−cos(3π/6)   ...  3π/6 = π/2 = 90º ..  cos 3π/6 = cos90 º= 0  ... C(3) = 2 - 0 = 2 
R(3)= 3√2sen(3π/12) ...  3π/12 = π/4  = 180º/4 = 45º  ...  sen 3π/12 = sen45º = √2/2 ...  R(3) = 3√2.√2/2 = 3
Lucro = R - C =  3 - 2 = 1 , em milhares de reais  =  1000 reais .
	
	Gabarito
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		8.
		Um fenômeno periódico tem variação em função do tempo tt em horas e é representado pela função y=100+2sen(tπ6)y=100+2sen(tπ6). Em quantas horas, entre 1 e 12 horas, ocorre o valor máximo de yy ?
	
	
	
	2
	
	
	12
	
	
	9
	
	
	3
	
	
	6
	
Explicação:
 
O máximo da função y=100+2sen(tπ/6) ocorre quando o sen(tπ/6) é máximo ou seja para tπ/6 = π/2  ou 90º .
Então dessa igualdade resulta  t/6 = 1/2  donde  t = 6/2 = 3 horas. 
	
	 
		
	
		1.
		Qual o valor de cotg x para x = pi/6 rad?  
	
	
	
	V3/3       
	
	
	2V3/3
	
	
	V3     
	
	
	2               
	
	
	V3/2     
	
Explicação:
 pi/6 rad = 180º /6 =  30º.   Então cotg 30º = 1/ tg 30º  = cos 30º / sen 30º = (V3/2) / (1/ 2)   = V3 
ou  direto :  1/tg30º = 1/(V3/3)   =  3/V3 = V3 .
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o valor de y na expressão y = cotg 30º + cotg π/2 + cotg 330º
	
	
	
	- V3
	
	
	-2
	
	
	V3
	
	
	0
	
	
	3
	
Explicação:
 y = cotg 30º + cotg π/2 + cotg 330º  ...
cotg 30º =  1/tg 30º =  3/V3 = V3 ... 
cotg π/2 = 1/ tg 90º =  cos90º / sen 90º = 0 / 1 = 0 ... 
cotg 330º =  cotg ( - 30º) = cos (-30º) / sen(-30º)  = ( V3/2) / (-1/2)    =  ( V3/2) . (-2)  =  -V3  ... .
Então a soma  é  V3 + 0 - V3  =  0
 
	
	Gabarito
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		3.
		Sendo cos x = 0,8 e x pertencente ao quarto quadrante, determine a 3.cossec x,
	
	
	
	3
	
	
	-5
	
	
	5
	
	
	5/3
	
	
	- 5/3
	
Explicação:
cossec x=  1 /sen x ....  sen² x  + cos²x  = 1  ...  sen²x  =  1 -  0,64  =  0,36 ...   senx  =  - 0,6 = - 6/10  = = - 3/5   ( quarto quadrante) .
3.cossec x=  3 /sen x = 3.( -5/3 ) = -5 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considerando sen x = 0,6 e o intervalo compreendido no segundo quadrante, determine a cotg x.
	
	
	
	1
	
	
	-3/4
	
	
	- 4/3
	
	
	3/4
	
	
	4/3
	
Explicação:
cotg x =  1/tg x =  cosx  / sen x   ...   sen²x + cos²x  =  1 ...   cos² x  =  1 - 0,36  = 0,64  ...  cos x= -  0,8  ( arco do segundo quadrante ) .
Então  cotg x  =  -0,8 / 0,6 =  - 8/6   =  -4/3 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Para que valores de x a função f(x) = sec x não é definida?
	
	
	
	135º e 315º
	
	
	180º e 270º
	
	
	45º e 135º
	
	
	90º e 270º
	
	
	180º , 0º e 360 º
	
Explicação:
Como sec x  = 1/cos x , se o denominador cos x for zero o valor não é definido  . Isso ocorre para  x=pi/2= 90º  e x =3pi/2 = 270º ,  em que cos x =0.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual o valor de sec x para x = pi/6 rad?
	
	
	
	V2/2       
	
	
	1/2  
	
	
	V3/2 
	
	
	2           
	
	
	2V3/3
	
Explicação:
pi/6 rad = 180º /6 =  30º  .
sec 30º = 1/ cos 30º  = 1 / (V3/ 2) = 2/V3 = 2V3/3 .
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Analisando a função y = secante x observamos que :
	
	
	
	y tem período 2pi e seus valores estão limitados ao intervalo fechado [-1, +1]
	
	
	y tem período pi e é maior ou igual a +1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	
	
	y tem período 2pi e é menor ou igual a -1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	
	
	y tem período 2pi e é maior ou igual a +1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	
	
	y tem período pi e é menor ou igual a -1 para pi/2 < x < 3pi/2.
	
