UN1-Termometria-2016

Prévia do material em texto

Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
1	
Unidade	1:		
Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Universidade	federal	de	Minas	Gerais	
Lutero	Carmo	de	Lima	–	Universidade	Estadual	do	Ceará	
Carlos	Jacinto	de	Oliveira	-	Universidade	Estadual	do	Ceará	
Wagner	Corradi	Barbosa	-	Universidade	federal	de	Minas	Gerais	
	
APÓS	O	ESTUDO	DESTA	UNIDADE	VOCÊ	DEVE	SER	CAPAZ	DE:	
• Distinguir	as	descrições	macroscópica	e	microscópica	de	sistemas;		
• Distinguir	os	conceitos	de	temperatura	e	calor;	
• Relacionar	temperatura	e	equilíbrio	térmico;	
• Conceitos	de	equilibro	termodinâmico	e	equilíbrio	térmico;	
• Identificar	propriedades	termométricas	e	funcionamento	de	termômetros:	
o Entender	a	escala	Kelvin	absoluta	de	temperatura;	
o Relacionar	escalas	termométricas;	
o Resolver	problemas	relativos	à	dilatação	térmica.	
	
Nesta	 unidade	 inicialmente	 serão	 mostrados	 as	 formas	 macroscópicas	 e	 microscópicas	 de	 se	
descrever	um	sistema	sob	o	ponto	de	vista	termodinâmico.	A	seguir	serão	definidas	as	variáveis	de	
estado	 ou	 propriedades	 de	 estado	 que	 caracterizam	 ou	 identificam	 o	 estado	 termodinâmico	 do	
sistema.	A	ideia	de	equilíbrio	térmico	é	estabelecida	com	a	Lei	Zero	da	Termodinâmica	a	qual	será	
usada	 para	 conceituar	 formalmente	 a	 variável	 de	 estado	 Temperatura.	 Uma	 vez	 estabelecida	
formalmente	 o	 conceito	 de	 temperatura,	 podemos	 perguntar	 como	 medi-la.	 Propriedades	
termométricas,	termômetros	e	as	escalas	de	temperatura	serão	então	estudados,	destacando-se	o	
termômetro	 de	 gás	 a	 volume	 constante	 e	 a	 escala	 Kelvin.	 Finalmente	 a	 dilatação	 térmica	 será	
abordada.	 Vários	 problemas	 serão	 resolvidos	 ao	 longo	 do	 capítulo	 e	 uma	 série	 de	 questões	
conceituais,	 e	 problemas	 são	 apresentados	 ao	 final	 do	 capítulo,	 visando	 a	 fixação	 dos	 conceitos	
apresentados.		
	 	
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
2	
	 LOCALIZAÇÃO	DOS	TÓPICOS	EM	CAPÍTULOS	DE	LIVROS		
EQ
U
IL
ÍB
RI
O
	T
ÉR
M
IC
O
,	T
EM
PE
RA
TU
RA
	E
	D
IL
AT
AÇ
ÃO
	
LIVRO		 AUTORES	 EDIÇÕES		 SEÇÕES		
Física	II	
Addison-Wesley		
Sears,	Zemansky,	Young	
Freedman;	
10ª.	
15.1	-	15.8	
16.1	-	16.2	
Física	2	
LTC		
Sears,	Zemansky,	Young		 2ª.	
14.1	–	14.6	
15.1	–	15.5	
16.1	–	16.5	
Física	2	
Livros	Técnicos	e	
Científicos	S.A		
Resnick,	Halliday,	Krane	 4ª.		
22.1	–	22.5	
25.1	–	25.2	
e	25.7	
Física	2	
Livros	Técnicos	e	
Científicos	S.A		
Resnick,	Halliday,	Krane	 5ª.		
21.1-22.5	
23.1-23.2	
The	Feynman	Lectures	on	
Physics;	Vol.	I	 Feynman,	Leighton,	Sands	 	
	
Fundamentos	de	Física,	
vol.2	
Livros	Técnicos	e	
Científicos	S.A		
Halliday,	Resnick		 3ª.	
19.2	–	19.7	
20.1	–	20.3	
e	20.7	
Física	2	
Editora	Makron	Books	do	
Brasil		
Keller,	Gettys,	Skove	 1ª.		 16.1-16.6	
Curso	de	Física,	vol.2	
Ed.	Edgard	Blücher		
Moysés	Nussenzveig	 3ª.	
7.1	–	7.5	
8.1	–	8.4	
Física,	vol.1b	
Ed.	Guanabara		
Tipler	 2ª	
16.1	–	16.5	
18.1	–	18.2	
e	18.4	
Física,	vol.2	
Ed.	Guanabara		
Tipler	 3ª.	
15.1	–	15.3	
16.1	–	16.3	
Física,	vol.2	
Ed.	Guanabara		
Tipler	 5ª.	 17.1	–	17.3	
Física,	vol.2	
Livros	Técnicos	e	
Científicos	S.A		
Alaor	S.	Chaves	 1ª.	
6.1	–	6.2	
6.4	–	6.12	
e	7.4	
Física,	Fundamentos	e	
Aplicações,	vol.2	
Editora	McGraw	Hill		
Eisberg	e	Lerner	 1ª.	 17.1-17.7	
Física	2	
Livros	Técnicos	e	
Científicos	S.A	
R.	A.	Serway	 3ª.	
19.1	–	19.6	
20.1	–	20.3	
e	20.7	
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
3	
1.1. Descrição	Macroscópica	e	Microscópica	
Um	 sistema	 poderá	 ser	 fisicamente	 descrito	 por	 suas	 grandezas	 macroscópicas,	 tais	 como	
temperatura,	pressão,	volume,	energia	interna,	etc.	e	essas	grandezas	macroscópicas	poderão	ser	
inter-relacionadas	 por	 equações	 de	 estado	 apropriadamente	 estabelecidas.	 Tais	 grandezas,	
variáveis	ou	propriedades	são	então	chamadas	de	variáveis	de	estado	ou	propriedades	de	estado.	
o A	 pressão	 de	 um	 gás,	 grandeza	 macroscópica,	 é	 medida	 operacionalmente	 com	 um	
manômetro.	 Microscopicamente,	 a	 pressão	 está	 relacionada	 com	 a	 taxa	 média	 de	
transferência	 do	 momento	 linear	 do	 gás	 para	 o	 fluido	 do	 manômetro,	 quando	 as	
moléculas	do	gás	colidem	com	uma	membrana	interna	de	um	monômetro;	
o A	temperatura	de	um	gás,	também	uma	grandeza	macroscópica,	é	relacionada	à	energia	
cinética	translacional	média	das	moléculas;	
o Se	 as	 grandezas	 macroscópicas	 podem	 ser	 expressas	 em	 termos	 das	 grandezas	
microscópicas,	 então	 as	 leis	 da	 termodinâmica	 também	 podem	 ser	 expressas	
quantitativamente	 em	 termos	 da	 mecânica	 estatística,	 porque	 na	 descrição	
microscópica	 existe	 um	 número	 infinito	 de	 partículas	 que	 na	 verdade	 representam	
moléculas	ou	átomos	as	quais	só	podem	ser	caracterizados	estatisticamente.	
Desta	 forma,	 na	 descrição	microscópica	 podemos	 descrever	 um	 sistema	ou	 uma	 substância,	 por	
exemplo,	um	gás	contido	em	um	recipiente	detalhando	os	movimentos	de	cada	uma	das	moléculas	
daquele	gás.	Isto	levaria	a	um	número	infinito	de	equações	físicas.	A	abordagem	de	descrever	um	
sistema	 ou	 uma	 substância	 pela	 movimentação	 de	 cada	 uma	 das	 moléculas	 ou	 átomos	
constituintes	é	chamada	de	dinâmica	molecular.	
A	 fim	 de	 se	 reduzir	 trabalho,	 a	 abordagem	 da	 dinâmica	 molecular	 converge	 para	 a	 mecânica	
estatística	que	relaciona	médias	de	propriedades	moleculares	com	quantidades	por	nós	conhecidas	
como	temperatura,	pressão	e	outras.		
A	 descrição	macroscópica	 trabalha	 com	as	 propriedades	 em	escala	muito	maior	 do	que	 a	 escala	
molecular	 e	 trata	 da	 interação	 macroscópica	 do	 sistema	 com	 sua	 vizinhança	 como	 salientado	
anteriormente.	
1.2. Variáveis	de	estado	
As	 variáveis	 de	 estado	 são	 variáveis	 que	 caracterizam	 o	 estado	 ou	 a	 condição	 de	 um	 sistema	
termodinâmico.	 Exemplos	 de	 variáveis	 de	 estado	 termodinâmicas	 são	 pressão	 (p),	 volume	 (V),	
temperatura	(T),	energia	(U)	etc..		
Uma	variável	de	estado	muito	 importante	é	o	número	de	moles	ou	mols	 (n)	que	uma	substância	
pode	ser	constituída.	Um	mol	de	substância	é	a	quantidade	de	substância	que	contém	um	número	
de	Avogadro	de	moléculas	 da	 substancia	 em	questão.	O	número	de	Avogadro	NA	 é	 6,022	 x	 1023	
moléculas/mol.	Desta	 forma	o	 número	de	mols	 ou	moles	 de	 uma	 substância	 é	 definido	 de	 duas	
maneiras	 diferentes.	 Uma	 em	 termos	 do	 número	 das	 moléculas	 ou	 átomos	 da	 substancia	 em	
relação	ao	número	de	Avogadro	e	a	outra	em	termos	da	massa	da	substancia	em	relação	à	massa	
molar	da	própria	substância.	Ou	seja,	
	 𝑛 = 𝑁𝑁! = 𝑚𝑀!	 (1)	
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
4	
onde	N	é	o	número	de	moléculas	ou	de	átomos	da	substancia,	NA	é	número	de	Avogadro,	m	é	a	
massa	da	substância	e	M0	é	sua	massa	molar.	A	massa	molar	M0	de	um	número	de	Avogadro	(NA	=	
6,022	x	1023	moléculas/mol)	de	moléculas	ou	átomos	de	uma	substância	pura	é	obtida	pela	tabela	
periódica	 e	 expressa	 em	 gramas.	 Exemplos:	 1	 mol	 de	 carbono,	 pesa	 12,011g;	 1	 mol	 de	 glicose	
(C6H12O6),	 pesa	 180,145	 g,	 valor	 equivalente	 à	 soma	 das	massas	 atômicas	 de	 seus	 constituintes	
(6×12,011𝑔 + 12×1,007𝑔 + 6×16,999𝑔).	
1.3. Lei	zero	da	termodinâmica	e	o	conceito	de	temperatura	
Um	 sistema	 está	 em	 equilíbrio	 termodinâmico	 quando	 suas	 variáveis	 de	 estado	 se	 mantém	
inalteradasao	 longo	 do	 tempo	 e	 uniformes	 através	 de	 todo	 o	 sistema.	 Logo,	 no	 equilíbrio	
termodinâmico	não	são	observadas	mudanças	macroscópicas	nas	variáveis	de	estado	dos	sistemas.		
Sistemas	termodinâmicos	interagem	com	a	vizinhança	através	de	diferentes	tipos	de	paredes	entre	
elas:		
− Parede	adiabática:	que	não	permite	a	passagem	de	matéria	e	calor.	
− Parede	diatérmica:	que	permite	somente	a	passagem	de	calor.	
	
