Eletrotécnica 2º BIM

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O SISTEMA Y-Δ
Não existe a conexão do neutro no sistema Y-Δ
O ângulo de fase entre a corrente de linha e a corrente de 
fase mais próxima é 30º
O SISTEMA Y-Δ - EXEMPLO
O SISTEMA Y-Δ – EXEMPLO - RESPOSTA
O GERADOR TRIFÁSICO CONECTADO EM Δ
O GERADOR TRIFÁSICO CONECTADO EM Δ – SEQUENCIA DE FASE
O GERADOR TRIFÁSICO CONECTADO EM Δ – EXEMPLO
Considerando o sistema Δ-Δ
a) Determine os ângulos de fase θ2 e θ3 para a sequência de fase especificada.
b) Determine as correntes em cada fase conectada à carga.
c) Determine o módulo das correntes de linha.
O GERADOR TRIFÁSICO CONECTADO EM Δ – EXEMPLO
O GERADOR TRIFÁSICO CONECTADO EM Δ – EXEMPLO
Considerando o sistema Δ -Y:
a) Determine as tensões de cada fase conectada à carga.
b) Determine o módulo das tensões de linha.
O GERADOR TRIFÁSICO CONECTADO EM Δ – EXEMPLO
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Y
A potência média (ativa) fornecida a cada fase pode ser determinada por:
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Y
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Y
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Y
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Y - Exemplo
Considerando a carga conectada em Y vista na Figura:
a) Determine a potência média para cada fase e a potência média total.
b) Determine a potência reativa para cada fase e a potência reativa total.
c) Determine a potência aparente para cada fase e a potência aparente total.
d) Determine o fator de potência da carga.
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Y - Exemplo
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Y - Exemplo
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Y - Exemplo
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Δ
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Δ – Exemplo 1
Para a carga conectada em Δ-Y, mostrada na Figura, determine os valores totais das
potências média, reativa e aparente. Além disso, determine o fator de potência da carga.
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Δ – Exemplo 1
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Δ – Exemplo 2
As três linhas de transmissão do sistema trifásico de três fios mostrado na figura possuem uma
impedância de 15 + j 20 Ω. O sistema fornece uma potência total de 160 kW em 12.000 V para
uma carga trifásica equilibrada com um fator de potência atrasado de 0,86.
a) Determine o módulo da tensão de linha EAB do gerador.
b) Encontre o fator de potência da carga total aplicada ao gerador.
c) Qual é a eficiência do sistema?
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Δ – Exemplo 2
POTÊNCIA - Carga equilibrada conectada em Δ – Exemplo 2
REVISÃO ANTES DE SISTEMAS DESEQUILIBRADOS
Ligações domiciliarias
Fase e Neutro
Ligações domiciliarias
2 Fases e Neutro
Ligações domiciliarias
3 Fases e Neutro
� Três bobinas defasadas em 120 graus elétricos no espaço
geram um conjunto de três tensões de mesmo valor
máximo, defasadas de 120 graus elétricos no tempo.
� As três tensões são conhecidas como FASES.
a
-a
Estator
Caminho 
de fluxo
Eixo magnético do 
enrolamento de armaduraθ
Enrolamento 
de armadura
c
b
-c
-b
e
t0
ea eb ec
B
θ0 π 2π
Geração em corrente alternada (Trifásico)
Geração em corrente alternada
� Denominação: os condutores a, b e c são as fases o condutor
conectado no ponto n é o neutro.
n
ae
a
b
c
bece
a
b
c
cI&
ce
ae
be
� Sistemas de tensões trifásicas
Representação temporal Representação fasorial
)
3
2
cos(2)(
)
3
2
cos(2)(
)cos(2)(
pi
ω
pi
ω
ω
+=
−=
=
tEte
tEte
tEte
c
b
a
o
c
o
b
a
EE
EE
EE
120
120
0
∠=
−∠=
∠=
&
&
&
� Em que, ea(t), eb(t) e ec(t) são os valores instantâneos das tensões
trifásicas, E é o valor eficaz das tensões e ω é a freqüência
angular; e
�
� A tensão a é a origem (ou referência) das fases.
s. trifásica tensõesdas fasores os são e , cba EEE &&&
� Ordem pela qual as tensões das fases passam pelo seu valor
máximo.
Seqüência Positiva (Direta) Seqüência Negativa (Indireta)
abc-bca-cab cba-acb-bac
e
t0
ea eb ec
e
t0
ea ec eb
aE&
bE&
cE&
aE&
bE&
cE&
Seqüência de fases
TENSÕES E CORRENTES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
BALANCEADOS
Sistemas de potência são alimentados por geradores trifásicos. De
maneira ideal, os geradores suprem energia para cargas trifásicas
balanceadas, o que significa cargas com impedância idênticas nas
três fases.
A figura do próximo slide mostra um gerador conectado em
estrela suprindo uma carga em estrela balanceada. Para essa
análise, as impedâncias das conexões entre os terminais do
gerador e da carga, como também a impedância da conexão entre
(0) e (n) são desprezadas.
Sistema simples trifásico equilibrado.
O circuito equivalente de um gerador trifásico consiste de uma
força eletromotriz (fem) em cada uma das três fases. Os pontos a’,
b’ e c’ são pontos fictícios, desde que a fem gerada em cada fase
não pode ser separada da impedância de cada fase.
As fem’s possuem o mesmo módulo e são deslocadas de 120º uma
em relação a outra. Se o módulo de cada fem é 100 V, então
podemos concluir que:
Isto fornece a sequência de fase (abc).
o
a '0
o
b'0
o
c'0
E 100 0
E 100 120
E 100 120
= ∠
= ∠−
= ∠
OBS: O diagrama do circuito não fornece nenhuma indicação da
sequência de fase, mas a figura a seguir mostra a sequência de
fase (abc).
Nos terminais do gerador e neste caso nos terminais da carga
também, tem-se que:
a0 a '0 d an
b0 b'0 d bn
c0 c'0 d cn
V E Z I
V E Z I
V E Z I
= −
= −
= −
Desde que (0) e (n) estão no mesmo potencial, então:
As correntes de linha (iguais as correntes de fase para conexão 
estrela) são:
a0 a '0 d an an
b0 b'0 d bn bn
c0 c'0 d cn cn
V E Z I V
V E Z I V
V E Z I V
= − =
= − =
= − =
a '0 an
an
d R R
b'0 bn
bn
d R R
c'0 cn
cn
d R R
E VI
Z Z Z
E VI
Z Z Z
E VI
Z Z Z
= =
+
= =
+
= =
+
Desde que possuem o mesmo módulo e estão
defasadas por 120º e desde que as impedâncias vistas por essas fems são
iguais, então as correntes também possuem o mesmo módulo e estão
defasadas de 120º entre si.
As correntes e tensões são classificadas como balanceadas.
A figura a seguir mostra as três correntes de um sistema balanceado.
a '0 b '0 c'0E , E , E
Desde que a soma das três correntes é nula, então a corrente do
neutro será nula também, entre a conexão do neutro do gerador e
o neutro da carga.
Consequentemente a conexão entre (o) e (n) pode ter qualquer
impedância, ou até mesmo está em aberto e (n) e (o) estarão no
mesmo potencial. Se a carga não for balanceada, a soma das
correntes não será nula e uma corrente In fluirá entre (o) e (n).
OBS: Para condição desbalanceada, (n) e (o) não estarão no
mesmo potencial ao não ser que eles estejam conectados por uma
impedância nula.
OPERADOR (a)
O deslocamentos de fase nas tensões e correntes podem ser
indicados através do operador (a) definido por:
( )2jo 3a 1 120 1 0,5 j0,866pi= ∠ = ε = − +
Diagrama fasorial das tensões de linha em relação as tensões
fase neutro
Cargas balanceadas em delta
� Operador α – número complexo de modulo unitário e argumento
120 graus.
2
3
2
11201 jo +−=∠=α
� Propriedades:
01
01
1201
1201
2
23
2
1
=++
∠==
−∠==
∠==
αα
ααα
ααα
αα
o
o
o
1
2α
α
ℜ
α
2
1
−
2
3
ℑ
1
o120
Operador α
Calcular: 1-α2 e α(1-α2)
oooo
ojj
3031503303.1201)1(
303
2
3
2
11
2
3
2
111
2
2
∠=∠=∠∠=−
∠=++=