Explicação:
A função secante é o inverso do cosseno e é uma função periódica cujos valores se repetem a  cada período 2 pi .  Como sec = 1/cos , ela tem valores negativos, como o cosseno , para arcos entre pi/2  e 3pi/2, no 2º e  3º quadrantes. O valor máximo -1 ocorre em pi , pois cos pi = -1  e vai tendendo negativamente a menos infinito quando o arco tende a pi/2 ou 3pi/2 , onde o cosseno é zero ..
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Analisando a função tangente observamos que :
	
	
	
	tem período 2pi e é negativa apenas no 2º e 4º quadrantes.
	
	
	tem período pi e é negativa apenas no 2º e 3º quadrantes.
	
	
	tem período 2pi e é negativa apenas no 3º e 4º quadrantes.
	
	
	tem período pi e é negativa apenas no 3º e 4º quadrantes.
	
	
	tem período pi e é negativa apenas no 2º e 4º quadrantes.
	
Explicação:
A função tangente é uma função periódica cujos valores se repetem a  cada período π .  Como tg = seno /cos   , ela só é negativa quando seno e cosseno tem sinais diferentes , positivo e negativo , ou seja, para arcos do 2º e 4º quadrantes. 
	
	
	 
		
	
		1.
		Considere as afirmações abaixo.
(I)  cosx.tgx.cscx=1cosx.tgx.cscx=1
(II) tg2x.csc2x=1+tg2xtg2x.csc2x=1+tg2x
(III) tg2x.csc2x=1tg2x.csc2x=1
Assinale a opção correta.
(Nota: csc= cossecante)
	
	
	
	As afirmações I e II sao verdadeiras e a afirmação III é falsa.
	
	
	Todas as afirmações são verdadeiras.
	
	
	A afirmação II é verdadeira e as afirmações I e III são falsas.
	
	
	Todas as afirmações são falsas.
	
	
	A afirmação I é verdadeira e as afirmações II e III são falsas.
	
Explicação:
(I)  cosx.tgx.cscx =  cos  . (sen/cos) .  (1/ sen)  =  cortando cos e sen =  1 ...  VERDADE
(II) tg2x.csc2x =   (sen²/cos² )  . (1/sen²)  =   cortando sen² = 1/cos² =  
          =  (sen² + cos²) / cos² =   sen²/cos² + cos² /cos² =    tg2x  +1 ... VERDADE .
(III) tg2x.csc2x  , como em (II) não é  = 1   ... FALSO .
 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dadas as afirmações: I) sec²x = 1 + tg²x II) Cossex² x = 1 - tg² x III) sen x + cos x = 1 São verdadeiras as equações
	
	
	
	Apenas I e III
	
	
	Apenas II e III
	
	
	Apenas I
	
	
	Apenas III
	
	
	Apenas II
	
Explicação:
I) sec²x = 1 + tg²x   =  ... 1 +  (sen²x/ cos²x)   =   (cos²x + sen²x ) / cos²x    = 1/ cos²x  =  sec²x  ... VERDADE .
 
II)  cosec² x = 1 - tg² x  =  ...  1 -  (sen²x/ cos²x)  =  (cos²x - sen²x ) / cos²x    ...  FALSO 
 
III) sen x + cos x = 1   ...   sabemos que  sen²x + cos²x  = 1  . A expressão dada é  FALSA. 
Então só é verdadeira a I)  .
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine sec x, sabendo que sen x =2ab/(a^2+b^2) .
	
	
	
	1 / (a^2 + b^2 )
	
	
	a^2 + b^2
	
	
	(a^2 - b^2) / (a^2 + b^2)
	
	
	(a^2 + b^2) / (a^2 - b^2)
	
	
	1 / (a^2 - b^2 )
	
Explicação:
senx = 2ab/(a² +b²)
sen²x ( a² + b²)² = (2ab)² 
(1-cos²x)  (a² +b²)²  =  (2ab)² 
(a² +b²)²  -  cos²x  (a² +b²)²  =  (2ab)² 
cos²x  (a² +b²)²  = (a² +b²)² - (2ab)²
cos²x  = [ (a²+b²)² - (2ab)² ] / (a² +b²)²  
cos²x   = ( a^4 +b^4 +2a²b² - 4a²b² )   / (a² +b²)²  =
cos²x  = ( a^4 +b^4 - 2a²b² )  / (a² +b²)²  
cos²x  =  ( a² - b²)²  / (a² + b²)²   
cos x  =  ( a² - b²)  / (a² + b²)   
sec x = 1/cos x  = (a² + b²) / (a² - b²)  
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Desenvolvendo a expressão (sen 2x) / (1+ cos 2x) encontramos:
	
