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Transferência de massa
Livro Texto: Fundamentos de Transferência de Massa
Marco Aurélio Cremasco - São Paulo: Blucher, 2015. 3ª Edição
Bibliografia:
1. Bird, R.B., Stewart, W.E., Lightfoot, E.N., “Transport Phenomena, John Wiley
& Sons, 2007.
2. Hines, A. e Maddox, R., “Mass Transfer, Fundamentals and Applications” ,
Prentice-Hall, 1985
3. Welty, J.R., Wick,C.E. e Wilson, R.E., “Fundamentals of Momentum, Heat
and Mass Transfer”, John Wiley & Sons, 1984
Transferência de massa
Ementa:
1. Coeficientes e Mecanismos de Difusão
2. Fluxos, concentrações e velocidades
3. Equações da Continuidade em Transferência de Massa
4. Difusão em Regime Permanente sem Reação Química
5. Difusão em Regime Transiente
6. Difusão com Reação Química
7. Introdução a Convecção Mássica
8. Convecção Mássica
9. Transferência de Massa entre Fases (correspondente ao cap. 11
do Cremasco)
Introdução
 Exemplo 1: Concentração e distribuição dos alunos em sala de aula
Professor pede que todos os alunos se acomodem em um canto na sala de 
aula (deixando o restante da sala vazia) em um dia quente. 
Qual será a tendência dos alunos?
Buscar cadeiras vazias e mais espaço
Introdução
Introdução
• Disciplinas do Curso de Eng. Química que envolvem
fenômenos de T.M.:
1. Operações Unitárias I e II
2. Engenharia das Reações Químicas I e II
Introdução
Aplicações da T.M. na Engenharia 
• Áreas em que T.M. é importante:
1. Processamento de Urânio  extração de sal de urânio em solução por
um solvente orgânico
2. Destilação para separar álcool e água
3. Remoção de H2S em uma corrente de hidrocarbonetos derivados de
petróleo (absorção com etanolamina)
4. Processos Bioquímicos  nutrientes e oxigênio dissolvidos em solução
difundem para os microorganismos
5. Difusão dos reagentes das vizinhanças para a superfície do catalisador
em uma reação catalítica
Outras aplicações
T.M. no corpo humano  difusão do O2 dos pulmões para o sangue
(conc. O2 no ar > conc. O2 no sangue) e difusão do CO2 do sangue para
os pulmões
Difusão em gases
z
x
y
Plano B
Plano O
Plano A
Fluxo
Fluxo líquido da população molecular (espécie A)
z

Difusão em gases 
teoria cinética dos gases
y
x
z
B
A
Hipótese iv
Difusão em gases 
Cálculo da velocidade relativa (vr) 
Sobrepondo os dois planos
Φ
Difusão em gases 
Diâmetro de choque (d*)
A
B


d*
Supor moléculas A e B
Difusão em gases 
Frequência de Colisões
A colisão entre duas moléculas irá ocorrer, quando 
o centro das moléculas se aproximarem de uma distância r

r



D = 2r
Difusão em gases 
Frequência de colisões
Volume descrito pelo percurso de duas moléculas
D 
l
D D = 2rA
A
Difusão em gases 
Frequência de colisões
A D = 2rA
l
Volume descrito pelo percurso da molécula A – cilindro fictício
Difusão em gases 
Frequência de colisões
Uma molécula tem diâmetro d e a outra é um ponto material 
A D = 2rA
l












