Trigonometria: Expressões e Afirmações

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22/11/2018 EPS: Alunos
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Considere as afirmações abaixo.
(I) cosx.tgx.cscx=1
(II) tg2x.csc2x=1+tg2x
(III) tg2x.csc2x=1
Assinale a opção correta.
(Nota: csc= cossecante)
Para um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão cotg² x + 1 corresponde a :
Podemos afirmar que cotg² x + 1 é igual a:
1.
Todas as afirmações são falsas.
A afirmação II é verdadeira e as afirmações I e III são falsas.
A afirmação I é verdadeira e as afirmações II e III são falsas.
As afirmações I e II sao verdadeiras e a afirmação III é falsa.
Todas as afirmações são verdadeiras.
 
 
 
Explicação:
(I) cosx.tgx.cscx = cos . (sen/cos) . (1/ sen) = cortando cos e sen = 1 ... VERDADE
(II) tg2x.csc2x = (sen²/cos² ) . (1/sen²) = cortando sen² = 1/cos² = 
 = (sen² + cos²) / cos² = sen²/cos² + cos² /cos² = tg2x +1 ... VERDADE .
(III) tg2x.csc2x , como em (II) não é = 1 ... FALSO .
 
 
Gabarito Coment.
 
 
2.
tg ² x 
sec² x 
cossec² x 
 sen² x 
cos² x
 
 
 
Explicação:
 cotg² x + 1 = (cos²x / sen²x ) + 1 = cos² x / sen² x + sen² x / sen² x = (cos² x + sen² x) / sen² x = 1/ sen² x
 = cossec² x .
 
 
 
3.
sen² x
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Considerando um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão sen2x.secx corresponde a :
Desenvolvendo a expressão cos x . tg x . cossec x encontramos:
Desenvolvendo a expressão sen b . cos (a-b) + cos b . sen (a-b) encontraremos :
cos² x
sec² x
tg² x
cosec² x
 
 
 
Explicação:
cotg² x + 1 = (cos²x / sen²x) + 1 = [(1 - sen²x) / sen²x ] +1 = [ (1/sen²x ) - (sen²x /sen²x) ] +1 = cosec²x -1 + 1 
 = cosec²x ..
 
Gabarito Coment.
 
 
4.
senx
2tgx
2senx
cosx
2cosx
 
 
 
Explicação:
 sen2x = 2 senx cosx , portanto sen2x.secx = 2 senx cosx . (1/cosx) = 2 senx 
 
Gabarito Coment.
 
 
5.
2
1/2
sen x
1 - sen x
1
 
 
 
Explicação:
cos x . tg x . cossec x = cos x . senx / cosx . 1/ senx , cortando cos x e sen x , resulta = 1 .
 
Gabarito Coment.
 
 
6.
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Desenvolvendo a expressão (1 + cotg²x) (1-cos²x) encontranos o valor Real igual a :
Considerando um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão sen 2x.cossec x corresponde a:
tg a
cos b
sen a
sen b
cos a
 
 
 
Explicação:
sen b . cos (a-b) = sen b . ( cos a .cos b + sen a. sen b ) = sen b .cos a .cos b + sen b .sen a. sen b 
cos b .sen (a - b) = cos b . (sen a cos b - sen b .cos a ) = cos b .sen a .cos b - cos b. sen b .cos a 
Observando a soma dessas expressões , duas parcelas se cancelam e resta apenas : 
sen b .sen a. sen b + cos b .sen a cos b = sen a ( sen b . sen b + cos b. cos b) = sen a ( sen²b + cos² b) = sen a .1 =
sen a.
 
Gabarito Coment.
 
 
7.
- 1/2
1
-1
1/2
1/4
 
 
 
Explicação:
1 + cotg²x = 1 + (cos²x / sen²x) = (sen²x + cos²x ) / sen²x = 1/ sen²x ...
1- cos²x = sen²x ...
Então: (1 + cotg²x) . (1-cos²x) = (1/ sen²x) . sen²x = 1 .
 
 
Gabarito Coment.
 
 
8.
 cosx 
senx 
2tgx
2cosx 
2senx