Figura	1:	(a)	Sistema,	vizinhança	e	paredes	que	determinam	trocas	de	energia.	
Quando	 dois	 sistemas	 isolados	 A	 e	 B	 estão	 separados	 por	 uma	 parede	 adiabática,	 os	 sistemas	
também	estão	isolados	entre	si.	Assim	quando	as	variáveis	de	estado	de	um	dos	sistemas	mudam,	
o	outro	sistema	não	é	afetado	(Figura	2a).	Por	outro	lado,	dois	sistemas	isolados	do	meio	externo,	
porém	interagindo-se	através	de	uma	parede	diatérmica	conforme	mostrado	na	(Figura	2b)	trocam	
calor	entre	si,	modificando	simultaneamente	as	variáveis	de	estado	de	ambos	os	sistemas.	Como	
resultado	da	 interação,	as	variáveis	de	estado	 irão	se	modificar	até	atingir	valores	constantes	em	
ambos	os	 sistemas.	Na	 situação	de	equilíbrio	 térmico	as	 temperaturas	em	ambos	os	 sistemas	 se	
igualam	(TA=TB)		
	
(a)	
(b)	
	
Figura	2:	(a)	Dois	sistemas	isolados	separados	por	uma	parede	adiabática.	(b)	Dois	sistemas	
isolados	separados	por	uma	parede	diatérmica.	
Vizinhança
Paredes
Universo
Trocas de energia e matéria 
entre sistema e vizinhança
ocorrem através da parede
Sistema
Parede adiabática imaginária suficientemente
afastada para limitar todo o universo.
A B A B
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
5	
Existem	 situações	 nas	 quais	 dois	 sistemas	 podem	 estar	 em	 equilíbrio	 térmico	 mesmo	 que	 não	
estejam	em	contato	direto	através	de	uma	parede	diatérmica.	A	 Figura	3	mostra	um	sistema	no	
qual	 uma	 parede	 adiabática	 separando	 os	 sistemas	 A	 e	 B	 e	 uma	 parede	 diatérmica	 separa	 os	
sistemas	A	 	 e	 C	 e	 	 bem	 com	os	 sistemas	B	 e	 C.	 Portanto	os	 sistemas	A	 e	 C	 atingem	o	 equilíbrio	
térmico,	o	mesmo	acontecendo	com	os	sistemas	B	e	C.	A	experiência	mostra	que	nesta	situação	os	
sistemas	 A	 e	 B	 também	 estão	 ou	 estarão	 em	 equilíbrio	 térmico.	 Daí	 surge	 a	 Lei	 Zero	 da	
Termodinâmica	que	pode	 ser	 anunciada	da	 seguinte	 forma:	dois	 sistemas	 em	equilíbrio	 térmico	
com	um	terceiro	sistema,	estão	também	em	equilíbrio	térmico	entre	si.	
	
(a)	
	
(b)	
Figura	3:	Sistemas	A	e	B	separados	por	uma	parede	adiabática	e	ambos	separados	de	C	por	uma	
parede	diatérmica.	Antes	do	equilíbrio	térmico	(a)	cada	sistema	possui	uma	temperatura	ao	atingir	
o	equilíbrio	térmico	(b)	,	todos	os	sistemas	possuem	mesma	temperatura	T.		
Dito	de	outra	forma:		
Existe	 uma	 grandeza	 escalar	 chamada	 temperatura	 (T)	 que	 é	 uma	 propriedade	 de	 todos	 os	
sistemas	termodinâmicos	em	equilíbrio	térmico.	Dois	sistemas	estão	em	equilíbrio	térmico	se	e	
somente	se	suas	temperaturas	forem	iguais.		
	