Difusão em gases 
Dependência do coeficiente de difusão com as propriedades 
do gás e diâmetro da molécula 
T ↑ DAA ↑: quanto mais agitado for o meio, maior será a mobilidade
do soluto
d ↑ DAA ↓: é mais fácil atravessar uma floresta contendo 100 árvores 
com d= 10 cm do que atravessar a mesma floresta contendo
árvores com d= 100 cm
P ↑ DAA ↓: quanto mais próximas estiverem as árvores, maior será a 
dificuldade em atravessar a floresta.
Difusão em gases 
Equação de Chapman-Enskog – reavaliação do diâmetro de colisão
atração
repulsão
A
B
Molécula B indo de encontro a molécula A  cargas elétricas das moléculas 
acarretam forças atrativas e repulsivas entre o par soluto/solvente
σAB
Difusão em gases
Substância M
Parâmetros de Lennard Jones
 (Å) /k (K)
H2 2 2,915 38
He 4 2,576 10,2
Obs: [k] = J/K; [ε] = J  [ε/k] = K
Difusão em gases
kT/εAB ΏD
0,30 2,662
0,35 2,476
0,40 2,318
Difusão em gases
Tipos de átomos na molécula
carbono
cloro (R-Cl)
hidrogênio
Compostos cíclicos
anéis de 4 membros
Incrementos de volume (cm3/mol)
14,8
21,6
3,7
-8,5
Difusão em gases
Exercício 1.1:
Estime o coeficiente de difusão para o sistema hidrogênio – metano a 1 atm,
nas seguintes condições:
(a) a 273 K, usando a equação de Chapman-Enskog e a Tabela de Hinnes e
Maddox
(b) Compare os resultados obtidos em (a) com os valores experimentais
(c) a 358 K, usando as integrais de colisão.
(d) Resolva os itens (a), (b) e (c) com a equação de Fuller
Difusão em gases
Difusão em sólidos porosos
Grão de 
sólido
Agregado de 
partículas
Espaços vazios - poros
Difusão em sólidos porosos
Difusão em sólidos porosos
(a) Difusão Ordinária
dporo > 
Difusão em sólidos porosos
(b) Difusão de Knudsen
dporo  
Difusão em sólidos porosos
Difusão em sólidos porosos
Difusão em sólidos porosos
Sólido gases T (K) rp (Å)  
Pellets de Al2O3 N2, He e CO2 303 96 0,812 0,85
Sílica gel C2H6 323-473 11 0,486 3,35
Sílica alumina He,Ne, Ar, N2 273-323 16 0,40 0,725
Valores típicos para difusão de gases em alguns sólidos porosos
Velocidades
Em um rio há várias espécies de peixes (lambari, traíra, etc.)
•velocidade média do lambari = velocidade do cardume de lambaris = vi
•velocidade do rio = velocidade média mássica ou velocidade média molar
•velocidade do cardume i em relação à velocidade do rio = velocidade
de difusão da espécie i
Fluxos
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o
o o o o
o o o o
x x
x x
Referencial estático
Diversos cardumes passando por debaixo de uma ponte (situada
perpendicularmente ao escoamento do rio)
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o
o o o o
o o o o
x x
x x
Pergunta: Qual é a velocidade associada ao fluxo?
Nesse caso, existem 3 velocidades:
(a) velocidade do rio = v ou v*
(b) velocidade de difusão = velocidade do cardume – velocidade do rio
(vi – v) ou (vi – v
*) 
(c) velocidade absoluta do cardume = velocidade do cardume – velocidade da ponte
(vi – 0 = vi)
~ ~
~ ~ ~ ~
~ ~
Para cada velocidade surge um determinado fluxo
Caso (a): o rio arrasta o cardume
Caso (b): o cardume i difunde no rio
Caso (c): fluxo total do cardume i referenciado a um eixo estacionário, que é 
dado por:
Nesse caso, existem 3 velocidades:
(a) velocidade do rio = v ou v*
(b) velocidade de difusão = velocidade do cardume – velocidade do rio
(vi – v) ou (vi – v
*) 
(c) velocidade absoluta do cardume = velocidade do cardume – velocidade da ponte
(vi – 0 = vi)
~ ~
~ ~ ~ ~
~ ~
Movimento do
cardume i 
observado 
da ponte
=
Movimento 
do cardume i 
provocado
pelo ato de 
nadar
+
Movimento 
do cardume i 
resultante
do escoamento
do rio
Caso (c) Caso (b) Caso (a)
Fluxos, concentrações e velocidade
Exercício 2.1: Na figura abaixo, metano e hidrogênio se difundem através de
uma membrana porosa de 4,0 mm de espessura a 0°C e 1 atm. A pressão
parcial de metano em cada lado da membrana é mantida a 2,66 x 104 N/m2
e 1,33 x 104 N/m2, respectivamente. Calcule o fluxo molar total de metano em
H2, sabendo que a difusividade é de 1,0 x 10
-5 m2/s. Considere contradifusão
equimolar.
z1 z2
PA2 = 1,33 x 10
4 N/m2PA1 = 2,66 x 10
4 N/m2
Fluxos, concentrações e velocidade
Exercício 2.2: Uma mistura a 1 atm e 50°C, contendo 60 % em massa de
metanol e 40 % em massa de etanol, escoa com velocidade média mássica