−−−=−
ααα
α
Operador α
Diagrama fasorialdas tensões de linha em relação as tensões
fase neutro
As tensões de linha no circuito (link) são: Vab , Vbc, Vca .
A tensão de linha Vab é dada por:
Iremos usar a tensão Van como fasor de referência:
ab an nb an bnV V V V V= + = −
( )
( )
ab an nb an bn
2
bn an
2 2
ab an an an
2 o
o
ab an
V V V V V
V a V
V V a V 1 a V
1 a 3 30
V 3 30 V
= + = −
=
= − = −
− = ∠
= ∠
As outras tensões de linha são encontradas de maneira similar.
OBS: O módulo das tensões de linha de um circuito trifásico é
sempre igual a vezes o módulo das tensões fase-neutro para
um circuito trifásico balanceado.
A figura abaixo apresenta uma forma de mostrar as tensões de
linha e as tensões de fase.
Observe na figura acima que a ordem pela qual os vértices a, b, c
do triângulo se estabelece para um observador quando o triângulo
é rotacionado sobre o ponto (n) indica a sequência de fase (abc).
3
Cargas balanceadas em delta
Tomando como referência o fasor Iab :
( )
( )
a ab ca
a ab ab ab
o
a ab
I I I
I I aI 1 a I
I 3 30 I
= −
= − = −
= ∠−
Iab
Ibc
Ica
� Sistema trifásico simétrico com seqüência de fase positiva ligado
em estrela.
faselinha II && =