	
	
	sec x
	
	
	cossec x
	
	
	tg x
	
	
	cos x
	
	
	sen x
	
Explicação:
sen2x  = 2senx .cosx ...  
1 + cos 2x  = 1 + cos²x - sen²x   =  (1 - sen²x) + cos²x  =   cos²x + cos²x  = 2cos²x  ..
Então ;  (sen 2x) / (1+ cos 2x)  =  2senx .cosx  / 2cos²x  =  (simplificando cos ) =  senx / cosx  =  tg x .
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Para um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão  cotg² x + 1 corresponde a :
	
	
	
	tg ² x   
	
	
	cossec² x      
	
	
	sec² x      
	
	
	cos² x
	
	
	 sen² x  
	
Explicação:
 cotg² x + 1  = (cos²x / sen²x )  + 1 = cos² x / sen² x + sen² x / sen² x   = (cos² x + sen² x) / sen² x =  1/ sen² x   = cossec² x .
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considerando um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão sen2x.secxsen2x.secx corresponde a :
	
	
	
	2cosx
	
	
	2senx
	
	
	2tgx
	
	
	senx
	
	
	cosx
	
Explicação:
  sen2x  = 2 senx cosx  , portanto  sen2x.secx  =  2 senx cosx . (1/cosx)  =  2 senx  
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Desenvolvendo a expressão (1 + cotg²x) (1-cos²x) encontranos o valor Real igual a :
	
	
	
	1/4
	
	
	- 1/2
	
	
	-1
	
	
	1/2
	
	
	1
	
Explicação:
1 + cotg²x   = 1  +  (cos²x / sen²x)  =  (sen²x + cos²x ) / sen²x  =  1/ sen²x  ...
1- cos²x  = sen²x ...
Então:  (1 + cotg²x) . (1-cos²x)  =  (1/ sen²x) .  sen²x  = 1 .
 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Podemos afirmar que cotg² x + 1 é igual a:
	
	
	
	sen² x
	
	
	cos² x
	
	
	cosec² x
	
	
	sec² x
	
	
	tg² x
	
Explicação:
cotg² x + 1   =  (cos²x  / sen²x)  + 1   =   [(1 - sen²x) / sen²x ]  +1    =  [  (1/sen²x ) - (sen²x /sen²x) ] +1  =  cosec²x  -1 + 1    =  cosec²x ..
	
	 
		
	
		1.
		As soluções da equação 2secx−2cosx=32secx-2cosx=3que pertence ao intervalo (−π2,π2)(-π2,π2) são:
	
	
	
	apenas uma
	
	
	infinitas
	
	
	duas
	
	
	sete
	
	
	três
	
Explicação:
2/cosx - 2 cosx - 3 = 0  ...
(multiplicando por cosx ) :  2 - 2 cos²x  - 3cosx = 0 ...
arrumando a equação do 2º grau :  - 2cos²x   - 3 cosx +2  = 0 ... 
Multiplicando por (-1) :    2cos²x   + 3 cosx  - 2  = 0 ... 
Resolvendo  encontarmos 2 raízes : 1/2 e  -2 ..
Entretanto cos x não pode ser = -2    ; resta apenas cosx = 1/2  ..
Entre -pi/2  (-90º)  e  + pi/2  ( +90º)   temos cosx = 1/2 para x  = 60º  e   x = 360 - 60 = 300º  .
Então são 2 soluções .
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a solução da equação cos x = -1/2 no intervalo 0 ≤ x <2π.
	