de 1m/s. Admitindo que a velocidade média de difusão de metanol é igual
a -0,5 m/s, determine:
(a) O fluxo mássico difusivo (em relação à velocidade média mássica)
de metanol
(a) A contribuição convectiva molar do metanol
Dados:
Espécies M (g/mol)
Metanol (M) 32,04
Etanol (E) 46,065
Equação da Continuidade
Permitem a análise pontual do fenômeno de T.M.  conhecimento da 
distribuição de concentração de um determinado soluto no tempo e no
espaço
Eq. Continuidade Simplificações Condições de contorno
apropriadas
+ +
Contato com diversas situações físicas 
dentro de fenômenos de T.M.
x
y
z
nA|z +z
x
z
y
nA|x
nA|x +x nA|z
nA|y
nA|y +y
Equação da Continuidade
Elemento de volume xyz
Capítulos seguintes: compreensão física de um determinado fenômeno de T.M.
e soluções de equações similares às apresentadas anteriormente
• Existem basicamente dois tipos de equação: 
(1) equação da continuidade e
(2) equação do fluxo global
• Questões importantes para resolver os problemas de T.M.
(1) Regime de transporte é permanente ou transiente?
(2) Identificar o meio onde ocorre o transporte e a sua geometria 
(coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas?)
(3) O meio é reacional?
(4) O fluxo é multidirecional ou unidimensional?
(5) O termo difusivo presente no fluxo é importante?
(6) O termo convectivo presente no fluxo é importante?
(7) Existe alguma informação sobre a relação entre o fluxo de A e de B?
(8) O fluxo de B é nulo?
(9) Estabelecer as condições de contorno e inicial adequadas
Considerações Finais
Difusão em filme estagnado
Exemplo: evaporação através de um filme gasoso estagnado
 T e P = constantes
 regime permanente
 nível z1 = constante
capilar
A
z
z = z2  yA = yA2
Líq. A
Gás A+B
z = z1  yA = yA1
Gás inerte (B)
 B é insolúvel em A
 yA = fração molar de A 
 Líquido A evapora ao longo da coluna (na direção z) até chegar ao topo, onde um gás inerte
escoa  fenômeno difusivo ocorre na fase gasosa
 Vapor B é estacionário
 yA1 = fração molar de A na interface líquido-gás = constante  corresponde ao equilíbrio
líquido-vapor
 yA2 = fração molar de A no topo da coluna = constante  gás B arrasta lentamente o gás A 
de forma a manter yA2 constante
 Não há reação química
Difusão em filme estagnado
Exemplo: evaporação através de um filme gasoso estagnado
A
z
z = z2  yA2
Líq. A
A+B 
z = z1  yA1
capilar
Gás inerte (B)
yA1
yA2
z1 z2
Perfil de conc. de A (em termos de fração
molar) ao longo de z
Difusão pseudo-estacionária em um filme gasoso estagnado
 T e P = constantes
 nível z1 = varia com o tempo
Capilar semi-preenchido por um líquido volátil
 Filme gasoso estagnado
 yA = fração molar de A 
 Nível do líq. A varia com o tempo e delimita a região de transferência (fronteira) 
 Na fronteira: yA1 corresponde ao equilíbrio líquido-vapor e yA1 e yA2 não variam com o 
tempo
 Difusão ocorre em regime permanente com variação lenta da superfície de contorno (modelo
pseudo-estacionário): composições na fronteira permanecem constantes com o tempo
A
z
z = z2  yA = yA2
Líq. A
z = z1 em t = t0  yA = yA1
z = z1 em t = t yA= yA1
Gás
Estag.
Experimento usado para a determinação da difusividade
Difusão pseudo-estacionária em um filme gasoso estagnado
A
z = z2 
Líq. A
z = z1(t0) 
z = z1(t)
Gás
Estag.
zt0 zt
Experimento usado para a determinação da difusividade
Difusão em filme estagnado
H2SO4
ar 
z = z2  yA = yA2 = 0,0 (absorção instantânea)
z
A = CO2
B = ar
Exercício 4.1: Obtenha a distribuição da fração de CO2 que difunde em uma
película estagnada de ar de 1 cm de profundidade a 1 atm e 25°C.
Esta película está em um capilar que contém ácido sulfúrico. O CO2 é
absorvido instantaneamente ao atingir o líquido e sua concentração na boca
do capilar é 1% (em mol). Calcule, também, a concentração média (CA) e o fluxo
global de CO2 adsorvido na interface gás/líquido. Considere que yA = 1-(yB)ln
Dados: DCO2,ar = 0,159 cm
2/s a 1 atm e 25°C
CO2
z = z1  yA = yA1 = 0,01
z
Difusão em filme estagnado
A = etanol e B = ar
Exercício 4.2: Um capilar de 30 cm de altura contém 2 cm de etanol. Calcule o tempo
necessário para que o nível de etanol decresça em 0,02 cm, considerando que o capilar
esteja preenchido por ar seco e estagnado a 1 atm e 25°C. Suponha que o vapor de
etanol é totalmente arrastado no topo do capilar.
Dados (a 1 atm e 25°C): etanol= 0,787 g/cm