=










=










α
α
α
α 22
1
an
an
an
an
cn
bn
an
V
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
&
n
anV&
bnV&
cnV&
a
b
c
abV&
bcV& caV&
aI&
bI&
cI&
� As correntes de linha são iguais as correntes de fase.
� As tensões de linha










∠
∠
∠
=










−
−
−
=










−










=










−










=










α
α
α
αα
α
α
α
α
α
o
o
o
anananan
an
cn
bn
cn
bn
an
ca
bc
ab
VVVV
V
V
V
V
V
V
V
V
V
303
303
303
1
1
1
1
22
22
2 &&&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
Relações entre os valores de fase e linha um novo conceito










∠=










α
α 2
1
303 an
o
ca
bc
ab
V
V
V
V
&
&
&
&
� A tensão de linha é a tensão de fase multiplicada por √3 e
adiantada 30º.
anV&
cnV&
bnV&
bnV&−
abV&
cnV&− bcV&
caV&
anV&−
o30
Relações entre os valores de fase e linha










−∠=










2
1
303
α
αan
o
ca
bc
ab
V
V
V
V
&
&
&
&
� A tensão de linha é a tensão de fase multiplicada
por √3 e atrasada de 30º.
anV&
bnV&
cnV&
cnV&−
abV&
bnV&−
bcV&
caV&
anV&−
o30−
� Considerando um sistema trifásico simétrico com seqüência de
fase negativa ligado em estrela.










=










=










22
1
α
α
α
α an
an
an
an
cn
bn
an
V
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
&
Relações entre os valores de fase e linha
� Sistema trifásico simétrico com seqüência de fase positiva ligado
em triângulo.
faselinha VV && =










=










=










α
α
α
α 22
1
ab
ab
ab
ab
ca
bc
ab
I
I
I
I
I
I
I
&
&
&
&
&
&
&
� As tensões de linha são iguais as tensões de
fase.
� As correntes de linha
a
b
c
abV&
bcV& caV&
aI&
bI&
cI&
abI&ca
I&
bcI&










−∠
−∠
−∠
=










−
−
−
=










−










=










−










=










α
α
αα
α
α
α
α
α
α
o
o
o
abababab
bc
ab
ca
ca
bc
ab
c
b
a
IIII
I
I
I
I
I
I
I
I
I
303
303
303
1
1
1
1
2
2
2
2
2 &&&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
Relações entre os valores de fase e linha










−∠=










α
α 2
1
303 ab
o
c
b
a
I
I
I
I
&
&
&
&
� A corrente da linha é a corrente de fase multiplicada por √3 e
atrasada de 30º.
abI&
caI&
bcI&
bcI&−
aI&
caI&−
cI&
bI&
abI&−
o30−
Relações entre os valores de fase e linha
� A corrente da linha é a corrente de fase
multiplicada por √3 e adiantada de 30º.
� Considerando um sistema trifásico simétrico com seqüência de
fase negativa ligado em triângulo.










=










=










22
1
α
α
α
α ab
ab
ab
ab
ca
bc
ab
I
I
I
I
I
I
I
&
&
&
&
&
&
&










∠=










2
1
303
α
αab
o
c
b
a
I
I
I
I
&
&
&
&
abI&
bcI&
caI&
caI&−
aI&
bcI&− cI&
bI&
abI&−
o30
Relações entre os valores de fase e linha
� Resumo
Seqüência positiva Seqüência negativa
L
i
g
a
ç
ã
o
 
e
m
 
e
s
t
r
e
l
a
L
i
g
a
ç
ã
o
 
e
m
 
t
r
i
â
n
g
u
l
o
faselinha II && =










∠=










cn
bn
an
o
ca
bc
ab
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
303










−∠=










cn
bn
an
o
ca
bc
ab
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
303
faselinha II && =
faselinha VV && = faselinha VV && =