	
	
	S = {π/3, 5π/3 }  
	
	
	S = {2π/3, 4π/3 }     
	
	
	S = {2π/3, 5π/3 }
	
	
	S = {4π/3, 5π/3 }  
	
	
	S = {π/3, 2π/3 }    
	
Explicação:
cos (180º - 60º = 120º) = - cos 60º = - 1/ 2 , daí cos 120º = cos 2pi/3 = -1/ 2 no 2º quadrante.
Também  cos (180º + 60º = 240º) = - cos 60º = - 1/ 2  no terceiro quadrante.  Como 240º = 4pi/3 , então também cos 4pi/3 = -1/ 2 .
Então x  = 2pi/3   ou  4pi/3. 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine as raízes da equação 1 - 4cos²x = 0, compreendidas entre 0 e π. A soma delas é:
	
	
	
	π/3
	
	
	π
	
	
	7π/6
	
	
	5π/6
	
	
	3π/4
	
Explicação:
4cos² x = 1   ... 2cosx = +1 ou -1  ...   cos x = +1/2  ou  -1/2   ... 
Então para x de  0 a pi,   cosx = +1/2   para  x = 60º = pi/3   e cosx = -1/2  , no segundo quadrante para x = 180º -60º = 120º = 2pi/3.
A soma como pedido é  pi/3 + 2pi/3 = 3pi/3 = pi .
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Analise e determine a solução da equação sen x = sen (π/4)
	
	
	
	S = { x pertence R tal que x = π + 2 k π ou x = π/4 + 2 π k, k pertence Z}
	
	
	S = { x pertence R tal que x = π/4 + 2 k π ou x = [3 π/4 + 2 π k, k pertence Z}
	
	
	S = { π/ 2 , 2 π/ 2}
	
	
	S = { x pertence R tal que x = π + 2 k π ou x = [3π/ 4 + 2 π k, k pertence Z}
	
	
	S = { x pertence R tal que x = kπ ou x = 2 π k, k pertence Z}
	
Explicação:
sen x = sen (π/4)   então  x = π/4 no 1º quadrante  ou  x  = π - π/4  =  3π/4  no 2º quadrante . . e todos os seus  arcos côngruos. 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolver a equação 2 sen x + 1 = 0 e determinar seu conjunto verdade.
	
	
	
	V = {x ϵ R| x = 7π/6 +3 2kπ ou x = 11π/6 + kπ, k ϵ Z }
	
	
	V = {x ϵ R| x = 7π/6 + 2kπ ou x = 11π/6 + kπ, k ϵ Z }
	
	
	V = {x ϵ R| x = 7π/6 + 2kπ ou x = 12π/6 + kπ, k ϵ Z }
	
	
	V = {x ϵ R| x = 7π/6 + 2kπ ou x = π/6 + kπ, k ϵ Z }
	
	
	V = {x ϵ R| x = π/6 + 2kπ ou x = 11π/6 + kπ, k ϵ Z}
	
Explicação:
2 sen x + 1 = 0  ...  sen x  =  -1/2  ... então como sen 30º = 1/2  temos seno (-30º) = -1/2  = seno (360º - 30º ) = sen 330º   = sen 11pi/6...
Então x = 330º ou  11pi/6 no 4º quadrante com seno negativo ...
Com seno negativo x pode estar também  no  3º quadrante : x = 180º + 30º = 210º = 7pi/6   ...
Os arcos côngruos de x  são:   2k pi  + 11pi/6   ou   2k pi + 7pi/6   ... 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Analise e determine a solução da equação sen x = sen (V3/ 2)
	
	
	
	S = { x = (π/ 5) + 2 k πou x = [(2π) dividido por 5] + 2kπ, k pertence Z}
	
	
	S = { x = 2 k π ou x = ( 2kπ/ 3, k pertence Z}
	
	
	S = { x = (pi + 2 k pi ou x = [2pi] + 2kpi, k pertence Z}
	
	
	S = { x = (π/3) + 2 k π ou x = [(2π/3] + 2kπ, k pertence Z}
	
	
	S = { x = π + 2 k π ou x = [π/ 3] + 2kpi, k pertence Z}
	
Explicação:
ENUNCIADO COM ERRO DE DIGITAÇÃO  : O CORRETO É  sen x = V3/ 2   e não  sen (V3/2) 
O gabarito está correto :
senx = V3/2  , então  temos  sen 60º = sen pi/3 =  V3/2   que é   igual  também a   sen (180º - 60º ) = sen 120º = sen (pi - pi/3)  = sen 2pi/3   ​​​​​​..
Então temos x =  pi/3   ou  x = 2pi/3   e todos os seus arcos côngruos. 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Resolvendo a equação cos x= - 1212, obtemos:
	
	
	
	S={xERx=5π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}S={xERx=5π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}
	
	
	S={xERx=4π3+2kπoux=π3+2kπ,kEZ}S={xERx=4π3+2kπoux=π3+2kπ,kEZ}
	
	
	S={xERx=4π3+2kπoux=5π3+2kπ,kEZ}S={xERx=4π3+2kπoux=5π3+2kπ,kEZ}
	
	
	S={xERx=2π3+2kπoux=4π3+2kπ,kEZ}S={xERx=2π3+2kπoux=4π3+2kπ,kEZ}
	
	
	S={xERx=4π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}S={xERx=4π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}
	