3; (pvapor)etanol = 58,62 mmHg;
Metanol = 46,069 g/mol; Detanol,ar = 0,132 cm
2/s
A
z
z = z2 = 0 yA = yA2 = 0,0 (vapor de A totalmente arrastado)
Líq. A
z = z1 em t = t0  yA = yA1
z = z1 em t = t yA= yA1
B
30 cm
2 cm
zt0 zt
Experimento da esfera isolada
suporte
meio estagnado
cilindro com 
extremidades abertas
manta térmica
sólido
D
d
D = diâmetro do cilindro
d = diâmetro da esfera
D >> d
 Sólido esférico puro A sublimando em um ambiente espaçoso, estagnado e inerte (podemos
imaginar, também, uma gota líquida evaporando)
 Supor que não há variação significativa do raio da esfera, mas que se consiga medir a 
variação de massa em um intervalo de tempo considerável  regime permanente
Experimento da esfera isolada
Experimento da esfera isolada
R0
R∞
 Elemento de volume: localizado em uma região externa à
partícula 
 Região difusiva: entre a superfície da esfera e um ponto
qualquer no filme gasoso a uma distância suficientemente
longa do sólido (concentração varia de R0 a R∞)
Experimento da esfera isolada
Estado pseudo-estacionário: R0 diminui com o tempo
(R0)t0
R∞
t = 0
R∞
t = t
(R0)t
Regime permanente
CA
z
t
(CA)média = CA = cte
Difusão em regime transiente
CA
t
CA = CA (t)
zz*
CA(t1)
CA(t2)
CA0
t
CA
Difusão em regime transiente
CA
CAS
z
x Y
A = umidade
NA
Pedaço de madeira submetido à secagem com uma corrente de ar 
Nesse processo, temos dois tipos de resistência:
Resistência externa: está associada à interface sólido/ meio externo, onde pode haver
a influência das características do meio externo (convecção mássica)
Resistência externa =1/Kc (Kc =coeficiente de T.M. convectivo  vamos estudar nos
capítulos 7 e 8)
Resistência interna: está associado à difusão do soluto no interior da matriz
Resistência interna = 1/DAB
Difusão em regime transiente
Relação entre as Resistências = Número de Biot Mássico (BiM)
BiM = kc L/(Def K), onde
L : dimensão do corpo geométrico
K : constante de equilíbrio (ex.: constante de Henry)
Conforme os valores de BiM , pode-se desprezar o efeito de uma das fases:
• Caso 1
BiM  0: Apenas a resistência externa é importante (T.M. é controlada
pelo processo situado externamente ao meio)
Ocorre em sólidos compactos: Umidade se concentra na superfície do 
material
• Caso 2
BiM  (BiM > 50): Apenas a resistência interna é importante (resistência 
externa é desprezível  tempo para atingir a concentração de equilíbrio
na superfície do sólido é desprezível)
Ocorre em sólidos porosos, quando a remoção da umidade interna é 
muito lenta)
Neste curso, estudaremos apenas o caso 2: Difusão com resistência externa desprezível 
Difusão em regime transiente – difusão em 
uma placa plana infinita
x
y
z
w
L
z
2a
L >> a
w >> a
Difusão em regime transiente
extração de óleo vegetal
NAz
Semente é descascada, fatiada em lâminas e inserida em um vaso 
contendo um solvente para a remoção do óleo vegetal (A)
Difusão em regime transiente
Considerando a semente com formatoesférico  difusão do óleo ocorre 
do centro da esfera até a superfície
=
r = R
Difusão em regime transiente
Considerando a semente com formato cilíndrico com L >>> s (cilindro infinito)
 difusão do óleo ocorre somente na direção radial
=
Difusão em regime transiente
Difusão em regime transiente
Difusão em regime transiente
Difusão em regime transiente
Difusão em um meio semi-infinito
Meio semi-infinito: aquele que se estende até o infinito em todas as 
direções, exceto em uma (pode-se identificar uma única superfície)
CA = CAa
CA = CA0
Difusão em regime transiente
Difusão em um meio semi-infinito
Sólido (ou meio) semi-infinito: aquele que se estende até o infinito em todas as 
direções, exceto em uma (pode-se identificar uma única superfície)
CA = CAa
CA = CA0
1(t1)
2(t2)
3(t3)
CA(z,t1)
CA(z,t2)
CA(z,t3)
Difusão em regime transiente
Exercício 5.1: Secaram-se as faces de uma placa de madeira de dimensões
(0,2 x 20 x 40) cm3 a 40°C e 1 atm. A umidade de equilíbrio era 9,0 % em
peso e o coeficiente efetivo de difusão era de 0,5 x 10-5 cm2/s. Qual foi o
tempo necessário para reduzir a umidade média de 16,6 % para 13% em
peso? Faça o exercício considerando:
(a) a série truncada no 1° termo;
(b) a série truncada no 2° termo;
(c) o método gráfico
Curvas para difusão em regime transiente com
resistência externa desprezível