−∠=










ca
bc
ab
o
c
b
a
I
I
I
I
I
I
&
&
&
&
&
&
303










∠=










ca
bc
ab
o
c
b
a
I
I
I
I
I
I
&
&
&
&
&
&
303
Relações entre os valores de fase e linha
Resolvendo circuitos trifásicos balanceados
Na solução de um circuito trifásico equilibrado (balanceado) não
é necessário trabalhar com o diagrama de circuito trifásico
completo conforme figura abaixo:
Para resolver o circuito anterior, um condutor neutro de
impedância nula (condutor ideal) é considerado presente e conduz
a soma das correntes nas três fases, a qual é nula para condições
balanceadas. A solução do circuito se dá pela aplicação da lei de
Kirchhoff no circuito fechado que inclui uma fase e o neutro.
Tal caminho fechado é apresentado na figura abaixo:
Este circuito é denominado de equivalente monofásico ou por
fase do circuito trifásico completo do slide anterior
Os cálculos realizados para este circuito fechado pode ser
ampliado para as outras duas fases mantendo-se o módulo da
corrente e defasando o ângulo de fase em 120º.
Cargas em delta devem ser transformadas em estrela equivalente
com base na transformação delta-estrela.
� Sistema trifásico simétrico com seqüência de fase positiva.a
b
c
abV&
bcV& caV&
n
anV&
bnV&
cnV&
a
b
c
abV&
bcV& caV&










∠
=










ca
bc
ab
o
cn
bn
an
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
303
1
Transformação triângulo – estrela (1/2)
� Carga trifásico.
A
B
C
ABZ&
BCZ&
CAZ& N
A
B
C
BZ&
AZ&
CZ&
CABCAB
CABC
C
CABCAB
BCAB
B
CABCAB
CAAB
A
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
&&&
&&
&
&&&
&&
&
&&&
&&
&
++
=
++
=
++
= Para cargas equilibradas
3
ZZZZ
ZZZZ
CBA
CABCAB
===
===
&&&
&&&
C
a
s
o
 