Conceito	de	temperatura	
O	conceito	de	 temperatura	está	 intimamente	 relacionado	com	o	estado	de	equilíbrio	 térmico	de	
dois	 sistemas.	Dois	 sistemas	em	equilíbrio	 térmico	 tem	a	mesma	 temperatura.	Ou	 seja,	 se	dois	
sistemas	são	postos	em	contato	suas	variáveis	de	estado	se	modificarão	até	que	ambos	atinjam	a	
mesma	 temperatura.	 Suponhamos	 que	 um	 dos	 sistemas	 seja	 um	 termômetro	 usado	 para	medir	
temperatura.	 Após	 o	 termômetro	 ter	 atingido	 o	 equilíbrio	 térmico	 com	 o	 outro	 sistema,	 o	
termômetro	 terá	 a	 mesma	 temperatura	 que	 o	 outro	 sistema.	 Na	 realidade,	 medimos	 a	
temperatura	do	termômetro!	Sabemos	que	o	outro	sistema	tem	a	mesma	temperatura	porque	ele	
está	em	equilíbrio	térmico	com	o	termômetro.		
A	temperatura	é	uma	medida	da	média	da	energia	térmica	das	partículas	de	uma	substância.	Uma	
vez	que	se	 trata	de	um	valor	médio,	não	depende	do	número	de	partículas	da	substância.	Nesse	
sentido,	 não	 depende	 das	 dimensões	 do	 sistema.	 Por	 exemplo,	 a	 temperatura	 de	 um	 pequeno	
copo	de	água	fervente	é	o	mesmo	que	a	temperatura	de	uma	panela	de	água	fervente.	Mesmo	se	o	
volume	 da	 penela	 for	 muito	 maior	 do	 que	 o	 volume	 do	 copo	 e	 tenha	 milhões	 e	 milhões	 mais	
moléculas	de	água	que	no	copo.	
1.4. Atividades	para	auto	avaliação	
Descrições	Macroscópica	e	Microscópica	da	Termodinâmica	e	Temperatura	
1.4.1 (a)	 Imagine	 um	 balão	 cheio	 de	 gás.	 Como	 seriam	 as	 descrições	 macroscópica	 e	
microscópica	do	gás	dentro	deste	balão?	(b)	Esses	dois	tipos	de	descrição	são	 independentes	
um	do	outro	ou	deve	haver	alguma	relação	entre	eles?	Por	quê?		
A B
C
Ta
Tc
Tb
A B
C
T
T
T
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
6	
1.4.2 (a)	 Quais	 são	 as	 principais	 características	 da	 Termodinâmica?	 (b)	 Ela	 trabalha	 com	
grandezas	macroscópicas	ou	microscópicas?	
Alcance	da	termodinâmica	
1.4.3 Qual	o	significado	do	termo	"sistema"	em	termodinâmica?		
1.4.4 O	que	é	estado	de	um	sistema?	
Temperatura	x	calor		
1.4.5 Qual	é	a	diferença	entre	temperatura	e	calor?		
1.4.6 Como	medir	temperatura?	Como	medir	calor?	Explique!	
1.4.7 Seria	correto	afirmar	em	um	dia	quente	que	“está	fazendo	calor”	?	
Equilíbrio	termodinâmico	e	equilíbrio	térmico	–	temperatura	
1.4.8 O	que	significa	dizer	que	um	sistema	está	em	equilíbrio	termodinâmico?		
1.4.9 Se	dois	sistemas	A	e	B	estão,	cada	um,	em	equilíbrio	termodinâmico	podemos	afirmar	que	
eles	estão	em	equilíbrio	térmico	entre	si?	Por	quê?	
1.4.10 Qual	 é	 a	 relação	 entre	 equilíbrio	 térmico	 e	 a	 definição	 de	 temperatura	 em	 termos	
macroscópicos?		
1.4.11 O	que	diz	a	Lei	Zero?	Como	ela	se	relaciona	com	a	utilização	de	um	termômetro	para	medir	
temperatura?	
1.5. Termômetros	e	escalas	de	temperatura	
Uma	vez	estabelecido	o	conceito	de	temperatura,	faz-se	necessário	estabelecer	meios	de	mensurá-
la.	Para	tanto	usamos	termômetros,	que	são	dispositivos	usados	para	a	medição	de	temperatura.	
Um	termômetro	pode	ser	constituído	de	qualquer	substância	que	tenha	uma	propriedade	variável	
com	a	temperatura	X(T).	Neste	caso,	a	substância	é	identificada	como	substância	termométrica	e	a	
propriedade	 identificada	 como	 propriedade	 termométrica	 porque	 varia	 com	 a	 variação	 da	
temperatura	do	meio	que	está	 inserida.	Como	exemplo	de	propriedades	termométricas	temos:	o	
volume	de	um	liquido	(como	no	termômetro	de	mercúrio	ou	álcool	em	bulbo	de	vidro);	a	pressão	
de	um	gás	mantido	em	volume	constante	 (base	para	o	de	gás	à	volume	constante);	a	 resistência	
elétrica	de	um	fio	metálico	(o	termômetro	de	fio	de	platina);	a	diferença	de	potencial	observada	na	
junções	de	dois	fios	metálicos	(termopar	ou	par	termoelétrico),	variação	da	frequência	natural	com	
temperatura	dos	cristais	ou	mudança	de	cor	com	a	temperatura,	etc.		
Um	bom	termômetro	é	aquele	cuja	propriedade	termométrica	(x)	apresenta	variação	linear	com	a	
temperatura	(T)	na	forma:		
	 𝑇 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏	 (2)	
sendo	a	e	b	constantes	determinadas	no	processo	de	calibração	do	termômetro	de	interesse.		
Todos	termômetros	necessitam	de	uma	escala	de	temperatura	para	cumprir	sua	função.	Em	1742,	
o	astrônomo	sueco	Anders	Celsius	vedou	mercúrio	em	um	pequeno	tubo	capilar	e	observou	como	
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
7	
ele	 se	 movia	 para	 cima	 e	 para	 baixo	 conforme	 a	 temperatura	 mudava.	 Celsius	 selecionou	 dois	
pontos	de	calibração	para	o	seu	dispositivo:	o	ponto	de	congelamento	da	água,	definido	como	0	e	o	
ponto	de	ebulição	normal	da	água	rotulado	como	1001.	Depois	dividiu	ocomprimento	do	tubo	de	
vidro	entre	estes	dois	pontos	de	calibração	em	100	 intervalos	 iguais.	Ao	fazer	 isto	ele	 inventou	a	
escala	 de	 temperatura	 Celsius	 (conhecida	 popularmente	 como	 escala	 centígrada).	 As	 outras	
temperaturas,	fora	dos	2	pontos	de	calibração,	são	deduzidas	por	interpolação	ou	extrapolação.	A	
unidade	da	escala	Celsius	de	temperatura	é	o	"grau	Celsius”	que	é	abreviado	por	°C.	Observe	que	o	
símbolo	°	faz	parte	da	unidade	C	e	não	do	número.	A	escala	Celsius	é	usada	em	praticamente	todos	
os	países	do	mundo	e	em	todas	as	áreas	de	atividade	e	do	conhecimento	da	humanidade.		
Escala	Fahrenheit	
A	 escala	 Fahrenheit	 de	 temperatura	 (amplamente	 usada	 nos	 Estados	 Unidos	 e	 Reino	 Unido)	 é	
também	originalmente	baseada	em	dois	pontos	de	calibração:	o	ponto	de	congelamento	de	uma	
mistura	de	gelo	e	sal	e	a	temperatura	normal	do	corpo	humano.	Esta	escala	define	a	temperatura	
de	congelamento	da	água	como	32	°F	e	a	temperatura	do	ponto	de	ebulição	da	água	como	212	°F.	
A	conversão	entre	as	escalas	Celsius	e	Fahrenheit	é	feita	observando-se	a	correspondência	entre	os	
pontos	de	calibração,	ou	seja,	o	ponto	normal	de	congelamento	(0	°C	=	32	°F)	e	de	ebulição	da	água	
(100	°C	=	212	°F).	Desta	forma,	a	relação	entre	as	escalas	Celsius	e	Fahrenheit	é:		
	 𝑇! = 95 𝑇! + 32	 (3)	
Exemplo	1 O	ganho	de	um	amplificador	a	base	de	transistor	depende	da	temperatura.	O	ganho	de	
um	certo	amplificador	a	20	°C	é	30,0	e	a	55,0	°C	é	35,2.	Se	o	ganho	variasse	linearmente	com	a	
temperatura	neste	intervalo,	qual	seria	o	ganho	a	28,0	°C?	A	figura	abaixo	apresenta	em	termos	
gráficos	a	situação	apresentada	no	enunciando	deste	exemplo:	
	
Pela	análise	da	figura	abaixo	podemos	montar	a	seguinte	expressão:	
	
𝐺 − 3035,2 − 30 = 28 − 2055 − 20	 	
	 𝐺 − 305,2 = 835 ∴ 𝐺 = 31,2	 	
	
Escala	Kelvin	
Uma	 escala	 de	 temperatura	 que	 merece	 uma	 atenção	 especial	 é	 a	 escala	 Kelvin,	 que	 foi	
estabelecida	com	ajuda	do	 termômetro	de	gás	a	volume	constante.	A	definição	dessa	escala	usa	
																																								 																				 	
1	Na	realidade	e	historicamente	Celsius	definiu	100	como	o	ponto	de	congelamento	da	água	e	0	como	o	ponto	de	
ebulição	normal	da	água.	Naturalmente,	isto	não	tira	o	mérito	de	Celsius	por	significativa	contribuição	à	
Termodinâmica	
16 TERMODINÂMICA BÁSICA
32
5
9
+= CF TT (1.2)
Exemplo 3: 2�JDQKR�GH�XP�DPSOLÀFDGRU�D�EDVH�GH�WUDQVLVWRU�GHSHQGH�
GD�WHPSHUDWXUD��2�JDQKR�GH�XP�FHUWR�DPSOLÀFDGRU�j����ƒ&�p������H�D������
ƒ&�p�������6H�R�JDQKR�YDULDVVH�OLQHDUPHQWH�FRP�D�WHPSHUDWXUD�QHVWH�LQWHU�
YDOR��TXDO�VHULD�R�JDQKR�D������ƒ&"
$�)LJ����DSUHVHQWD�HP�WHUPRV�JUiÀFRV�D�VLWXDomR�DSUHVHQWDGD�QR�HQXQ�
FLDQGR�GHVWH�H[HPSOR��3HOD�ÀJXUD�SRGHPRV�PRQWDU�D�VHJXLQWH�H[SUHVVmR��
30 28 20
35,2 30 55 20
G � �
=� �
30 8
5,2 35
G �
=
2,31=G
3RUWDQWR��SDUD�D�WHPSHUDWXUD�GH������ƒ&��R�JDQKR�GR�DPSOLÀFDGRU�VHUi�
DSUR[LPDGDPHQWH�����
 