Explicação:
cos 60º = + 1/2  no 1º quadrante  , mas como cos x = -1/2 negativo ,  temos  x  no 2º ou 3º quadrantes  ...
x = 180º - 60º  =  pi - pi/3  = 2pi/3   ou   180 º + 60º =  pi + pi/3  = 4pi/3
Então a solução para x são os arcos côngruos de 120º = 2pi/3   ou de 240º = 4pi/3 .
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine a solução da equação cos x = + V2/2 no intervalo 0 ≤ x <2π.
	
	
	
	S = {3π/4, 7π/4 }  
	
	
	S = {π/4, 7π/4 }
	
	
	 S = {π/4, 3π/4 }
	
	
	S = {3π/4, 5π/4 }   
	
	
	 S = {π/4, 5π/4 }  
	
Explicação:
cos 45º =  cos pi/4 = + V2/2   no primeiro quadrante e  também cos 315º (=360º- 45º) = cos 7pi/4 = + V2/2 no 4º quadrante.
Então x =  pi/4   ou  7pi/4 .
	
	Considere o triângulo retângulo de ângulo de 30 e 60,  hipotenusaigual a L e catetos igual a L2L2 e L(√3)2L(3)2.  Indique a opção correta para o sen 60:
		
	
	3232;
	 
	√2222;`.
	
	1313;
	 
	√3232;
	
	√3333.
	Respondido em 30/10/2019 11:54:46
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201803444574)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere o triângulo retângulo isósceles de cateto igual a lado L. Então a tg 45 é igual a:
		
	
	3232;
	
	1212.
	
	√3232;
	
	√2222;
	 
	1
	Respondido em 30/10/2019 11:55:26
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201803687275)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Um poste tem uma altura aproximada de 3√33 , perpendicular ao solo, e é fixado por cabos de aço esticados, com uma ponta presa no seu topo e a outra presa no solo a 3 metros da base do poste. Qual o ângulo que cada cabo faz com o solo ?
		
	
	30 graus
	
	75 graus
	
	15 graus
	 
	60 graus
	
	45 graus
	Respondido em 30/10/2019 11:57:08
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201803986360)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Uma escada de 6,5 metros de comprimento esta apoiada em um muro de 6 metros de altura. Determine a que distância do muro essa escada se encontra apoiada.
		
	
	1 metro do muro
	
	3 metros do muro.
	
	2 metros do muro
	
	5 metros do muro.
	 
	2,5 metros do muro.
	Respondido em 30/10/2019 11:57:52
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201803444165)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	O arco em radianos de medida de 120 graus é:
		
	
	3π3π
	
	π4π4
	
	ππ
	 
	2π32π3
	 
	2π2π
	Respondido em 30/10/2019 11:59:21
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201803430066)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 12 horas e 30 minutos?
 
		
	
	155 graus
	
	145 graus
	
	175 graus
	 
	165 graus
	 
	150 graus
	Respondido em 30/10/2019 12:01:47
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201803451520)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considere senx=35senx=35 e cosy=513cosy=513, sendo que x está no primeiro quadrante e y está no quarto quadrante. Marque a opção correta para cosxcosx e senyseny:
		
	 
	4545 e −1213-1213
	 
	4545 e 12131213
	
	3535 e −1213-1213
	
	−45-45 e −1213-1213
	
	2525 e −1213-1213
	Respondido em 30/10/2019 12:01:51
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201804132573)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Sabe-se que x é um arco do 4º quadrante e que cos x = 0,9. Calcule um valor aproximado para 3 sen x.
		
	 
	1,3
	 
	- 1,3
	
	- 0,44
	
	0,44
	
	- 0,5
	Respondido em 30/10/2019 12:02:02
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201803438039)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Determine o valor do sen 1500.
		
	
	−√32-32
	 
	-1/2
	 
	1/2
	
	0
	
	√3232
	Respondido em 30/10/2019 12:01:52
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201803443979)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	No que diz respeito às relações entre as funções trigonométricas de arcos complementares, é correto afirmar que cos(π2−x)cos(π2-x) é equivalente a:
		
	 
	 senxsenx
	
	 −senx-senx
	 
	 sen(π2−x)sen(π2-x)
	
	 sen(π2+x)sen(π2+x)
	
	 cosxcosx