g
e
r
a
l
Transformação triângulo – estrela (2/2)
� Com carga equilibrada
n
anV&
bnV&cnV&
a
b
c
aI&
bI&
cI&
N
ANV&
CNV&
BNV&
A
B
C
aI&
bI&
cI&
Z&
Z&
Z&
LZ&
LZ&
LZ&
nI&
0=++= cban IIII &&&&
� Os centros-estrelas n – N estão ao mesmo potencial.
� A corrente pelo condutor neutro
circuito monofásico equivalente
Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados (1/3)
A figura mostra uma fonte de tensão trifásica conectada em
estrela alimentando um carga balanceada conectada em estrela.
Nesse caso desprezamos a impedância da linha entre a fonte e a
carga e também a impedância do condutor neutro entre os pontos
(n) e (N). A carga trifásica é balanceada o que significa que as
impedâncias em todas as três fases são idênticas.
Um exemplo de tensões fase neutro trifásica balanceadas é
fornecido a seguir:
Elas são balanceadas, pois possuem mesmo módulo e são
defasadas de 120º entre quaisquer duas fases.
A sequência de fase é chamada de sequência positiva quando
se adianta a Ebn e Ebn se adianta a Ecn. Outra denominação é (abc).
A sequência de fase é chamada de sequência negativa quando
se adianta a Ecn por 120º e Ecn se adianta a Ebn por 120º.Tem-se
então a sequência de fase (acb).
o
an
o
bn
o
cn
E 10 0
E 10 120
E 10 120
= ∠
= ∠−
= ∠
anE
anE
Um exemplo de tensões fase neutro trifásica balanceadas é
fornecido a seguir:
Para o exemplo numérico acima, as tensões de linha
correspondentes são calculadas facilmente.
o
an
o
bn
o
cn
E 10 0
E 10 120
E 10 120
= ∠
= ∠−
= ∠
( )
ab an bn
o o
ab
o
ab
E E E
E 10 0 10 120
E 3 10 30
= −
= ∠ − ∠−
= ∠ ( )
bc bn cn
o o
ab
o
ab
E E E
E 10 120 10 120
E 3 10 90
= −
= ∠− − ∠
= ∠−
A tensão de linha Eca é calculada de maneira semelhante.
Conclusão:
Em um sistema trifásico equilibrado (balanceado) conectado em
estrela com fonte de tensão trifásica balanceada, as tensões fase-
fase (de linha) são vezes as tensões fase-neutro e estão
adiantadas de 30º.
( )
ca cn an
o o
ca
o
ca
E E E
E 10 120 10 0
E 3 10 150
= −
= ∠+ − ∠
= ∠
3
( )
( )
( )
o
ab an
o
bc bn
o
ca cn
E 3E 30
E 3E 30
E 3E 30
= ∠+
= ∠+
= ∠+
Os diagramas fasoriais correspondentes são:
Observe um detalhe na construção do diagrama fasorial. As
tensões de linha formam um triângulo equilátero cujos vértices
correspondem as respectivas fases. As tensões fase-neutro
começam no vértice e terminam no ponto (n) que é o neutro.
Qual será a resultante da soma das tensões de linha? Será sempre
zero independentemente se o sistema for balanceado ou não?
Corrente de linha
Desde que a impedância entre o neutro da fonte e da carga é
desprezada, então EnN=0. As correntes de linha podem ser escritas
por inspeção a partir da aplicação da lei de Kirchhoff das tensões
para cada fase.
Por exemplo, se cada fase possui uma impedância
an bn cn
a b c
est est est
E E EI I I
Z Z Z
= → = → =
o
estZ 2 30= ∠
As correntes resultam em:
A corrente de neutro é calculada somando-se as correntes de
linha.
o
o
a o
o
o
b o
o
o
c o
10 0I 5 30
2 30
10 120I 5 150
2 30
10 120I 5 90
2 30
∠
= = ∠−
∠
∠−
= = ∠−
∠
∠
= = ∠
∠
N a b cI I I I 0= + + =
Desde que as correntes de linha formam um triângulo fechado,
sua soma que é a corrente de neutro é zero. Em geral, a soma de
qualquer conjunto trifásico de fasores balanceados é zero, desde
que estes formam um triângulo fechado.
Embora a impedância do condutor é considerada nula, a corrente
de neutro será sempre zero (no caso balanceado) para qualquer
impedância do neutro entre valor nulo e infinito(circuito aberto).
Isso somente é válido se o sistema for balanceado.
Se o sistema não for balanceado, o que poderá ocorrer se as
tensões da fonte, impedâncias da carga, ou impedâncias das fases
forem desequilibradas – nesse caso as correntes de linha não
serão balanceadas e a corrente de neutro poderá fluir entre os
pontos (n) e (N).
Cargas balanceadas em delta - Exemplo
Como as impedâncias das linhas são desprezadas, a tensão de
linha da fonte é igual a tensão de linha da carga.
As correntes que circulam no delta são:
AB BC CA
AB BC CA
d d d
E E EI I I
Z Z Z
= → = → =
Sendo as tensões de linha iguais a do problema anterior, as
correntes no delta podem ser calculadas facilmente:
( )
( )
( )
o
ab
o
bc
o
ca
E 310 30
E 310 90
E 310 150
= ∠+
= ∠−
= ∠+
o
oAB
AB o
d
o
oBC
BC o
d
o
oCA
CA o
d
E 310 30I 3,464 0
Z 5 30
E 310 120I 3,464 120
Z 5 30
E 310 150I 3,464 120
Z 5 30
∠
= = = ∠
∠
∠−
= = = ∠−
∠
∠+
= = = ∠+
∠
As correntes de linha podem ser encontradas a partir de cada nó
da carga em delta.
( )
( )
( )
o o
a AB CA
o
a
o o
b BC AB
o
b
o o
c CA BC
o
c
I I I 3,464 0 3,464 120
I 3 3,464 30
I I I 3,464 120 3,464 0
I 3 3,464 150
I I I 3,464 120 3,464 120
I 3 3,464 90
 = − = ∠ − ∠ 
= ∠−
 = − = ∠− − ∠ 
= ∠−
 = − = ∠ − ∠− 
= ∠+
A soma das correntes de linha (Ia +Ib+Ic) é sempre zero para uma
carga conectada em delta até mesmo se o sistema for
desequilibrado, desde que não existe condutor neutro.
Conclusão para cargas conectadas em delta:
As correntes de linha para uma carga conectada em delta
alimentada por uma fonte de sequência positiva balanceada são
as correntes no delta e se atrasam por 30º.
3
o
a AB
o
b BC
o
c CA
I 3I 30
I 3I 30
I 3I 30
= ∠−
= ∠−
= ∠−
Conversão delta-estrela equivalente para cargas balanceadas
Se tensões balanceadas forem aplicadas as duas cargas, do ponto
de vista dos terminais, as correntes de linha serão iguais, ou seja:
( )
o oAB
A AB
d
oABo o
AN AN AN
A
dd est est
EI 3I 30 3 30
Z
E 303E 30 30 E E 3I 3 ZZ Z Z
3
 