FOM
0,40,0
1,0
placa
cilindro
esfera
0,2
0,5
6. Difusão com reação química
6.1 Considerações
Tipos de reação química:
(a) Reação homogênea: Ocorre em todos os pontos do elemento de 
volume a ser considerado no balanço (em todo o meio onde ocorre o 
transporte de A)  descrição da reação química aparece diretamente 
como o termo da equação da continuidade
(b) Reação heterogênea: Ocorre em uma determinada superfície (ex: na 
superfície de um catalisador)
Etapas envolvidas no processo:
(1) Difusão dos reagentes da superfície até os sítios ativos internos 
do catalisador
(2) Adsorção dos reagentes nos sítios ativos e reação
(3) Dessorção dos produtos
(4) Difusão dos produtos através da matriz porosa do catalisador até
a superfície da partícula
Reação heterogênea em partícula não porosa 
R1
R2
r
reagente
produto
 Transporte do soluto ocorre de um ponto do fluido
até a superfície externa do grão do catalisador
 Balanço é feito em um elemento de volume externo
à partícula
 Reação ocorre na superfície do grão termo da taxa
de reação não entra diretamente na equação da
continuidade  vai aparecer apenas nas condições
de contorno
Reação heterogênea em partícula porosa
reagente
produto
r
 Ocorre difusão intraparticular (no interior dos poros)
 Balanço é feito em um elemento de volume situado no interior da partícula
 Reação química ocorre no interior da partícula (nos sítios ativos do catalisador) 
termo reacional aparecerá na equação da continuidade (sistema pseudo-homogêneo)
Difusão sobre catalisador não poroso coberto por um 
filme gasoso estagnado
R1
R2
r
reagenteproduto
(a) Reação lenta na superfície de um grão esférico (reação é a etapa controladora)
Considerações:
(i) Regime permanente
(ii) Gás é consumido de maneira irreversível
na superfície do catalisador de acordo com 
a reação: 
1KaA B
K1 = cte de velocidade
de reação
(iii) Fluxo na superfície é dado por (admitindo 
reação química de 1ª ordem na superfície 
do catalisador):
NA = K1CA = K1CyA
Difusão com reação química heterogênea na superfície de uma 
partícula não-catalítica e não-porosa
aA + sS  bB
R
r
r
meio I
R R∞
yA0
yA∞
NAr
A: soluto; S: sólido; B: produto
 Superfície sólida é reagente e está sendo consumida
 Soluto A difunde através da camada gasosa inerte
e reage quando entra em contato com a superfície
do sólido
 Produto B contradifunde em relação ao fluxo de reagente
 Regime pseudo-estacionário (difusão ocorre em
regime permanente com variação lenta da superfície
de contorno)
Ex: processos de combustão (queima de carvão com O2)
Difusão com reação química heterogênea na superfície de uma 
partícula não-catalítica e não-porosa
aA + sS  bB
R
r
r
meio I
R R∞
yA0
yA∞
NAr
A: soluto; S: sólido; B: produto
R
r
NBr
meio I
R R∞
yA0
yA∞
NAr
Rt0
r
 Regime pseudo-estacionário  difusão ocorre em regime permanente com
variação lenta da superfície de contorno (yA nas fronteiras permanece
constante com o tempo)
Difusão com reação química heterogênea na superfície de uma 
partícula não-catalítica e não-porosa
Exercício 6.2: Uma partícula de grafite, C(s) queima em ar a 1200°C. O
processo é limitado pela difusão do oxigênio em contracorrente com
