Lista de Exercícios de Álgebra Linear I Retas, Planos e Distâncias

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Universidade do Estado do Amazonas 
Escola Superior de Tecnologia 
Engenharia – Ciclo Básico 
Lista de Exercícios de Álgebra Linear I 
Retas, Planos e Distâncias 
 
Questão 01. Sejam 𝑟: {
𝑥 = −𝛼
𝑦 = 1
𝑧 = 0
 e 𝑠: {
𝑥 = −2𝛽 − 1
𝑦 = −𝛽 + 2
𝑧 = 3𝛽 − 7
 retas reversas onde 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. Obtenha uma 
equação de uma 𝑅 que seja concorrente a 𝑟 e 𝑠, simultaneamente, e que seja paralela ao vetor 
�⃗� = (−1,5,1). 
Questão 02. Considere os planos 𝜋1: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,3) + 𝑎(−1,1, −2) + 𝑏(1, −1,3), 
𝜋2: {
𝑥 = 2 + 2𝑐 + 4𝑑
𝑦 = 1 − 2𝑐 − 4𝑑
𝑧 = 8 + 4𝑐 + 12𝑑
 e 𝜋3: −2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0 em que 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ. Determinar a 
posição relativa entre: (a) 𝜋1 e 𝜋2; (b) 𝜋1 e 𝜋3. 
Questão 03. (a) A reta 𝑟: {
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 3 − 𝑡
, 𝑡 ∈ ℝ, forma um ângulo de 60° com a reta determinada 
pelos pontos 𝐴 = (3,1, −2) e 𝐵 = (4,0, 𝑚). Calcule o valor de 𝑚; 
(b) Determinar o ângulo que a reta 𝑟: {
𝑦 = −2𝑥
𝑧 = 2𝑥 + 1
 forma com o plano 𝜋: 𝑥 − 𝑦 + 5 = 0. 
Questão 04. (a) Verifique se as retas 𝑟: 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 𝑒 𝑠: 𝑥 + 1 =
𝑦
2
=
𝑧
3
 são paralelas ou reversas 
em seguida determine a distância entre elas; 
(b) Encontre a distância entre o ponto 𝑃(−1, 1, 1) e a reta 𝑟 = 𝛼 ∩ 𝛽, onde 
𝛼: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0 𝑒 𝛽: 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 2 = 0. 
Questão 05. (a) Determine a distância do ponto 𝑃(1, 2, −1) ao plano 𝜋: {
𝑥 = 1 + ℎ + 𝑡
𝑦 = 2 + 𝑡
𝑧 = 3 + ℎ − 𝑡
, 
ℎ, 𝑡 ∈ ℝ; 
(b) Seja 𝜋 o plano que contém a reta 𝑟: {
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 1 − 2𝑡
𝑧 =
1
2
+ 𝑡
, 𝑡 ∈ ℝ, e é perpendicular ao plano 
 𝛽: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0. Calcule a distância de 𝜋 à reta 𝑠: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,3) + 𝑡(1,1,1), 𝑡 ∈ ℝ. 
Questão 06. Sejam as retas 𝑟: {
𝑥 = 2𝑢
𝑦 = 1
𝑧 = 4𝑢 + 3
, 𝑢 ∈ ℝ, 𝑠:
𝑦
2
=
𝑧−3
4
, 𝑥 = 1 e 𝑡: {
𝑦 − 𝑥 = 1
4𝑦 − 𝑧 = 1
. 
(a) Determine os elementos do conjunto (𝑟 ∩ 𝑠) ∪ (𝑟 ∩ 𝑡) ∪ (𝑠 ∩ 𝑡); 
(b) Determine a equação geral de um plano Ω que contenha as retas 𝑟, 𝑠 e 𝑡. 
Questão 07. Faça o que se pede: 
(a) Mostre que as retas 𝑟: {
4𝑥 = 𝑢 − 8
𝑦 = −𝑢
2𝑧 = 𝑢 − 3
, 𝑢 ∈ ℝ, e 𝑠: {
𝑥 = −2𝑣 + 8
𝑦 = 8𝑣
𝑧 = −4𝑣 + 3
, 𝑣 ∈ ℝ são paralelas; 
(b) Determine as equações paramétricas de um plano Σ que contenha as retas 𝑟 e 𝑠. 
Questão 08. Seja 𝑟: {
𝑥 − 2𝑧 = 1
𝑦 − 4𝑧 = 0
 a equação de uma reta que é perpendicular a um plano Ω. 
Suponha que o ponto 𝑃0 = (1, −1,0) pertença ao plano Ω. Seja 𝑠 uma reta paralela a Ω, 
concorrente a 𝑟 e que também contém 𝑃0. Determinar um vetor diretor de 𝑠 que seja unitário. 