= ∠− = ∠− 
 
∠−∠ ∠−
= = = =
Exemplo: Uma fonte de tensão de sequência positiva conectada
em estrela com Eab = 480<0o é aplicada em uma carga balanceada
com impedância igual a 30<40º conectada em delta. A impedância
da linha entre a fonte e a carga é igual 1<85º para cada fase.
Encontre as correntes de linha, as correntes no delta e as tensões
nos terminais da carga.
Solução: De imediato, deve-se transformar a carga conectada em
delta para estrela equivalente. Com essa transformação, podemos
encontrar as correntes de linha do sistema equivalente que são
iguais as correntes de linha do sistema original (carga em delta).
Após encontrar as correntes de linha, as correntes no delta são
facilmente encontradas deslocando as correntes de linha
correspondentes por 30º e dividindo por .3
O sistema equivalente é mostrado a seguir:
Observe que a conexão entre o neutro da fonte e da carga não
possui nenhuma influência no cálculo das corrente de linha, pois
como se trata de um sistema balanceado, a corrente de neutro é
nula. Normalmente,coloca-se um condutor fictício de impedância
nula para completar o circuito.
O circuito equivalente por fase após a conversão da carga em
delta para estrela equivalente é mostrado a seguir:
Observe que o fasor de referência é a tensão de linha Eab.
A tensão de fase correspondente está atrasada de 30º em relação à
tensão fase-fase (de linha).
o
ab
o
an
E 480 0
480E 30
3
= ∠
= ∠−
A corrente de linha da fase (a) é dada por:
As correntes no delta são:
o
oan
A o o
L Y
o o
B
o
C
480 30E 3I 25,83 73,7830Z Z 1 85 403
I 25,83 193,78 25,83 166,22
I 25,83 46,22
∠−
= = = ∠−
+ ∠ + ∠
= ∠− = ∠
= ∠−
( )o o oAB A
o
AB
o
BC
o
CA
1 1I I 30 25,83 73,78 30
3 3
I 14,91 43,78
I 14,91 196,22
I 14,91 76,22
= ∠+ = ∠ − +
= ∠−
= ∠
= ∠
As tensões de linha nos terminais da carga podem ser encontradas
da seguinte maneira. Com base no circuito equivalente.
{An an L A
tensão da fonte
o o o
An
o
An
o
Bn
AB An Bn
o o
AB
o
AB
o
BC
o
CA
E E Z I
480E 30 1 85 25,83 73,78
3
E 258,26 33,79
E 258,26 206,21
E E E
E 258,26 33,79 258,26 206,21
E 447,32 3,79
E 447,32 236,21
E 447,32 116,21
= − ×
 = ∠ − − ∠ × ∠ − 
= ∠ −
= ∠
= −
= ∠ − − ∠
= ∠ −
= ∠
= ∠
DIAGRAMAFASE-NEUTRO EQUIVALENTE
Quando os cálculos forem efetuados em circuitos trifásicos
balanceados, apenas uma fase precisa ser analisada. Cargas em
delta podem ser convertidas em cargas em estrela e todos os
neutros da fonte e da carga podem ser conectados através de um
condutor de impedância nula sem alterar a solução do problema.
Normalmente a fase escolhida para a solução é a fase (a). As
tensões e correntes nas outras duas fases possuem mesmo módulo
e são deslocadas de +-120º em relação à fase (a).
Obs: Os dados nominais dos equipamentos trifásicos são
especificados em função da tensão de linha (valor rms) e da
potência aparente trifásica total.
Potência em circuitos trifásicos balanceados
A potência total fornecida por um gerador trifásico ou absorvida
por uma carga trifásica é encontrado somando-se a potência em
cada uma três fases. Em um circuito balanceado isto é o mesmo
que multiplicar a potência de qualquer fase por três.
Se o módulo das tensões de fase para uma carga conectada
em estrela é :
E o módulo das correntes de fase para uma carga conectada em
estrela é:
pV
p an bn cnV V V V= = =
pI
p an bn cnI I I I= = =
A potência trifásica total é dada por:
Se os módulos das tensões e das correntes de linha são calculados
por:
( )p pP 3 V I cos= θ
p
L
p
L
V
V
3
I
I
3
=
=
( )
( )
L L
L L
2 2
L L
P 3 V I cos
Q 3 V I sen
S P Q 3 V I
= × × θ
= × × θ
= + = ×
� A potência aparente complexa monofásica e dada por:
� Nos circuitos trifásico, a potência aparente toral é a soma das
potências aparente individual das três fases:
Esta expressão nos dá a potência trifásica em função dos
valores de fase