Fig. 1.5 – Exemplo 3
Exemplo 4:�8P�WHUP{PHWUR�FDOLEUDGR�QD�HVFDOD�&HOVLXV� Or������ƒ&��
4XDQWR�HVWD�WHPSHUDWXUD�YDOH�QD�HVFDOD�)DKUHQKHLW��8VDQGR�D�HTXDomR�������
YRFr�LUi�YHULÀFDU�TXH�D�WHPSHUDWXUD�YDOH�����ƒ)��3RU�IDYRU��FRQÀUD�
8PD�HVFDOD�GH�WHPSHUDWXUD�TXH�PHUHFH�XPD�DWHQomR�HVSHFLDO�p�D�
escala Kelvin�SRUTXH�HOD�XVD�VRPHQWH�XP�SRQWR�GH�FDOLEUDomR�H�WDPEpP�
SRUTXH�D�SDUWLU�GHOD�p�TXH�VH�FRQVLGHUD�D�LPSRUWkQFLD�GR�WHUP{PHWUR�GH�
JiV�D�YROXPH�FRQVWDQWH�XP�LQVWUXPHQWR�IXQGDPHQWDO�SDUD�R�HVWDEHOHFL�
PHQWR�GD�HVFDOD�GH�WHPSHUDWXUD�GR�JiV�LGHDO�H�GD�(VFDOD�,QWHUQDFLRQDO�
GH�7HPSHUDWXUD�
1D�escala Kelvin��TXDQGR�D�WHPSHUDWXUD�IRU���.��DWULEXL�VH�D�SURSULH�
GDGH�WHUPRPpWULFD�[�R�YDORU�]HUR��RX�VHMD��QD�HTXDomR��������E� ���
 axxT =)( (1.3)
'HVWD�IRUPD�JHUDO��Vy�EDVWD�XP�SRQWR�GH�PHGLGD�SDUD�FDOLEUDU�R�SRV�
VLYHO�WHUP{PHWUR�QD�HVFDOD�.HOYLQ��SRU�H[HPSOR��HP�XP�SRQWR�3�TXDOTXHU��D�
a = Tp/Xp��RX�VHMD��
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
8	
somente	um	ponto	de	calibração.	Em	outras	palavras,	na	escala	Kelvin,	quando	a	temperatura	for	0	
K,	atribui-se	a	propriedade	termométrica	x	usada	para	defini-la	o	valor	zero,	ou	seja,	na	equação	
(2),	b	=	0	
	 𝑇 𝑥 = 𝑎𝑥	 (4)	
Desta	forma	geral,	basta	um	ponto	de	medida	para	calibrar	o	possível	termômetro	na	escala	Kelvin,	
por	exemplo,	em	um	ponto	P	qualquer,	𝑎 = 𝑇! 𝑋!,	ou	seja,	
	 𝑇 𝑥 = 𝑇! 𝑋! 𝑥	 (5)	
Por	 acordo	 decorrente	 das	 reuniões	 das	 Conferencias	 Internacionais	 de	 Pesos	 e	 Medidas	 ficou	
estabelecido	 que	 o	 ponto	 de	 calibração	 da	 escala	 Kelvin	 é	 o	 ponto	 tríplice	 da	 água,	 isto	 é,	 a	
temperatura	onde	o	 gelo,	 a	 água	e	o	 vapor	de	 água	 coexistem	em	equilíbrio	 termodinâmico	e	 a	
constante	da	equação	 (4)	é	estabelecida	por	𝑎 = 𝑇!" 𝑋!".	Desta	 forma,	por	acordo	 internacional,	
ficou	estabelecido	que	Ttr	=273,16	K	=	0,01	°C.	Voltando	à	equação	(4),	273,16	K	=	a	Xtr	ou	seja	
	 𝑇 𝑥 = 273,16 𝑋 𝑋!" 	 (6)	
Xtr	 é	 o	 valor	 da	 propriedade	 termométrica	 no	 ponto	 tríplice	 da	 água.	 A	 temperatura	 dada	 pela	
equação	(6)	vale	apenas	para	uma	determinada	propriedade	termométrica	X.	Outras	propriedades	
levam	à	diferentes	leituras	de	temperatura.	A	unidade	da	escala	Kelvin	é	o	“Kelvin",	abreviado	por	
K.	 Atualmente	 não	 se	 usa	mais	 dois	 pontos	 fixos	 para	 definir	 a	 escala	 Celsius.	 A	 escala	 Kelvin	 é	
definida	e	a	relação	entre	as	temperaturas	Tc	(Celsius)	e	Tk	(Kelvin)	é	estabelecida	pela	equação	
	 𝑇! = 𝑇! − 273,15	 (7)	
Os	pontos	de	congelamento	e	ebulição	da	água	são	medidos	em	Kelvin	e	depois	convertidos	para	
Celsius,	sendo	o	ponto	de	congelamento	273,15	K	ou	0,00	°C	e	o	ponto	de	ebulição	373,16	K	,	ou	
seja	99,98	°C.	
Exemplo	2 A	resistência	de	um	certo	fio	de	platina	aumenta	por	um	fator	de	1,392	entre	o	ponto	
tríplice	e	o	ponto	normal	de	ebulição	da	água.	Ache	a	temperatura	de	ebulição	da	água	quando	se	
utiliza	um	termômetro	de	resistência	de	platina	𝑇 𝑅 = 273,16 𝑅 𝑅!" = 273,16 ×1,392 = 380,2 𝐾 	
ou	seja,	este	termômetro	indicaria	uma	temperatura	de	ebulição	da	água	de	107,05	oC,	valor	acima	
do	valor	de		99,98	oC	experimentalmente	aceito	para	esta	propriedade.	Isto	nos	leva	a	concluir	que	
a	resistência	do	fio	de	platina	em	questão,	não	varia	linearmente	com	a	temperatura.	
	
Exemplo	3 	Quando	 em	 equilíbrio	 térmico	 no	 ponto	 triplo	 da	 água,	 a	 pressão	 do	 He	 em	 um	
termômetro	a	gás	de	volume	constante	é	1020	Pa.	A	pressão	do	He	é	288	Pa	quando	o	termômetro	
está	 em	 equilíbrio	 térmico	 com	 o	 nitrogênio	 líquido	 em	 seu	 ponto	 normal	 de	 ebulição.	 Qual	 é	
ponto	normal	de	ebulição	do	nitrogênio	obtido	com	este	termômetro?	
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
9	
	 𝑇 𝑅 = 273,16 2881020 = 77,13 𝐾 	 	
	
Valores	de	temperaturas	típicas	nas	escalas	Celsius,	Kelvin	e	Fahrenheit	são	mostrados	na	Tabela	1.	
Tabela	1:	Temperaturas	de	algumas	substâncias	e	processos	nas	escalas	Celsius	(oC)	,	Kelvin	(K)	e	
Fahrenheit	(oF).	
Substância	 Temperaturas	
	 oC	 K	 oF	
Ebulição	da	Água	(fervura)	 100	 373,125	 212	
Corpo	humano	 37,0	 310,2	 98,6	
Fusão	da	Água	(congelamento)	 0,00	 273,15	 32,0	
Ponto	triplo	da	água	 0,01	 273,16	 32,0	
L	Ebulição	do	Nitrogênio	 -196	 77	 -321	
Zero	absoluto	 -273,15	 0	 -459,67	
°F	=	1.8°C	+	32		 	 	 K	=	°C	+	273.15	
1.6. Atividades	para	auto	avaliação	
Termometria	
1.6.1 (a)	 Se	 alguém	medisse	 a	 sua	 temperatura	 com	 a	mão	 e	 lhe	 dissesse	 que	 você	 está	 com	
febre,	 você	 tomaria	 ou	 não	 um	 antitérmico?	 (b)	 Como	 você	 mediria	 a	 temperatura	 de	 um	
corpo?		
1.6.2 (b)	 O	 que	 é	 propriedadetermométrica?	 (b)	 Quais	 características	 tornam	 uma	 certa	
propriedade	termométrica	apropriada	para	a	utilização	em	um	termômetro	prático?		
1.6.3 Qual	 é	 a	 diferença	 entre	 as	 temperaturas	 medidas	 pelas	 escalas	 Celsius,	 Fahrenheit	 e	
Kelvin?	
1.6.4 (a)	 Há	 alguma	 temperatura	 na	 qual	 coincidem	 as	 medidas	 feitas	 na	 escala	 Kelvin	 e	 na	
escala	Celsius?	(b)	E	entre	a	escala	Kelvin	e	a	escala	Fahrenheit?	(c)	E	entre	a	escala	Fahrenheit	
e	a	escala	Celsius?	
1.7. Termômetro	a	gás	a	volume	constante	
Idealmente	 a	 temperatura	 de	 um	 sistema	 deveria	 ter	 um	 valor	 bem	 definido	 independente	 da	
propriedade	 usada	 para	 medi-la.	 A	 pergunta	 é	 saber	 qual	 é	 o	 instrumento	 ou	 termômetro	 que	
preencha	este	requerimento.	Será	mostrado	abaixo	que	o	termômetro	de	gás	a	volume	constante	
satisfaz	esta	 condição,	 e	que	gases	 ideais	 são	 substâncias	 termométricas	padrão.	Por	 razões	que	
serão	 discutidas	 a	 seguir,	 a	 pressão	 será	 a	 propriedade	 termométrica	 escolhida	 para	 este	
termômetro.		
Pela	 lei	dos	gases	 ideais,	que	relaciona	as	variáveis	de	estado	pressão,	volume	ocupado	pelo	gás,	
número	de	partículas	do	gás	e	temperatura	mostrada	na	equação	(8),	verificamos	que	se	o	volume	
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
10	
do	 gás	 for	 mantido	 constante,	 a	 pressão	 neste	 termômetro	 dependerá	 linearmente	 da	
temperatura.	
	 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇	 (8)	
Na	Figura	 4	 é	 apresentado	o	 termômetro	de	 gás	 à	 volume	 constante.	 Ele	 consiste	de	um	bulbo,	
contendo	um	gás	qualquer,	ligado	por	um	tubo	capilar	conectado	a	um	manômetro	de	mercúrio.	O	
bulbo	de	quartzo,	vidro,	platina	ou	outro	material	(dependendo	do	intervalo	de	temperatura	a	ser	
medida)	é	colocado	no	banho	ou	ambiente	cuja	temperatura	deseja-se	conhecer.	Abaixando-se	ou	
levantando-se	o	reservatório	de	mercúrio	obriga-se	a	o	nível	do	mercúrio	a	coincidir	com	a	marca	
de	 referência	 forçando	 o	 gás	 no	 interior	 do	 termômetro	 a	 permanecer	 sempre	 com	 o	 volume	
constante.		
	