o CO2 formado instantaneamente na superfície da partícula. Esta é
de carbono puro com massa específica igual a 1,28 g/cm3; esférica
com diâmetro, antes da queima, igual a 3 x 10-2 cm. Nas condições
de combustão, a difusividade do O2 na mistura é igual a 0,134 cm
2/s.
Quanto tempo levará para o diâmetro da esfera se reduzir a 1 x 10-2 cm?
A reação de combustão do grafite é descrita por:
C(s) + O2 (g) + N2 (g)  CO2 (g) + N2 (g)
Dados: Mc = 12 g/mol e P = 1 atm
R
C r
r
O2CO2
Difusão com reação química homogênea
NAz
NAz + z
Gás A
Líquido
B
Z = 0
Z = δ
Suposições:
(1) A se dissolve ao atingir a interface gás-
líquido
(2) A se difunde em B e o processo difusivo é
acompanhado por uma reação química
irreversível de 1ª ordem em relação à A:
A + B  P
(3) B é um líquido reacional estagnado e a
solução é diluída: contribuição
convectiva é desprezível
(4) P não interfere no processo difusivo (P é
altamente solúvel em B)
(5) Em z = δ, ocorre o desaparecimento total
de A (CA = 0)
(6) B está em excesso (CB >>> CA)
(7) Regime permanente
Difusão com reação química homogênea
CA = CA0
CA = 0
Reação química 
muito lenta
Com reação 
química
Distribuição da concentração de soluto com a presença de reação 
química homogênea 
Difusão com reação química homogênea
Exercício 6.3: Um certo gás A é dissolvido em um líquido B contido em uma
proveta. Na medida em que A se difunde, ele sofre reação química irreversível
na forma A +B P até desaparecer completamente depois de penetrar a uma
distância δ da interface gás-líquido. Considerando que:
(i) A cinética da reação é de ordem zero em relação a A
(ii) A reação química é lenta
(iii) A concentração de gás A dissolvido é pequena em relação à do líquido B
(iv) O produto da reação P é altamente solúvel em B (não influencia a difusão
de A)
Determine a expressão para:
(a) A distribuição de conc. molar de A
(b) O fluxo global molar de A na interface gás-líquido
(c) A conc. média molar de A
Transferência de massa bidimensional em colunas de 
parede molhada ou difusão em um filme líquido
em escoamento vertical
w
L
y x
Elemento de volume (wz x)
CA0 = conc. original de A em B
CAP = conc. de A na fase líquida que está em
equilíbrio com a fase gasosa
CA no filme vai variar na direção z e x
z
NAx
NAz
x
z
δ
ζ
Separação de um soluto A de uma corrente gasosa
P
ar
ed
e
Gás A - CAP
ζ
x
y
z
vz,máxCA0
δ
Líquido B
(pode conter um 
pouco de A)
Transferência de massa bidimensional em colunas de 
parede molhada ou difusão em um filme líquido
em escoamento vertical
P
ar
ed
e
Gás A - CAP
ζ
x
y
z
vz,máxCA0
δ
Líquido B
(pode conter um 
pouco de A)
CA0 = conc. original de A em B
CAP = conc. de A na fase líquida que está
em equilíbrio coma fase gasosa
Hipóteses:
(i) Regime permanente
(ii) Fluxo bidimensional
(iii) Não há reação química
(iv) Líquido B escoa em regime laminar e 
pode ser uma solução binária contendo
um pouco de A
(i) Gás pode ser uma mistura binária 
contendo A
(iv) A é pouco solúvel em B (A penetra 
lentamente na fase líquida)  distância
de penetração (ξ) é pequena em 
relação à espessura do filme(ξ <<<δ)
(v) Velocidade da película líquida na
espessura ξ é constante e igual a vz,max
2
,max 1z z
x
v v

