analise_circuitos_quadripolos_2014

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21-07-2014
1
Teoria de Quadripolos
Quadripolo é um circuito eléctrico com dois terminais de entrada e dois
terminais de saída. Neste dispositivo são determinadas as correntes e
tensões nos terminais de entrada e saída e não no interior do mesmo.
Analise_Circuitos_2014 1
CZ1E 1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 2
Classificação dos quadripolos
Lineares – quando contém apenas elementos lineares.
Não Lineares – quando contém pelo menos um elemento não linear
Activo – quando contém fontes de tensão ou de corrente ou ambas.
Passivo – quando não contém nenhuma fonte.
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014
3
A
Quadripolo activo
P
Os quadrípolos podem ser simétricos e não simétricos. Um quadrípolo
designa-se simétrico se aos trocarmos o posicionamento da fonte e da
carga, as respectivas tensões e correntes não mudarem
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 4
CZ1E 1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
CZ1E 1U  2U 
1I  2I 
m
n
p
q
Para o quadrípolo simétrico:
2222
1111
;
;
UUII
UUII


21-07-2014
2
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 5
Descrição Matemática dos quadripolos
Para um quadrípolo pode-se determinar o número de
combinações possíveis aplicando a relação:
6
)24(!2
!42
4 
C





2221212
2121111
UYUYI
UYUYI1. Modelo Y
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 6
2. Modelo Z





2221212
2121111
IZIZU
IZIZU
3. Modelo A





2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
4. Modelo H





2221212
2121111
UHIHI
UHIHU
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 7
5. Modelo G





2221212
2121111
IGUGU
IGUGI
6. Modelo B





1221212
1121112
IBUBI
IBUBU
Nas equações (modelos) apresentadas Y, Z, A, H, G e B são
parâmetros gerais do quadrípolo e dependem:
a) Do modo como os elementos estão ligados no interior do
quadrípolo;
b) Dos valores das impedâncias e da frequência
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 8
Para qualquer quadrípolo estes coeficientes podem ser calculados ou
determinardos experimentalmente.
Pressupõ-se que tanto a carga como as tensões de entrada podem
variar, enquanto que as configurações das ligações internas e as
impedâncias permanecem inalteradas.
No estudo que faremos vamo-nos basear no modelo de parâmetros A
Na obtenção do modelo A, foi suposto que
qpCnm UZIUUUE  2211 ;
Pelo teorema da compensação, a impedância de carga pode ser
substituída por uma fem com sentido contrário ao da corrente na carga
e numericamente igual a tensão na carga.
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3
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 9
1E 1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
CZIE 22 
Escrevamos as expressões das correntes em função das fem e das
admitâncias.





)2(
)1(
2221212
2121111
EYEYI
EYEYI
Obtenção dos parâmetros do modelo A
Nestas equações Y11 e Y22 são admitâncias
próprias e Y12 e Y21 são admitâncias de
transferências e Y12=Y21.
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 10
De (2) pode-se escrever: )3(1 2
12
2
12
22
1 IY
E
Y
YE 
Substituindo (3) em (1): )4(2
12
11
2
12
2
122211
1 IY
YE
Y
YYYI 
12
11
22
12
2
122211
21
12
12
12
22
11 ;;
1;
Y
YA
Y
YYYA
Y
A
Y
YA 
Subistituindo as fem pelas respectivas tensões, os paramentros
A resultantes são:
Analise_Circuitos_2014 11
Teoria de Quadripolos
Consideremos o caso em que trocarmos o posicionamento da fonte e da
carga





)6(
)5(
1222211
1122112
EYEYI
EYEYI
CZ1E 1U  2U 
1I  2I 
m
n
p
q
De (5) pode-se escrever: )7(1 2
12
2
12
11
1 IY
E
Y
YE 
Analise_Circuitos_2014 12
Teoria de Quadripolos
Substituindo (7) em (6): )8(2
12
22
2
12
2
122211
1 IY
YE
Y
YYYI 
Substituindo as fem pelas respectivas tensões, o modelo de
parâmentros A resultantes, neste é:





2112211
2122221
IAUAI
IAUAU
Os parâmentros lineares A são relacionados por: 121122211  AAAA
No caso de um quadrípolo simétrico: 2211 AA 
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4
Analise_Circuitos_2014 13
Teoria de Quadripolos
Determinação dos coeficientes de quadripolos
Os coeficientes complexos do modelo A pdem ser determinados :
1. Analiticamente conhecendo a configuração do esquema das ligações
internas e parâmetros dos elementos;
2. Analiticamente usando os regimes de marcha em vazio e curto-
circuito;
3. Experimentalmente usando os regimes de marcha em vazio e curto-
circuito;
4. Analiticamente usando as configurações equivalentes em T ou em Π;
5. Analiticamente representando um quadrípolo complexo por meio de
quadrípolos simples, com ligações em série, em cascata ou em
paralelo.
Analise_Circuitos_2014 14
Teoria de Quadripolos
21
11
10
10
10
202110
201110
A
A
I
UZ
UAI
UAU







1. O método analítico no caso em que se conhecem a configuração do
esquema das ligações internas e os parâmetros dos elementos será
analisado na aula prática.
2. Método da marcha em vazio e curto-circuito
1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
a) Terminais p e q em vazio, isto é, I2= 0
Analise_Circuitos_2014 15
Teoria de Quadripolos
b) Terminais p e q em curto-circuito, isto é, U2= 0
22
12
1
1
1
2221
2121
A
A
I
UZ
IAI
IAU
cc
cc
cc
cccc
cccc 






c) Terminais m e n em curto-circuito, isto é, U2= 0
2U 1U
2I 1I
m
n
p
q





2112211
2122221
IAUAI
IAUAU
11
12
1
1
2
2111
2121
A
A
I
UZ
IAI
IAU
cc
cc
cc
cccc
cccc 






Analise_Circuitos_2014 16
Teoria de Quadripolos














121122211
11
12
2
22
12
1
21
11
10
AAAA
A
AZ
A
AZ
A
AZ
cc
cc
Pode-se formar o sistema de quatro
equações com quatro incógnitas:
De onde podem ser obtidos os valores
dos parâmetros:
cc
cc
cccc
cc
Z
AA
Z
AAZAA
ZZZ
ZZA
1
12
22
10
11
2121112
1102
110
11 ;;;)(



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5
Analise_Circuitos_2014 17
Teoria de Quadripolos
3. Método experimental da marcha em vazio e curto-circuito
Neste método, os valores anteriormente calculados analiticamente são
obtidos experimentalmente, recorrendo-se ao esquema apresentado no
qual são medidos três valores: tensão, corrente e potência.
O mesmo esquema é utilizado no caso de curto-circuito dos terminais p
e q e m e n.
Analise_Circuitos_2014 18
Teoria de Quadripolos
No caso do esquema apresentado, por exemplo, são medidos os valores:
101010 ,, PIU
101010
1010
10
10
10
10
10 arccos;   ZZIU
P
I
UZ 
Com base nestes valores são obtidos :
O mesmo procedimento é feito nos casos de curto-circuito dos terminais p
e q e curto-circuito dos terminais m e n.
Analise_Circuitos_2014 19
Teoria de Quadripolos
Impedância característica de um quadrípolo
Num quadrípolo, o quociente da tensão de entrada pela
corrente de entrada designa-se impedância de entrada en
Z
CZ1U 2U
1I 2I
m
n
p
q 222221
212211
1 IAUA
IAUAZen 


Como:
2222 ZIZIU C 
22221
12211
1 AZA
AZAZen 


Analise_Circuitos_2014 20
Teoria de Quadripolos
1Z 2U 2U
2I 1I
m
n
p
q





2112211
2122221
IAUAI
IAUAU
)(;)(
;
1221
122
11121
12122
1
1
2
ZfZZfZ
ZIU
AZA
AZA
I
UZ
enen
en





21-07-2014
6
Analise_Circuitos_2014 21Teoria de Quadripolos
Estabelece-se que para um
quadrípolo não simétrico
existem tais valores
caractcaract ZZZZ 1122 , 
caracten ZZ 11  Quando nos terminais pq está ligada a impedância
de carga
caractac ZZZ 22arg 
Quando nos terminais mn está ligada a impedância
de carga
caracten ZZ 22 
caractac ZZZ 11arg 
Teoria de Quadripolos
Analise_Circuitos_2014 22
As impedâncias caractcaract ZZ 21 , São designadas impedâncias
características.
22221
12211
11 AZA
AZA
ZZ
caract
caract
encaract 


11121
12122
22 AZA
AZA
ZZ
caract
caract
encaract 


2221
1211
1 AA
AAZ caract 
1121
1222
2 AA
AAZ caract 
Para um quadrípolo simétrico:
21
12
21 A
AZZ caractcaract 
Analise_Circuitos_2014 23
Teoria de Quadripolos
4. Método Analítico usando as configurações equivalentes 
em T ou em Π
3Z


