algebra linear 8

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Álgebra Linear
Aula 8: Transformações lineares
Apresentação
Nesta aula você irá a estudar um tipo especial de função cujo Domínio e o Contradomínio são espaços vetoriais.
Você verá que essa função conhecida como uma Transformação Linear possuirá características muito semelhantes as da
função linear do plano cartesiano, que certamente já foi amplamente estudada por vocês nos curso básicos de
Matemática.
Objetivos
Saber que uma transformação linear é um tipo especial de função que relaciona dois vetoriais;
Aprender a identi�car uma Transformação Linear;
Identi�car o núcleo e a imagem de uma Transformação Linear;
Representar uma Transformação Linear por meio de uma Matriz;
Perceber que a Matriz que representa uma Transformação Linear varia de acordo com as bases ou referenciais
escolhidos para os espaços vetoriais.
Introdução
Uma Função Linear do plano é de�nida pela reta y = ax (a é uma constante), que sabemos ser representada gra�camente por
uma reta passando pela origem dos eixos coordenados.
De forma análoga, uma Transformação Linear será uma função que leva vetores do espaço vetorial U em vetores do espaço
vetorial V que poderá ser descrita na forma:
T(u) = A.u
Sendo que:
u é um vetor do espaço vetorial U
A é uma matriz.
Atenção
Observe a semelhança entre as de�nições de função linear do plano com a transformação linear entre espaços vetoriais. Quais
as diferenças entre as duas? Vejamos a seguir.
Vejamos as diferenças da função linear do plano com a transformação linear entre espaços vetoriais:
O número a se transforma na matriz A.
A variável Real x se transforma no vetor u.
Transformação linear
Transformação Linear
A seguir vamos de�nir formalmente uma Tranformação Linear:
Sejam U e V espaços vetoriais quisquer. Uma transformação linear é uma função de U em V (T: U → V), que satisfaz as seguintes
condições:
1. T (u + u ) = T (u ) + T (u ), quaisquer que sejam u e u em U.
2. T (αu) = α T(u), para todo u em U e todo escalar Real α.
Utilizando a de�nição, vamos comprovar que a transformação T: R → R , do exemplo anterior, é realmente linear:
De fato:
Sejam, u = (x , y ) e u = (x , y ) vetores quaisquer do R e seja α um escalar Real.
Então:
T(u + u ) = T(x , + x , y + y ) = (2(x , + x ), x , + x + y + y , 0)
e
T(u ) + T(u ) = T(x , y ) + T(x , y ) = (2x , x + y , 0) + (2x , x + y , 0).
Somando-se os vetores T(u ) e T(u ) temos exatamente o vetor T (u + u ).
T (αu ) = T(α(x , y ) = T (α x , α y ) = (2 α x ,α x + α y , 0)
e
α T(u ) = α T(x , x ) = α (2x ,x + y , 0) = (2 α x ,α x + α y , 0)
Por exemplo:
A função T (x, y) = (2x, x + y, 0) é uma transformação linear que leva vetores do espaço R no espaço R .
Observe que essa transformação T pode ser descrita como o produto de uma matriz A pelo vetor u conforme mostramos a
seguir:
2 3
T = (x, y) = (2x,  x+ y,  0) = ( )
⎛
⎝
⎜
2
1
0
0
1
0
⎞
⎠
⎟
x
y
1 2 1 2 1 2
2 3
1 1 1 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 1 1 1 1 1 1
Atenção
Uma consequência imediata da de�nição de transformação linear é a seguinte:
"Se T: U → V é uma transformação linear, então T leva o vetor nulo de U no vetor nulo de V , isto é , T(0) = 0".
De outra forma, podemos entender essa mesma a�rmativa da seguinte maneira:
"Se T(0) 0, então a transformação T não é Transformação Linear.
Tente provar esta a�rmativa!
Vamos aplicar essa a�rmativa para mostrar que a transformação T: R → R , dada por T(x, y) = (x + 1, y + 3) não é linea r.
Observe que
T (0,0) = (1,3) ≠ (0,0)
Ou ainda, T não leva vetor nulo no vetor nulo.
2 2
Atividade
Para �xar as ideias, identi�que qual das seguintes transformações T é linear:
a) T: R → R dada por T(x) = x
b) T: R → R dada por T(x, y) = xy.
c) T: M (2,2) � R dada por 
d) T: R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (x + y, 2z)
e) T: R → R dada por T(x) = |x|
2
2
( ) =  det ( )
a
b
c
d
a
b
c
d
Imagem e núcleo de uma transformação linear
Passamos agora a analisar alguns conceitos importantes relacionados a uma Transformação Linear T.
Destacamos em especial, os subespaços vetoriais de�nidos pela Imagem e pelo Núcleo de T.
Atenção
Imagem de uma transformação linear
Seja T:U → V uma transformação linear do espaço vetorial U no espaço vetorial V.
A imagem de T, denotada por Im(T), é o conjuntodetodos os vetores v do espaço vetorial de modo que v = T(u) para algum U
do espaço vetorial U.
Im(T) = { v ∈ V, tais que v = T(u) para algum u ∈ U}.
Observe na ilustração a seguir a caracterização no espaço vetorial V da Imagem do espaço vetorial U pela transformação linear
T.
Seguem alguns exemplos mostrando como encontrar a Im(T)
1. Seja a transformação linear T: R → R dada por T (x, y) = y – x.
Então Im(T) = {números Reais}.
2. Seja a transformação linear T: R → R dada por T (x, y) = (x, 0, y).
Então Im(T) = {vetores do R na forma (x, 0, y)}.