  
   
   
2
,max
2
z
g
v
 


Analogia de Escoamento
8. Convecção Mássica
8.1 Análise dimensional da T.M.
 Método para se obter equações para a determinação dos 
coeficientes de T.M. em sistemas laminares e turbulentos 
 Para a determinação experimental dos coeficientes de T.M. é 
comum o uso de números adimensionais (como visto em mecânica
dos fluidos)
8. Convecção Mássica
8.1.1. Convecção Mássica forçada
Considerações:
T.M. convectiva nas paredes de um tubo de seção circular para um fluido
escoando com uma determinada velocidade
 Determinação das variáveis importantes: 
(a) diâmetro do tubo (D)
(b) velocidade do fluido (v)
(c) coeficiente de T.M. (Km)
(d) coeficiente de difusão (DAB)
(e) viscosidade do fluido (μ)
(f) densidade do fluido ()
 Aplicação do Teorema de Buckingham (visto em mecânica dos fluidos)
para a obtenção dos grupos adimensionais (xerox)
A
Gás B
8.1.1 Convecção Mássica Forçada
 Grupos adimensionais importantes da T.M.
(1) N° de Sherwood (Sh): relação entre a T.M. convectiva e difusiva
(2) N° de Schmidt (Sc): relação entre o fenômeno de transferência
de quantidade de movimento (forças viscosas) e o fenômeno
de T.M. a nível molecular (forças difusivas)
Sh = f (Re, Sc)
Correlações empíricas para a determinação de Km (que está 
contido em Sh) podem ser descritas combinando-se estes 
grupos adimensionais
(3)N° de Stanton mássico (StM): relação entre o fenômeno de convecção 
mássica e a contribuição do movimento do meio
(4) N° de Peclet mássico (PeM): relação entre a influência do movimento
do meio e a difusão
8.1.2 Convecção Mássica Natural
Ocorre devido aos efeitos da gravidade e do gradiente de densidade
Ex: Tubo vertical aquecido encoberto por uma camada de naftaleno
 Determinação das variáveis importantes: 
(a) diâmetro do tubo (D)
(b) empuxo gA (resulta da pressão que o fluido exerce em todos os
pontos da superfície do corpo que esteja em contato com ele)
(c) coeficiente de T.M. (Km)
(d) coeficiente de difusão (DAB)
(e) viscosidade do fluido (μ)
(f) densidade do fluido ()
 Aplicação do Teorema de Buckingham (visto em mecânica dos fluidos)
para a obtenção dos grupos adimensionais (xerox)
Grupo adimensional importante da T.M.
N° de Grashof mássico (GrM): relação entre o empuxo e as forças 
viscosas
8. 2 Algumas correlações para os grupos adimensionais
8.2.1 Escoamento em Tubos
Líquido A
A
Gás B
Porção vertical de um tubo circular 
 Gás B inerte escoa para cima
 Líquido volátil A escorre sobre a superfície 
Interna do tubo A
 Líquido A evapora e entra na corrente
gasosa
 x = comprimento do tubo
 Regime turbulento
8.3.2 Analogia de Prandtl
Considerações:
Escoamento dividido em duas regiões:
(a) Região próxima à parede do tubo com escoamento laminar (subcamada 
laminar – T.M. ocorre por mecanismo molecular)
(a) Região turbulenta
8.3.2 Analogia de Prandtl
'
'
1
v 2
1 5 ( 1)
2
mK f
f
Sc
 
 
 
 
  
 
AB
Sc
D


T
T
Sc
D


No regime turbulento 
No analogia de Reynolds 
T TD 
 Sc =1
Para Sc = 1 analogia de Prandtl se reduz a analogia de Reynolds
8.3.2 Analogia de Prandtl
'
'
v
2
1 5 ( 1)
2
m AB
AB
D
K D Df
D f
Sc
 
 
 
 
  
 
Analogia de Prandtl-Taylor: obtida multiplicando-se ambos os lados da 
Analogia de Prandtl por D/DAB
Sh
'
'
Re.Sc
2
1 5 ( 1)
2
f
Sh
f
Sc
 
 
 
 
  
 
v v
Re.
AB AB
D D
Sc x
D D
 
  
8.3.3 Analogia de von karman
Extensão da Analogia de Prandtl: inclui a existência de uma região de
transição (subcamada amortecedora) entre a subcamada laminar e 
a região turbulenta
8
v 5 1
1 5 ln 1
8 6
m
f
K
f Sc
Sc

   
    
  
'
'
2
v 5 1
1 5 ln 1
2 6
m
f
K
f Sc
Sc

   
    
  
ou
Para Sc < 25  bons resultados
Para Sc = 1 analogia de Prandtl se reduz a analogia de Reynolds
Pode ser expressa em termos de Sh e Re:
 
'
'
Re
2
5 1
1 5 ln 1
2 6
f
Sc
Sh
f Sc
Sc

   
    
  
8.3.4 Analogia de Chilton- Colburn
Mais usada  baseada em dados experimentais e válida tanto para regime
laminar quanto para regime turbulento  extensão da analogia de Reynolds
Para Sc ≠ 1
Pelo termo:
'
1 5 ( 1)
2
f
Sc 
Troca do termo da analogia de Prandtl:
2 / 3Sc
 Melhora na correlação dos dados de T.M.
 
'
2 /3
1
v 2
mK f x
Sc
  
'
2 /3
 ou 
2 v
m
D M
kf
x Sc j j 
jD ou jM = fator de Chilton-Colburn para T.M.
8.3.4 Analogia de Chilton- Colburn
 