� Em termos retangulares temos:
Potência em sistemas trifásicos
∗
= IVS &&&
∗
= FF IVS &&& 33φ
φφφ 333 QPS ±=&
� Em corrente alternada, definem-se as seguintes potências:
� Potência aparente
� Potência ativa
� Potência reativa
� Em termos retangulares temos:
)(3 VAIVS aan=
)(cos3 WIVP aan ϕ=
)(sin3 VArIVQ aan ϕ=
Potência em sistemas trifásicos
φφφ 333 QPS ±=&
Potência em sistemas trifásicos
� A potência ativa consumida pela impedância da fase A é obtida
através da colocação de um wattímetro.
Potência em sistemas trifásicos 
� Se outros dois wattímetros forem ligados às outras fases da carga,
a potência ativa total será dada pela soma das leituras dos três
wattímetros.
� Usando os valores de tensão e corrente de linha.
Ligação em Estrela Ligação em Triângulo
ϕ
ϕ
sin3
cos3
3
3
 ; 
AAB
AAB
AAB
AB
ANAAN
IVQ
IVP
IVS
VVII
=
=
=
==
ϕ
ϕ
sin3
cos3
3
 ; 
3
AAB
AAB
AAB
ABAN
A
AN
IVQ
IVP
IVS
VVII
=
=
=
==
� Num sistema simétrico e equilibrado com carga equilibrada
(qualquer que seja o tipo de ligação) as fórmulas de potência
ativa, reativa e aparente são as mesmas.
� O fator de potência de uma carga trifásica equilibrada é o cosseno
do ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente numa fase.
Potência em sistemas trifásicos
Relações Importantes em Sistemas Trifásicos Equilibrados
Relações Importantes em Sistemas Trifásicos Equilibrados
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
� Com carga desequilibrada
n
anV&
bnV&cnV&
a
b
c
aI&
bI&
cI&
N
ANV&
CNV&BNV&
A
B
C
aI&
bI&
cI&
BNZ&
ANZ&
CNZ&
LZ&
LZ&
LZ&
nI&
cban
NnCNLccn
NnBNLbbn
NnANLaan
IIII
ZIZZIV
ZIZZIV
ZIZZIV
&&&&
&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&
++=
++=
++=
++=
)(
)(
)(
nZ&
� Um sistema de equações lineares
Sistemas trifásicos simétricos e desequilibrados
◆ Possibilidades de ocorrência:
◆ As magnitudes das tensões das fases são diferentes ou 
os ângulos;
◆ As impedâncias por fase são diferentes.
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
◆ Caso 1: Cargas desbalanceadas e fontes
balanceadas: ou ao menos uma é
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
ZA ≠ ZB ≠ ZC
◆Pela lei das correntes de Kirchhoff:
diferente das outras duas.
◆Pela lei de Ohm, as correntes de linha são:
◆Mesmo sem a existência do neutro, é
possível encontrar as correntes.
◆ A potência por fase é dada por:
Potência em Circuitos Trifásicos Desequilibrados
◆A potência trifásica é dada pela soma da potência de cada uma das fases.
◆O terra geralmente funciona como o neutro em sistemas trifásicos.
Atenção: não confunda o subscrito P nas fórmulas como sendo pico. Na verdade ele quer dizer 
“phase”.
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
◆ Exemplo 1: Calcule as correntes de linha e de 
neutro para
Considerando a tensão na sequência acb e VA =100∠0 Vo
◆Pela lei de Ohm, as correntes de linha são:
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
◆ Exemplo 1: Calcule as correntes de linha e de 
neutro para
Considerando a tensão na sequência acb e VA =100∠0 Vo
◆Pela lei das correntes de Kirchhoff:
◆ Exemplo 2: Calcule as correntes de linha para o
sistema, considerando e
sequência de fases positiva
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
Vab = 200∠0 Vo
Potência em Circuitos Trifásicos
◆ Exemplo 3: Calcule as correntes de linha, e as potências 
complexas absorvidas pela carga e fornecida pela fonte
◆Da malha 1, tem-se:
=Vab
◆Da malha 2, tem-se:
=Vbc
Potência em Circuitos Trifásicos
◆ Exemplo 3: Cálculo das correntes:
◆Montando o sistema de 
equações, tem-se:
◆Então:
Potência em Circuitos Trifásicos
◆ Exemplo 3: Cálculo das correntes:
◆Então:
◆Finalmente:
◆ Exemplo 3: Cálculo das correntes:
Potência em Circuitos Trifásicos
◆Por inspeção, as correntes de linha são:
◆ Exemplo 3: Cálculo da potência complexa absorvida pela
carga:
Potência em Circuitos Trifásicos