Figura	4:	(a)	Termômetro	de	gás	a	volume	constante	
A	diferença	de	pressão	do	gás	P	e	da	pressão	atmosférica	Po	é	indicada	pela	diferença	de	altura	da	
coluna	de	mercúrio	h	na	escala.	Ou	seja,		
	 𝑃 − 𝑃! = 𝜌.𝑔. ℎ	 (9)	
Sendo	ρ	a	densidade	do	mercúrio,	g	a	aceleração	da	gravidade.	O	bulbo	contendo	gás	é	colocado	
no	 banho	 a	 temperatura	 T.	 Levantando-se	 ou	 abaixando-se	 o	 reservatório	 de	mercúrio,	 faz-se	 o	
nível	 de	 mercúrio	 coincidir	 com	 o	 ponto	 O,	 como	 já	 dito.	 Supondo	 que	 todas	 as	 correções	 de	
experimentais	 sejam	feitas	 (como	por	exemplo,	 levar	em	conta	a	variação	do	volume	do	bulbo	e	
que	 nem	 todo	 o	 gás	 no	 capilar	 está	 imerso	 no	 bulbo,	 etc.)	 a	 pressão	 absoluta	 P	 fornecerá	 a	
temperatura	pela	expressão:	
	 𝑇 𝑝 = (273,16𝐾) 𝑃 𝑃!" ! 	 (10)	
onde	o	índice	V	indica	que	o	volume	do	gás	é	mantido	constante.		
Iremos	a	seguir	fazer	uma	simulação	de	como	se	determina	a	temperatura	T	de	um	banho	usando	
este	termômetro.	Suponhamos	que	no	termômetro	haja	certa	quantidade	de	gás	(por	exemplo	N2)	
a	certa	pressão.		
Gás
Altura (h)
Fonte de calor
Temômetro
Banho 
térmico
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
11	
1. Coloca-se	o	 termômetro	de	N2	em	água	no	ponto	 triplo	e	 ajusta-se	 sua	pressão	para	80	
cmHg,	 isto	 é,	 Ptr	 =	 80	 cmHg	 acima	 de	 Po.	 Este	 ajuste	 de	 pressão	 é	 feito	 retirando	 ou	
adicionando	nitrogênio	ou	no	interior	do	termômetro.	
2. A	seguir,	leva-se	o	termômetro	ao	banho	onde	se	quer	medir	a	temperatura	T.	Espera-se	o	
equilíbrio	 térmico	e	a	seguir	 levanta-se	ou	abaixa-se	a	coluna	de	mercúrio	até	o	nível	do	
mercúrio	coincidir	com	o	ponto	0,	isto	garante	o	volume	constante	do	gás	no	termômetro.	
Quando	 o	 equilíbrio	 for	 atingido,	 a	 nova	 pressão	 pode	 ser	 calculada	 usando	 o	 valor	 da	
coluna	de	h	e	a	expressão	(9).	Por	exemplo,	calcula-se	P	(Ptr	=	80	cmHg)	=	109,334	cmHg.	
Assim,	pela	equação	(10)	temos:	
	 𝑇 𝑃 = 273,16𝐾 109,334 80 ! = 373,32 𝐾	 	
3. Retorna-se	o	termômetro	em	água	no	ponto	tríplice	e	ajusta-se	a	pressão	à	40	cmHg,	isto	
é,	Ptr	=	40	cmHg	acima	de	Po.	Como	anteriormente	 isto	é	obtido	 retirando	nitrogênio	do	
interior	do	termômetro	até	o	ponto	triplo	da	água	a	pressão	atingir	40	cmHg.	
4. A	seguir,	leva-se	o	termômetro	ao	banho	onde	a	temperatura	T	será	medida.	Espera-se	o	
equilíbrio	térmico,	e	a	seguir	 levanta-se	ou	abaixa-se	a	coluna	de	mercúrio	até	o	nível	do	
mercúrio	coincidir	com	o	ponto	0,	isto	garante	o	volume	constante	do	gás	no	termômetro.	
A	nova	pressão	pode	ser	calculada	usando	o	novo	valor	da	coluna	de	h	e	a	expressão	(9).	
Por	exemplo,	calcula-se	P(Ptr	=	40	cmHg)	=	54,65	cmHg.	Assim,	pela	equação	(10)	temos:	
	 𝑇 𝑃 = 273,16𝐾 54,65 40 ! = 373,20 𝐾	 	
5. Repete-se	o	item	3	para	Ptr	=	20	cmHg	
6. Repete-se	o	item	4	obtendo	P	(Ptr	=	20	cmHg)	=	27,323	cmHg	.	Pela	equação	(10)	teremos:	
	 𝑇 𝑃 = 273,16𝐾 27,323 20 ! = 373,18 𝐾	 	
Repetindo-se	o	processo	para	novas	pressões,	colocando-se	os	pontos	em	um	gráfico	(Figura	5)	e	
extrapolando	 para	 a	 situação	 onde	 Ptr	 =	 0	 (ou	 seja	 P	 =	 Po)	 encontra-se	 o	 valor	 verdadeiro	 para	
temperatura	T.	Neste	caso,	como	mostrado	no	gráfico,	T	=	373,15	K	(ponto	de	ebulição	da	água).	
	