Como você pode observar na ilustração o conjunto Im(T) é um subconjunto do espaço vetorial V.
Mais ainda, o conjunto Im(T) da transformação linear T: U → V é um subespaço do espaço vetorial V.
Núcleo de uma transformação linear
Seja T:U → V uma transformação linear do espaço vetorial U no espaço vetorial V.
De�nimos o núcleo de T denotado por N(T), como sendo o conjunto dos vetores de U que são levados por T no elemnto nulo
de V. Isto é,
N (T) = {u ∈ U tais que T(u)= 0}.
Veja na ilustração a seguir a caracterização no espaço vetorial U do conjunto N(T).
2
2 3
3
Seguem alguns exemplos mostrando como encontramos o conjunto N(T).
Exemplo 1. Considere a transformação linear T(x, y) = y - x. Então,
N (T) = {(x, y) ∈ R tal que y - x = 0}.
Ou ainda,
N (T) = {(x, y) tal que x ∈ R}.
Exemplo 2.Considere a transformação linear T(x,y) = (x,0,y). Então,
N (T) = {(x, y) ∈ R tal que (x,0,y) = (0, 0, 0)}
Ou ainda,
N(T) = {(0, 0)}.
Como você pode observar na ilustração o conjunto N(T) é um subconjunto do espaço vetorial U. Mais ainda, O conjunto N(T) da
transformação linear T: U → V é um subespaço do espaço vetorial U.
2
2
Atividade
Seja a transformação linear T: R → R dada por T (x, y) = (x, 0). Qual a alternativa correta:2 2
a) (0, 2) ∈ N(T)
b) (2, 2) ∈ N(T)
c) (3, 0) ∈ Im(T).
d) (3, 2) ∈ Im(T)
Matriz de uma Transformação Linear
Como veremos a seguir, a toda Transformação Linear T do espaço vetorial U no espaço vetorial V poderemos associar uma
matriz A.
A determinação dessa matriz A dependerá:
da forma da Transformação Linear;
das bases escolhidas para os espaços vetoriais U e V.
Dada a Transformação Linear T: U → V, considere β = {u1, u2,..., un} como uma base para o espaço vetorial
U e β = {v1, v2, ..., vn} como uma base para o espaço vetorial V. Para encontrar a matriz A que representa T
em relação às bases β e β’, basta adotar os passos a seguir:
1. Usando a expressão de T, encontrar os vetores: T(u, ), T(u ),..., T(u ), que são pertencentes a V;
2. Expressar os vetores: T(u, ), T(u ),..., T(u ), como combinações lineares dos vetores da base β’ de V;
3. Mantendo-se a ordem, dispor os escalares obtidos nas combinações lineares do item (2) como as colunas de uma matriz
A.
A matriz A obtida irá representar a Transformação Linear T nas bases β e β’.
A ordem da matriz A será dada por (dim V x dim U)
O exemplo a seguir irá esclarecer melhor a questão:
Seja a transformação linear T: R → R dada por T(x, y) = (x - 2y, 2x + y, x + y)
Considere as bases:
β = {(1, -1), (0, 1) } do espaço R (Domínio) e
β’= {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} do espaço R (Contra-Domínio)
Vamos encontrar a matriz A que representa a transformação linear T nessas bases:
A matriz A será de ordem (3 x 2) uma vez que a dimensão do contra-domínio (R3)é 3 e a dimensão do domínio (R2) é 2.
1 2 n
1 2 n
2 3
2
3
Clique nos botões para ver as informações.
Usando T, calcular T (1, -1) = T (0, 1)
T (1, -1) = (3, 1, 0)
T (0, 1) = (-2, 1, 1)
Passo 1 
Expressar T(1, -1) e T (0, 1) como combinação linear dos vetores de β’
T(1, -1) = (3, 1, 0) = 3. (1, 0, 0) + 1. (0, 1, 0) + 0. (0, 0, 1)
T (0, 1) = (-2, 1, 1) = -2. (1, 0, 0) + 1. (0, 1, 0) + 1. (0, 0, 1)
Passo 2 
Mantendo a ordem, vamos dispor os escalares obtidos como as colunas da matriz da A que irá representar a
transformação linear nas bases β e β’. Então,
Observe que se tomarmos agora β como a base canônica do R e β’ como a base canônica do R a matriz da
transformação A em relação a essas bases será dada por:
Passo 3 
A=
⎡
⎣
⎢
3
1
0
−2
1
1
⎤
⎦
⎥
 3x2
2 3
1
=
A
1
⎡
⎣
⎢
1
2
1
−2
1
1
⎤
⎦
⎥
 
Atividade
1. Escreva a matriz da transformação linear T nas bases canônicas do domínio e contradomínio:
a) T (x, y) = (y, x).
b) T (x, y) = (-y, -x)
c) T (x, y) = (x + y, x - y)
d) T (x, y, z) = (x - y, x + z, y - z)
2. Para os itens (a), (b) e (c) do exercício 1, encontre a matriz de T, tomando como bases β = β’ = {(1, 1), (1, -1)}
a) T (x, y) = (y, x).
b) T (x, y) = (-y, -x).
c) T (x, y) = (x + y, x - y).
Notas
Título modal 1
Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente
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Título modal 1
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Referências
KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro, LTC; c1999.
BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3ª edição – Ed. Harbra – São
Paulo SP - 1989.
Próxima aula
O conceito de Operador Linear;
A determinação dos Autovalores e Autovetores de um Operador Linear;
O método do polinômio característico para a determinação dos autovalores e autovetores de uma matriz.
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