Questão 09. Responda os seguintes itens: 
(a) Qual é o ponto de interseção entre a reta 𝑟: {
𝑥 = −2 − 2𝑡
𝑦 = 2𝑡
𝑧 = 3 − 4𝑡
, 𝑡 ∈ ℝ, e o plano 
Π: 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 + 7 = 0? 
(b) Encontre o ângulo entre a reta 𝑟 e a reta 𝑠:
𝑥
4
=
𝑦+6
2
=
𝑧−1
2
. 
Encontre o ângulo entre o plano Π e o plano Ω que é perpendicular a 𝑟. 
Questão 10. Considere o vetor �⃗� = (1,2, −1) e o ponto 𝑃0 = (1,1,0) no espaço ℝ
3. Responda 
os seguintes itens: 
(a) Qual é a equação geral do plano Π que é normal ao vetor �⃗� e que contém o ponto 𝑃0? 
(b) Quais são as equações paramétricas da reta 𝑠 que é paralela ao vetor �⃗� e que contém o 
ponto 𝑃0? 
Questão 11. Seja 𝑟:
𝑥−1
2
=
𝑦
4
= 𝑧 a equação de uma reta que é perpendicular a um plano Ω. 
Suponha que o ponto 𝑃0 = (1, −1,0) pertença ao plano Ω. Seja 𝑠 uma reta paralela a Ω, 
concorrente a 𝑟 e que também contém 𝑃0. Determinar um vetor diretor de 𝑠 que seja unitário. 
Questão 12. Faça o que se pede: 
(a) Encontre o ângulo entre os planos cujas equações são Π1: 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 1 = 0 e 
Π2: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0. 
(b) Determine, caso exista, o ponto de interseção entre a reta 𝑟 = Π1 ∩ Π2 e o plano 
Π3: −𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 2 = 0. 
Questão 13. A respeito das retas 𝑟:
2−𝑥
2
=
𝑦
2
=
3−𝑧
4
 e 𝑠: {
𝑥 = −5𝜆
𝑦
5
= 𝜆 + 1
𝑧 = −10𝜆 + 1
, 𝜆 ∈ ℝ responda os 
seguintes itens: 
(a) Qual é a interseção entre as retas 𝑟 e 𝑠? 
(b) Qual é o ângulo formado entre estas retas? Justifique sua resposta. 
Determinar as equações paramétricas de um plano Ω que contenha as retas 𝑟 e 𝑠. 
Questão 14. Sejam 𝑟 e 𝑠 retas paralelas aos vetores �⃗⃗� = (0,0, −1) e �⃗� = (1, −1,0), 
respectivamente. Suponha que 𝑟 ∩ 𝑠 = {(−1,0,0)}. Determinar um ponto 𝑃 da reta 
𝑡: {
𝑥 = 1 + 2𝛼
𝑦 = 1 + 𝛼
𝑧 = 1 − 2𝛼
, 𝛼 ∈ ℝ, equidistante das retas 𝑟 e 𝑠. 
Questão 15. Seja 𝑡 uma reta paralela aos planos Ω1: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 e 
Ω2: 𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 0 e concorrente as retas 𝑟: {
2𝑥 − 2𝑦 = 𝑧
𝑥 − 3𝑦 = 1
 e 𝑠: {
4𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
. Calcular a 
distância da reta 𝑡 aos planos 𝑋𝑌, 𝑋𝑍 e 𝑌𝑍. 
Questão 16. 
(a) Determine um ponto 𝐶, pertencente à reta 𝑟: 𝑥 =
𝑦
2
, 𝑧 = 1, equidistante de 𝐴 = (1,1,4) e 
𝐵 = (−6,6,4); 
(b) Determine a distância do ponto 𝑃 = (1,2,3) à reta 𝑟: {
𝑥 = 1 − 2𝑡
𝑦 = 2𝑡
𝑧 = 2 − 𝑡
, 𝑡 ∈ ℝ; 
(c) Determine a distância do ponto 𝑃 = (−1,2,0) ao plano Π: 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0. 
Questão 17. 
(a) Calcular a distância entre as retas 𝑟: {
𝑥 = −2 − 2𝑡
𝑦 = 2𝑡
𝑧 = 3 − 4𝑡
, 𝑡 ∈ ℝ, e 𝑠:
𝑥
4
=
𝑦+6
2
=
𝑧−1
2
; 
(b) Calcular a distância entre os planos Π1: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0 e 
Π2: −𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 1 = 0. 
Determinar o conjunto de pontos Ω que seja equidistante aos planos Ω1: 2𝑥 − 𝑦 = 𝛼 e 
Ω2: 𝑥 −
𝑦
2
= 𝛽.