Figura	5:	(a)	Termômetro	de	gás	a	volume	constante	usando	diferentes	gases	(O2,	N2	e	H2)	para	
medição	da	temperatura.	
A	escala	de	temperatura	construída	com	ajuda	do	termômetro	de	gás	a	volume	constante	depende	
das	 propriedades	 dos	 gases	 ideais	 (Equação	 (8))	 mas	 não	 das	 propriedades	 químicas	 dos	 gases	
(desde	 que	 estes	 se	 comportem	 de	 acordo	 com	 a	 equação	 dos	 gases	 ideais).	 A	 escala	 Kelvin	 é	
independente	de	qualquer	propriedade	de	qualquer	 substância	particular.	Por	 isso,	é	uma	escala	
20 TERMODINÂMICA BÁSICA
Fig. 1.7 - Termometro de gás à volume constante usando hidrogênio, nitrogênio ou oxigê-
QLR�FRPR�ÁXLGR�GH�VXD�RSHUDomR�
$�HVFDOD�GH�WHPSHUDWXUD�UHVSHLWDGD�SHOR�WHUP{PHWUR�GH�JiV�D�YROXPH�
FRQVWDQWH�p�a escala de temperatura de gás ideal��TXH�p�D�PHVPD�HVFDOD�
.HOYLQ��GHÀQLGD�SHOD�VHJXLQWH�H[SUHVVmR�
 ( )
tr
Ptr P
PKT
0
lim16,273
o
˜= (V constante) (1.9)
3HOR� IDWR�GHVWHV� WHUP{PHWURV�QD� FRQGLomR�GH�SUDWLFDPHQWH�QHQKXP�
JiV�HP�VHX�LQWHULRU�FRQFRUGDUHP�HP�TXDOTXHU�WHPSHUDWXUD�FRPR�YLVWR�QD�
)LJXUD�����HOHV�VHUYHP�SDUD�GHÀQLU�H�PHGLU�WHPSHUDWXUD�FRP�D�PHOKRU�SUH�
FLVmR�SRVVtYHO�H�EDVLFDPHQWH�SRU�FDXVD�GLVWR�VmR�HVFROKLGRV�FRPR�termô-
metros padrões.
0HVPR�VHQGR�WHUP{PHWUR�TXH�LQGHSHQGHQWH�GR�JiV�XVDGR�HOH�GHSHQGH�
GDV�SURSULHGDGHV�GRV�JDVHV�HP�JHUDO��SURSULHGDGHV�HVWDV�UHSUHVHQWDGDV�SHOR�
FKDPDGR�JiV�LGHDO�TXH�VHUi�HVWXGDGR�QR�FDSLWXOR�VHJXLQWH�
3DUD�VH�PHGLU�WHPSHUDWXUD�PXLWR�EDL[D��GLJDPRV�GD�RUGHP���.�p�SUH�
FLVR�XVDU�R�KpOLR�FRPR�JiV�GH� WUDEDOKR�SRUTXH�R�KpOLR�p�R�~QLFR�JiV�TXH�
SHUPDQHFH�QD�IRUPD�JDVRVD�j�EDL[D�SUHVVmR�QHVWD�WHPSHUDWXUD��FRORFDQGR�
DVVLP�R�OLPLWH�DWp�RQGH�HVWH�WLSR�GH�WHUP{PHWUR�SRGH�RSHUDU�
1.3. Dilatação térmica
$�GLODWDomR�WpUPLFD�SRGH�VHU�FRPSUHHQGLGD��LPDJLQDQGR�D�HVWUXWXUD�
GH�XP�VyOLGR�FULVWDOLQR��2V�iWRPRV�VmR�PDQWLGRV� MXQWRV�HP�XP�DUUDQMR�
UHJXODU�SRU�IRUoDV�HOpWULFDV��FRPR�VH�IRVVHP�XP�FRQMXQWR�GH�PRODV�OLJD�
GDV�HQWUH�HOHV��(P�XP�FPó�Ki�FHUFD�GH������´PRODVµ��2V�iWRPRV�GH�XPD�
HVWUXWXUD�VyOLGD�FULVWDOLQD�FRPR�HVWD�YLEUD�HP�FHUFD�GH������+]�HP�XPD�
DPSOLWXGH�GD� RUGHP�GH�������P�� TXH� p� DSUR[LPDGDPHQWH�XP�GpFLPR�GR�
GLkPHWUR�GR�iWRPR��
4XDQGR�D�WHPSHUDWXUD�DXPHQWD��RV�iWRPRV�YLEUDP�FRP�DPSOLWXGHV�
PDLRUHV�H�VXD�GLVWDQFLD�PpGLD�DXPHQWD��,VWR�OHYD�D�XPD�GLODWDomR�GH�WRGR�R�
FRUSR�VyOLGR��$�YDULDomR�GH�TXDOTXHU�GLPHQVmR�OLQHDU�GR�VyOLGR��FRPR�FRP�SULPHQWR��ODUJXUD�RX�HVSHVVXUD�p�FKDPDGD�GH�GLODWDomR�OLQHDU.
3RU�H[SHULPHQWDomR�REVHUYD�VH�TXH�D�GLODWDomR� OLQHDU�GH�XP�FRUSR��
FDUDFWHUL]DGD�SHOD�YDULDomR�¨/�QR�VHX�FRPSULPHQWR�/�p�GLUHWDPHQWH�SURSRU�
FLRQDO�DR�SUySULR�FRPSULPHQWR�/�FRPR�WDPEpP�j�YDULDomR�GH�WHPSHUDWXUD�
¨7�FRUUHVSRQGHQWH��RX�VHMD���TXDQGR�¨7�IRU�VXÀFLHQWHPHQWH�SHTXHQR��
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
12	
absoluta.	 A	 escala	 Kelvin	 e	 a	 escala	 do	 termômetro	 de	 gás	 a	 volume	 constante	 são	 idênticas	 no	
intervalo	de	temperatura	em	que	este	termômetro	pode	ser	usado,	senda	definida	por:	
	 𝑇 𝑃 = (273,16𝐾) lim!!"→! 𝑃 𝑃!" ! 	 (11)	
Termômetros	 de	 gás	 a	 volume	 constante,	mesmo	 com	uma	pequena	quantidade	de	 gás	 em	 seu	
interior,	 indicam	 a	 temperatura	 do	 sistema	 com	o	 qual	 estão	 em	equilíbrio	 térmico	 com	 grande	
precisão	e,	por	isto,	são	escolhidos	como	termômetros	de	referência	.	Para	se	medir	temperaturas	
muito	baixas,	digamos	da	ordem	1	K	é	preciso	usar	o	hélio	como	gás	de	trabalho	porque	o	hélio	é	o	
único	 gás	 que	 permanece	 na	 forma	 gasosa	 em	 baixa	 pressão	 nesta	 temperatura,	 estabelecendo	
assim	o	limite	no	qual	o	termômetro	gás	a	volume	constante	pode	operar.	
1.8. Atividades	para	auto	avaliação	
Termômetro	de	gás	a	volume	constante	
1.8.1 O	gráfico	da	figura	abaixo,	representa	as	temperaturas	obtidas	com	um	termômetro	de	gás	
a	volume	constante	cujo	bulbo	está	imerso	em	água	em	ebulição.	Gases	diferentes	são	usados,	
cada	um	com	uma	densidade	diferente,	como	indicado	pelo	eixo	horizontal	que	representa	a	
pressão	no	ponto	triplo	da	água	(Ptr)		
	
Responda:	
	a)	 Que	 valor	 será	 obtido	 para	 a	 temperatura	 do	 ponto	 de	 ebulição	 da	 água	 se	 for	 usado	 um	
termômetro	 de	 gás	 a	 volume	 constante	 que	utiliza	 ar	 e	 que	 contém	ar	 suficiente	 para	 que	 Ptr	 =	
80cmHg?	Esse	valor	corresponde	à	temperatura	absoluta?		
b)	 Qual	 seria	 a	 leitura	 do	 termômetro	 se	 fosse	 retirado	 um	 pouco	 de	 ar,	 de	 forma	 que	 Ptr	 =	
20cmHg?		
1.8.2 Qual	o	valor	da	temperatura	absoluta	do	ponto	de	ebulição	da	água?		
1.8.3 Por	 que	 um	 termômetro	 de	 gás	 a	 volume	 constante	 permite	 a	 definição	 de	 uma	 escala	
termométrica	absoluta?		
	
Unidade 1: Equilíbrio térmico, Temperatura e Dilatação 
 
______ 
Fundamentos de Termodinâmica - 10/05/15 
1.4.7 Seria correto afirmar em um dia quente que “está fazendo calor” ? 
EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO E EQUILÍBRIO TÉRMICO – TEMPERATURA 
1.4.8 O que significa dizer que um sistema está em equilíbrio termodinâmico? 
1.4.9 Se dois sistemas A e B estão, cada um, em equilíbrio termodinâmico podemos afirmar 
que eles estão em equilíbrio térmico entre si? Por quê? 
1.4.10 Qual é a relação entre equilíbrio térmico e a definição de temperatura em termos 
macroscópicos? 
1.4.11 O que diz a Lei Zero? Como ela se relaciona com a utilização de um termômetro para 
medir temperatura? 
TERMOMETRIA 
1.4.12 (a) Se alguém medisse a sua temperatura com a mão e lhe dissesse que você está 
com febre, você tomaria ou não um anti-térmico? (b) Como você mediria a temperatura de 
um corpo? 
1.4.13 (b) O que é propriedade termométrica? (b) Quais características tornam uma certa 
propriedade termométrica apropriada para a utilização em um termômetro prático? 
1.4.14 Qual é a diferença entre as temperaturas medidas pelas escalas Celsius, Fahrenheit e 
Kelvin? 
1.4.15 (a) Há alguma temperatura na qual coincidem as medidas feitas na escala Kelvin e na 
escala Celsius? (b) E entre a escala Kelvin e a escala Fahrenheit? (c) E entre a escala 
Fahrenheit e a escala Celsius? 
TERMÔMETRO DE GÁS A VOLUME CONSTANTE 
1.4.16 O gráfico da figura abaixo, representa as temperaturas obtidas com um termômetro de 
gás a volume constante cujo bulbo está imerso em água em ebulição. Gases diferentes são 
usados, cada um com uma densidade diferente, como indicado pelo eixo horizontal que 
representa a pressão no ponto triplo da água (Ptr) 
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
13	
1.9. Dilatação	térmica	
A	dilatação	térmica	pode	ser	compreendida	analisando	a	estrutura	atômica	de	um	sólido	cristalino.	
Em	 um	 sólido,	 os	 átomos	 são	 mantidos	 juntos	 em	 um	 arranjo	 regular	 por	 forças	 elétricas.	 As	
propriedades	 deste	 arranjo	 são	 semelhantes	 às	 de	 uma	 rede	 composta	 de	 massas	 e	 molas	
mostrada	 na	 Figura	 6a.	 Existem	 da	 ordem	 de	 1023	 átomos	 e	molas	 em	 1	 cm3	 de	 um	 sólido.	 Os	
átomos	de	uma	estrutura	sólida	cristalina	como	esta	vibram	com	frequência	de	1013	Hz	e	amplitude	
da	ordem	de	10-11	m,	que	é	aproximadamente	um	décimo	do	diâmetro	do	átomo	(o	raio	atômico	é	
da	 ordem	 de	 10-10	 m).	 Quando	 a	 temperatura	 do	 sólido	 aumenta,	 a	 distância	 média	 entre	 os	
aumenta	(Figura	6b)	e	isto	leva	a	uma	dilatação	de	todo	o	sólido.	A	variação	de	qualquer	dimensão	
linear	do	sólido,	como	comprimento,	largura	ou	espessura,	é	chamada	de	dilatação	linear.	
 	