1U 2U
1I
3I
2I
2Z1Z
321
2222211
2122111 ; III
IAUAI
IAUAU






3
2
22
3
21
2
3
2
2
3
1
3
222
333222
1
1
;)1(1
0
Z
ZA
Z
A
I
Z
ZU
Z
I
Z
UZIIZIUZI





Analise_Circuitos_2014 24
Teoria de Quadripolos
21
3
21
22
2
21
11
1
3
21
2112
3
1
11
2
3
21
212
3
1
222111
1;1;1
;1
)()1(
A
Z
A
AZ
A
AZ
Z
ZZZZA
Z
ZA
I
Z
ZZZZU
Z
ZUZIZIU







21-07-2014
7
Analise_Circuitos_2014 25
1Z


1U 2U
1I 2I


2Z 3Z
1

I
Teoria de Quadripolos
112
3
1
11
212
3
1
212
3
2
1
2
3
2
12111
;1
)1()(
;
ZA
Z
ZA
IZU
Z
ZUZI
Z
UU
I
Z
UIUZIU



2
1
22
32
321
212
2
1
2
32
321
1
2
3
2
212
3
1
2
1
2
1
1
1;;)1(
])1[(1
Z
ZA
ZZ
ZZZAI
Z
ZU
ZZ
ZZZI
I
Z
UIZU
Z
Z
Z
I
Z
UI






Analise_Circuitos_2014 26
Teoria de Quadripolos
5. Acoplamento de quadrípolos
a) Cascata
aI1 aI2 bI1 bI2aU1 aU 2 bU2b
U1
1U 2U1I 2I
Analise_Circuitos_2014 27
Teoria de Quadripolos




































a
a
b
b
b
b
a
a
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1 ;;








































































2
2
2221
1211
2
2
2221
1211
2221
1211
1
1
2
2
2221
1211
1
1
2
2
2221
1211
1
1 ;
I
U
AA
AA
I
U
AA
AA
AA
AA
I
U
I
U
AA
AA
I
U
I
U
AA
AA
I
U
ba
bbbaaa
Analise_Circuitos_2014 28
Teoria de Quadripolos
b) Série
aI1 aI2aU1 aU 2
bI1 bI2 bU2bU1
1U
1I 2I
2U
1U 2U1I 2I
21-07-2014
8
Analise_Circuitos_2014
29
Teoria de Quadripolos














































































































2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1
;;
;
I
I
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
U
U
U
U
U
U
U
U
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
ZZ
ZZ
U
U
I
I
ZZ
ZZ
U
U
ba
baaba
bbbaaa
No caso do acoplamento em série o modelo prárico para se utilizar é o Z:
Analise_Circuitos_2014 30
Teoria de Quadripolos
c) Paralelo
aU1 aI1 a
U 2
aI2
bI1bU1 bU2bI2
1U 1I
2U
2I 1U 2U1I 2I
Analise_Circuitos_2014 31
Teoria de Quadripolos


































































































2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1 ;
U
U
YY
YY
YY
YY
I
I
I
I
I
I
U
U
U
U
U
U
U
U
YY
YY
I
I
U
U
YY
YY
I
I
baba
ba
bbbaaa
No caso do acoplamento em paralelo a obtenção do quadrípolo resultante
torna-se efectivo com o modelo Y:
Analise_Circuitos_2014 32
Teoria de Quadripolos
Transformacao do modelo A em outros e vice-versa
a) A em Z e vice-versa






























2
21
22
1
21
2
2
21
1
21
11
1
2
21
22
1
21
2
2
21
22112112
1
21
11
1
2
21
22
1
21
2
212
21
2211
1
21
11
1
2222211
2122111
1
1
1
1
)(
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21-07-2014
9
Analise_Circuitos_2014
33
Teoria de Quadripolos
21
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21
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Analise_Circuitos_2014 34
Teoria de Quadripolos
b) A em Y e vice-versa
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Analise_Circuitos_2014 35
Teoria de Quadripolos
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Analise_Circuitos_2014 36
Teoria de Quadripolos
Concordância de um quadrípolo instalado entre uma 
fonte de CA e a carga para obtenção de potência 
máxima na carga
CZ1E
m
n
p
q
1entZ 2entZ
intZ



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

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1
cent
iten
ZZ
ZZ