2/3
 
v
m
D
k ScD
j x Sc x
ScD

Multiplicando-se e dividindo-se a expressão para jD por ScD, temos:
Sc-1/3
1/3
 
v ( )
m
D
k ScD
j x
Sc D
 1/3
 
v ( )
m AB
D
k D D
j x x
Sc D


1/3
1
 
v ( )
m
AB
D
k D
D
j x
D Sc


1/3
1
 
v ( )
m
AB
D
k D
D
j x
D Sc


Sh
Re
'
1/3
1
 
Re ( ) 2
D
Sh f
j x
Sc
 
8.4.1 Teoria do Filme
Primeiro modelo e o mais simples de todos: proposto por Whitman (1923)
CA2
P
ar
ed
e
• Fluido escoa no interior de um cilindro em
regime permanente e escoamento 
turbulento
• O soluto A presente nas paredes do cilindro 
se dissolve no fluido
• Resistência à T.M. está em uma fina película
estagnada de espessura , cujo fluxo é 
governado pela difusão do soluto (etapa 
controladora = difusão do soluto em regime
permanente)
• Supondo-se que a espessura  é muito 
pequena considera-se coordenadas
retangulares
• Usando-se as considerações e expressões 
apresentadas no item 7.3, conclui-se que:
Km  DAB/
• Dados experimentais: Km  DAB
2/3
8.4.1 Teoria do Filme
Primeiro modelo e o mais simples de todos: proposto por Whitman (1923)
CA2
P
ar
ed
e
• Diferença entre a teoria do filme e dados 
experimentais:
(a) Dificuldade para se estimar a espessura do 
filme
(b) Hipótese que a região de T.M. é um filme de 
espessura constante e que o transporte é 
controlado apenas pela difusão vimos 
que existe a influência difusiva e convectiva
e que a espessura não é constante. 
É na verdade a camada limite
8.4.2 Teoria do Penetração
Modelo proposto por Higbie (1935): aplicado, principalmente, para T.M.,
envolvendo interface gás/líquido (absorção) e adequado para o 
escoamento turbulento
CA1
P
ar
ed
e
• Filme líquido é constituído por bolsões de
matéria, que entram em contato com a fase
gasosa por um determinado tempo de
exposição e, depois, migram para dentro do
fluido, sendo substituídos por novos bolsões
• Admite a turbulência da solução líquida
• Considera difusão em estado transiente
Km  DAB
1/2
Dedução (vide material da xerox)
Gás A
CA0
Líquido B
x
8.4.3 Teoria do Renovação da Superfície
Modelo proposto por Danckwerts (1951): aprimoramento da teoria de 
penetração
CA1
P
ared
e
• Tempo de exposição foi substituído por um
tempo médio de exposição (determinado a
partir de uma distribuição de tempo de
residência, durante o qual uma porção do
fluido é exposta na superfície)
Km  (DAB/)
1/2, onde 
 = tempo de residência médio
Dedução (vide material da xerox)
Gás A
CA0
Líquido B
x
Cloro está sendo absorvido de um gás através de uma pequena torre experimental de 
parede molhada, conforme mostrado na figura abaixo. O fluido absorvente é a água 
(pura) que escoa com uma velocidade média de 17,7 cm/s. Qual é a taxa de 
absorção em mol/h, se a difusividade do cloro em água é de 1,26 x 10-5 cm2/s na fase 
líquida e se a concentração de saturação do cloro na água é de 0,823 g Cl2/100 g H2O 
(dados experimentais a 16°C). As dimensões da coluna estão dadas na figura abaixo.
Exercício 7.1: Difusão em filme líquido com escoamento descendente
Exercício 8.1: Por um tubo de naftaleno com diâmetro igual a 2,5 cm e 
183 cm de comprimento, escoa ar com uma velocidade média igual a 
1525 cm/s. O ar está a 10°C e a uma pressão média igual a 1 atm. Sendo
desprezível, por hipótese, a variação de pressão ao longo do tubo e 
supondo que a superfície de naftaleno esteja a 10°C, determinar o teor de 
naftaleno no ar que sai do tubo. O teor de naftaleno na interface gás-sólido 
é de 1,52 x 10-7g/cm3
Dados a 10°C: ar = 1,25 x 10
-3 g/cm3
μar = 1,786 x 10
-4 g/cm.s
(Pvapor)naftaleno = 0,0209 mmHg
Dnaftaleno,ar = 5,16 x 10
-2 cm2/s
Mnaftaleno = 128,2
Exercício 8.2: No interior de uma tubulação escoa água a 25°C e com 
velocidade de 1m/s. Inseriu-se no centro da tubulação uma esfera feita de 
ácido benzóico de raio igual a 0,5 cm durante uma hora. Sabendo-se que o 
n° de Schmidt é 740 e que a solubilidade do ácido benzóico (A) na água (B)
é 3,0 x 10-3 g/cm3, determine o raio final da esfera 
Dados a 25°C: A = 1,316 g/cm
3
DAB = 1,21 x 10
-5 cm2/s