Figura	6:	(a)	Podemos	visualizar	as	forças	entre	átomos	vizinhos	em	um	sólido	imaginando-os	
ligados	por	molas	que	apresentam	constantes	elásticas	distintas	para	a	compressão	e	para	o	
alongamento.	É	mais	fácil	dilatar	um	sólido	que	comprimi-lo.	(b)	Gráfico	da	energia	potencial	pela	
distância	entre	dois	átomos	vizinho,	mostrando	que	as	forças	não	são	simétricas.	E3	>	E2	>	E1	e	
portanto	T3	>	T2	>	T1.	
Por	experimentação	observa-se	que	a	dilatação	linear	de	um	corpo,	caracterizada	pela	variação	ΔL	
no	 seu	 comprimento	Lo	 é	diretamente	proporcional	 ao	próprio	 comprimento	Lo	 como	 também	à	
variação	de	temperatura	ΔT	correspondente,	conforme	mostrado	na	Figura	7.	
	
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
14	
Figura	7:	Como	o	comprimento	de	uma	barra	de	comporta	com	a	variação	da	temperatura.	As	
variações	de	comprimento	foram	exageradas	para	facilitar	a	visibilidade.		
Ou	seja,	se	ΔT	for	suficientemente	pequeno:	
	
∆𝐿 = 𝛼𝐿!∆𝑇 	𝐿 = 𝐿!(1 + 𝛼∆𝑇) 	 (12)	
sendo	 α	 o	 coeficiente	 de	 dilatação	 linear,	 uma	 caracteristica	 própria	 de	 cada	 material.	 O	
coeficiente	de	dilatação	linear	é	precisamente	estimado	por:	
	 𝛼 = ∆𝐿/𝐿! !/∆𝑇 	 (13)	
o	 qual	 corresponde	 à	 variação	 fracionária	 do	 comprimento	 por	 variação	 de	 intervalo	 de	
temperatura	na	escala	adotada	à	pressão	(P)	constante.	Na	realidade,	α	deveria	ser	tomado	ponto	
a	ponto	na	temperatura	da	medição	e	da	temperatura	escolhida	para	se	determinar	L,	entretanto	a	
variação	é	desprezível	quando	comparada	com	a	precisão	em	que	os	comprimentos	são	medidos.	
Normalmente	assume-se	um	valor	médio	para	uma	faixa	de	temperatura	de	interesse.	Na	Tabela	2	
são	apresentados	os	coeficientes	de	dilatação	linear	médios	para	algumas	substâncias,	no	intervalo	
de	temperatura	entre	0	°C	a	100	°C.	
Tabela	2:	Coeficiente	de	dilatação	linear	de	algumas	substâncias	no	intervalo	entre	0	e	100	oC.	
Substância	 α × 10
-6	(1/oC)	
Chumbo	 29	
Alumínio	 23	
Latão	 19	
Cobre	 17	
Aço	 11	
Vidro	 9	
	
Exemplo	4 Uma	barra	feita	com	uma	liga	de	alumínio	mede	10	cm	a	20	°C	e	10,015	cm	no	ponto	de	
ebulição	da	água.	(a)	Qual	seu	comprimento	no	ponto	de	congelamento	da	água?	(b)	Qual	sua	
temperatura,	se	seu	comprimento	final	for	10,009	cm?	Determinaremos	inicialmente	o	valor	de	α	
	 𝛼 = ∆𝐿𝐿!∆𝑇 = (10,015 − 10)100 − 20 = 1,88 × 10!! °𝐶!!	 	
(a)	no	ponto	de	congelamento	T	=	0	oC	
	 𝐿 = 𝐿!(1 + 𝛼∆𝑇) 	 		
	 𝐿 = 10(1 + 1,88 × 10!!× 0 − 20 = 9,9962 𝑐𝑚 	 		
(b)	Se	o	comprimento	final	é	10,009	cm	
	 𝐿 − 𝐿! = 𝐿!𝛼∆𝑇 	 		
Unidade	1:	Equilíbriotérmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
15	
	 10,009 − 10 = 10× 1,88 × 10!!× 𝑇! − 20 	 		
	 𝑇! = 67.9 °𝐶	 		
	
	
Usando	a	mesma	metodologia	de	dedução	da	equação	(13)	para	um	corpo	isotrópico	(situação	em	
que	suas	grandezas	físicas	variam	igualmente	em	qualquer	direção),	a	variação	da	área	em	função	
da	variação	da	temperatura	é	dada	por:		
	
∆𝐴 = 𝛾𝐴!∆𝑇 	𝐴 = 𝐴! 1 + 𝛾∆𝑇 ; 𝛾 = 2𝛼	 (14)	
A	variação	do	volume	para	um	corpo	isotrópico	em	função	da	variação	da	temperatura	é	dada	por:	
	
∆𝑉 = 𝛽𝑉!∆𝑇 	𝑉 = 𝑉! 1 + 𝛽∆𝑇 , 𝛽 = 3𝛼	 (15)	
O	 coeficiente	 de	 dilatação	 volumétrica	 β ,também	 conhecido	 como	 coeficiente	 de	 expansão	
volumétrica	para	gases	e	líquidos,	é	dados	por	
	 𝛽 = ∆𝑉/𝑉! !/∆𝑇 	 (16)	
o	qual	corresponde	à	variação	fracionária	do	volume	por	variação	de	intervalo	de	temperatura	na	
escala	adotada	à	pressão	(P)	constante.	
Exemplo	5 Um	cubo	de	latão	(α	latão	=	1,9	x	10-5	°C-1)	tem	aresta	de	30	cm.	Qual	o	acréscimo	em	
sua	área,	se	a	temperatura	subir	de	20	para	75	°C?		
	
∆𝐴 = 𝛾𝐴!∆𝑇 = 2𝛼𝐴!∆𝑇	∆𝐴 = 2 ∙ 1,9 × 10!! ∙ 0,3 ×0,3 ∙ 75 − 20 	∆𝐴 = 1,88 × 10!!𝑚!	 	
Se	uma	aresta	aumenta	sua	área	de	2,0	×10-4	m2	o	cubo	(6	faces)	aumentará	sua	área	de	12	×10-4	
m2	
	
A	maioria	dos	materiais	sofre	dilatação	quando	aquecidos	e	sofre	contração	quando	resfriados.	A	
exceção	mais	notável	desta	regra	é	a	água.	Conforme	mostrado	na	Figura	8,	acima	de	4	°C	a	água	se	
dilata	e	no	intervalo	de	4	°C	para	0	°C	(no	sentido	de	4	°C	para	0	°C)	a	água	também	se	expande,	
caracterizando	 assim	 a	 anomalia	 da	 dilatação	 térmica	 da	 água.	 Esta	 característica	 tem	
consequências	importantes.		Em	temperaturas	acima	de	4	°C,	a	água	se	torna	mais	densa	enquanto	
é	resfriada	e,	portanto,	afunda.	Porém,	ao	ser	resfriada	abaixo	de	4	°C,	ela	se	torna	menos	densa	e	
sobe	à	superfície.	Esta	é	a	razão	pela	qual	o	gelo	se	forma	primeiro	na	superfície	de	um	lago	ou	rio.	
A	água	também	se	expande	quando	congela.	Como	o	gelo	é	menos	denso	do	que	a	água	 liquida,	
ele	permanece	na	superfície	e	atua	como	uma	camada	isolante	para	a	água	que	está	abaixo.	Se	a	
água	se	comportasse	como	a	maioria	das	substâncias	e	contraísse	enquanto	congela,	então	o	gelo	
afundaria	e	deixaria	mais	água	exposta	na	superfície,	para	ser	congelada.	Os	lagos	se	encheriam	de	
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
16	
gelo	 do	 fundo	 para	 cima	 e	 seria	 muito	 provável	 que	 congelassem	 completamente	 no	 inverno	
principalmente	 nos	 extremos	dos	 hemisférios	 norte	 e	 sul	 da	 Terra.	Obviamente	o	 congelamento	
completo	de	lagos	e	rios,	poderia	inviabilizar	a	vida	em	sistemas	aquosos	nestas	latitudes.	
Existe	um	grande	interesse	tecnológico	nas	áreas	de	engenharia,	fotônica,	eletrônica	e	aplicações	
estruturais,	por	materiais	que	apresentam	coeficiente	de	dilatação	térmica	negativos.	Por	exemplo,	
misturando	um	material	de	dilatação	térmica	negativa	com	um	material	"normal",	que	se	expande	
com	o	aquecimento,	seria	possível	obter	um	material	compósito	de	expansão	térmica	nula.	Como	a	
expansão	 térmica	 causa	 muitos	 problemas	 na	 engenharia,	 e	 de	 fato	 na	 vida	 cotidiana,	 existem	
muitas	 aplicações	 potenciais	 para	 materiais	 apresentando	 expansão	 térmica	 controlada.	 Um	
exemplo	 simples	 de	 um	 problema	 de	 expansão	 térmica	 é	 a	 tendência	 da	 obturação	 dentária	 se	
expandir	de	uma	quantidade	diferente	daquela	observada	nos	dentes,	por	exemplo,	ao	 se	beber	
uma	bebida	quente,	causando	dor	de	dentes.	Se	obturações	dentárias	foram	feitas	de	um	material	
compósito	 contendo	 uma	 mistura	 de	 materiais	 com	 expansão	 térmica	 positiva	 e	 negativa,	 a	
expansão	do	compósito	poderia	ser	precisamente	ajustada	à	do	esmalte	do	dente.		
	