◆Como o circuito é desequilibrado, deve-se calcular 
a potência em cada impedância conectada a cada 
uma das fases!
◆Não se usa a equação para circuitos 
equilibrados:
◆Para a faseA:
◆Para a fase B:
◆Para a fase C:
Potência em Circuitos Trifásicos
◆ Exemplo 3: Cálculo da potência complexa fornecida pela fonte:
◆Para a faseA:
◆Para a fase B:
◆Para a fase C:
◆Potência total da 
fonte:
◆Observe que pela conservação da potência:
Potência em Circuitos Trifásicos
◆ Você é o engenheiro eletricista responsável pela manutenção de
uma indústria de manufatura. No novo plano de negócios da
empresa ficou definido a construção de um novo setor que conta
com equipamentos comas seguintes características: um aquecedor
monofásico de 10Ω em uma fase, uma única bobina de 13,3mH em
outra fase e um único capacitor com 265,3µF na terceira fase. A
alimentação deverá ser realizada com tensão de pico de 170V e
60Hz em cada fase. Monte o esquema desta ligação e calcule a
potência nominal mínima a ser utilizada para escolha do
transformador.
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
ABI ZAB
=
VAB
= 44∠90oV
◆ Exemplo 4: Calcule as correntes de linha do 
circuito e a potência ativa consumida pela carga.
◆Pela lei de Ohm, as correntes de 
fase são:
CAI ZCA
=
VCA
= 22∠−120o V BCI ZBC
=
VBC
= 22∠30oV
22
=10(22) = 4840WP = R ICA
◆ Exemplo 4: Cálculo das correntes de linha.
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
ABI
CAI ZCA
=
VCA
= 22∠−120o V
BC= 44∠90o V IZAB ZBC
=
VAB
=
VBC
= 22∠30oV
IC = 42,5∠−135 Vo
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
◆Solução via análise de malhas:
◆Malha 1:
◆Malha 2:
◆Malha 3:
◆ Exemplo 5: Calcule a potência ativa absorvida pela carga
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
◆ Exemplo 5: Calcule a potência ativa absorvida 
pela carga
•◆Solução 1: Monte um sistema matricial de ordem 3 e resolva, encontrando 
I1, I2 e I3;
•◆Elimine uma variável, por exemplo I2, e resolva o sistema para I1 e I3 e encontre I2 
ao final
◆Existem algumas possibilidades diferentes para eliminar I2, a escolhida tem os 
passos descritos a seguir:
◆ Exemplo 5: Calcule a potência ativa absorvida pela carga
◆Multiplique a equação da malha 1 por 2 e subtraia a equação da malha 3 da 
equação da malha 1:
◆Equação da malha 3 subtraida da equação da malha 1:
◆Multiplique a equação da malha 2 por 5/4 e some com a equação da malha 1:
◆malha 2 por 5/4
◆malha 2 por 5/4 + malha 1
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
◆ Exemplo 5: Calcule a potência ativa absorvida pela carga
◆Sistema resultante da eliminação de I2:
◆Cálculos via regra de Cramer:
◆Substitua I1 e I3 em uma das equações de malha e calcule I2:
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
◆ Exemplo 5: Calcule a potência ativa absorvida pela carga
◆Cálculo da potência ativa na carga:
◆No resistor de 8Ω:
◆No resistor de 4Ω:
◆No resistor de 10Ω:
◆Potência total:
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
◆ Exemplo 5: Calcule a potência ativa absorvida pela carga
◆Calculem as perdas no sistema de transmissão:
◆No resistor de 5Ω entreaA:
◆No resistor de 5Ω entrebB:
◆No resistor de 5Ω entre cC:
◆Perdas totais na transmissão:
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
Trabalho ↸
◆ Exemplo 6: Encontre I0 no circuito:
◆Impedâncias:
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
◆ Exemplo 6: Encontre I0 no circuito:
◆Análise nodal:
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
◆ Exemplo 7: Se não existisse o neutro como 
poderiam ser calculadas as correntes no circuito?
◆Análise de malhas:
Sistemas Trifásicos Desequilibrados
Sistemas Trifásicos - Exercícios
Sistemas Trifásicos - Exercícios
Sistemas Trifásicos - Exercícios
Sistemas Trifásicos - Exercícios
Sistemas Trifásicos Desequilibrados - Exercícios