Figura	8:	O	volume	de	um	grama	de	água	aumenta	de	1,000	cm3	a	0	oC	para	1,034	cm3	a	100	oC.	
Entretanto	1	g	de	água	atinge	seu	menor	volume	e	portanto	maior	densidade	a	4	oC	.	Observe	que	
entre	a	0	e	4	oC	o	volume	da	água	não	varia	linearmente	com	a	temperatura.		
Um	dos	materiais	mais	estudados	por	exibir	expansão	térmica	negativa	é	o	Tungstato	de	Zircônio	
(ZrW2O8).	Este	composto	se	contrai	continuamente	em	intervalo	de	temperatura	entre	0,3-1050	K	
(a	 temperaturas	 mais	 elevadas	 o	 material	 se	 decompõe).	 Outros	 materiais	 que	 exibem	 este	
comportamento	incluem	outros	membros	da	família	AM2O8	e	A2(MO4)3,	em	que	A	=	Zr	ou	Hf,	M	=	
Mo	ou	W,	e	ZrV2O7.	Gelo	comum	apresenta	dilatação	térmica	negativo	em	suas	fases	hexagonal	e	
cúbica	em	temperaturas	muito	baixas	(abaixo	de	-200	°C).	Quartzo	e	uma	série	de	zeólitas	também	
apresentam	coeficiente	de	dilatação	térmica	negativos	sobre	certas	 faixas	de	temperatura.	Silício	
puro	apresenta	coeficiente	de	dilatação	térmica	negativo	para	temperaturas	entre	cerca	de	18	K	e	
120	 K.	 Borracha	 apresenta	 coeficiente	 de	 dilatação	 térmica	 negativa	 em	 temperaturas	 normais,	
mas	 a	 razão	 para	 o	 efeito	 é	 bastante	 diferente	 do	 que	 na	maioria	 dos	 outros	materiais.	 Para	 a	
borracha,	 à	 medida	 que	 as	 longas	 cadeias	 de	 polímero	 absorvem	 a	 energia	 elas	 adoptam	 uma	
configuração	mais	contorcida,	reduzindo	o	volume	do	material.	
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
17	
	
Figura	9:	Variação	relativa	do	volume	do	ZrW2O	com	o	aumento	da	temperatura.		
1.10. Atividades	para	auto	avaliação	
Dilatação	térmica	
1.10.1 Explique,	em	termos	microscópicos,	por	que	os	materiais	podem	sofrer	dilatação	quando	
sua	temperatura	é	variada?		
1.10.2 A	equação	∆𝐿 = 𝛼𝐿!∆𝑇	expressa	a	variação	do	comprimento	com	a	temperatura.	Obtenha	
as	equações	∆𝐴 = 2𝛼𝐴!∆𝑇	 e	∆𝑉 = 3𝛼𝑉!∆𝑇	que	descrevem	a	 variação	da	área	e	do	volume	
com	a	temperatura,	respectivamente.	
1.10.3 O	que	é	dilatação	aparente?	
1.10.4 O	que	existe	de	peculiar	e	importante	na	dilatação	térmica	da	água?	
1.10.5 Explique	a	expressão	para	a	tensão	térmica	𝐹 𝐴 = −𝑌𝛼∆𝑇,	onde	F	é	a	tensão	da	barra,	A	é	
a	área	da	seção	reta,	α	é	o	coeficiente	de	dilatação	linear	e	Y	é	o	módulo	de	Young.	
1.10.6 Pode	existir	coeficiente	de	dilatação	negativo?	
1.11. Exercícios	de	fixação	
1.11.1 	Em	alguns	locais	da	Terra	a	temperatura	em	graus	Celsius	é	igual	à	temperatura	em	graus	
Fahrenheit.	Qual	é	o	valor	desta	temperatura?	Qual	é	a	estação	mais	provável?		
1.11.2 O	ganho	de	um	certo	amplificador	à	temperatura	ambiente	(20,0ºC)	é	30,0	e	a	55,0º	C	é	
35,2.	Se	o	ganho	variasse	linearmente	com	a	temperatura	neste	intervalo	limitado,	qual	seria	o	
ganho	a	28,0ºC?	
1.11.3 Dois	termômetros	de	gás	a	volume	constante	são	imersos	em	um	banho	de	água	no	ponto	
de	 ebulição.	 Um	utiliza	 nitrogênio	 e	 o	 outro	 hélio,	 e	 ambos	 contêm	 gás	 suficiente	 para	 que	
ptr=100	 cm	Hg	 (figura	 abaixo).	Qual	 é	 a	 diferença	 entre	 as	 pressões	dos	dois	 termômetros	 e	
qual	é	a	maior?	
r 0.30
* 0.2-
ffi 0.1 .
x 00
> -0.1
-0.2 -<
-04 ,
-0.4
0 200 400 600 800 1000 1200
Temperature (K)
Fig. 1. Plot of percentage relative expansion versus
temperature for ZrW208. Open circles are dilatom-
eter data; solid circles are neutron diffraction data.
compound ZrW208 is evidently only ther-
modynamically stable between 1380 and
1530 K ( 1). It must be rapidly cooled from
high temperature to avoid decomposition
into ZrO2 and W03. Once formed, howev-
er, this compound has a high degree of
kinetic stability at temperatures below
about 1050 K. Thus, heating ZrW208 above
1050 K results in decomposition into ZrO2
and W03, which react to reform ZrW208 if
the temperature is increased to 1380 K. The
ordering that occurs below 430 K lowers the
free energy of this system;however, this is
presumably not an equilibrium phase. If the
system were to achieve equilibrium, ZrW208
would decompose into ZrO2 and W03. This
decomposition reaction is frustrated by its
high activation energy. The system is
trapped in a high-energy state, and this phe-
nomenon may be related to the unusual
thermal expansion properties. Negative ther-
mal expansion also occurs in AgI, but only in
the metastable cubic form (12). Negative
thermal expansion in cubic AgI is confined
to a region no wider than 200°C, the ther-
mal expansion at 100 K being positive.
We begin our explanation of the
unique properties of ZrW208 and
HfW208 by eliminating certain possibili-
ties. In both ZrO2 and HfO2, there is an
abrupt negative volume expansion at a
tetragonal-to-monoclinic phase transi-
tion. This transition is associated with a
A
C
Fig. 2. Section of the ZrW208 structure (thermal ellipsoids are used for atoms).
change in the coordination number of Zr
and Hf from 8 to 7 with decreasing tem-
perature. No such coordination change
occurs in ZrW208. The shortest Zr-O dis-
tance beyond the 2.1 A octahedral coor-
dination -sphere (Table 2) is 3.66 A at
both 0.3 and 700 K. We also eliminate
from consideration any changes with tem-
perature of the Zr-O or W-O bond dis-
tances. Structure refinements conducted
at 12 temperatures from 0.3 to 700 K show
no decreases in these distances with in-
creasing temperature. Furthermore, be-
cause of differences in Zr-O and Hf-O
bonding in isostructural ZrO2 and HfO2,
the temperature of the tetragonal-to-mon-
oclinic phase transition in these two com-
pounds differs by about 4000C. By con-
trast, in ZrW208 as compared to HfW208,
there is no detectable difference in their
phase transition temperature or in their
thermal expansion properties. Significant
changes in W-O bonding occur at the 430
K phase transition (Fig. 3), but the nega-
tive coefficient of thermal expansion re-
mains similar above and below this tran-
sition. We thus conclude that subtleties of
W-O, Zr-O, or Hf-O bonding are unlike-
ly to be the cause of the negative thermal
expansion.
We are thus left with Zr-O-W linkages
as the source of the negative thermal ex-
pansion. A systematic change in the an-
gles of this linkage could have been the
source, but this is not supported by our
structural refinements. It is, however, well
documented that the potential for
M-O-M transverse vibrations (corre-
sponding in a static picture to bond bend-
ing) is significantly lower than for longi-
tudinal vibrations (which correspond to
changes in the M-O bond lengths). A
transverse vibration of a bridging 0 in a
framework in which M-O bond distances
remain largely unchanged will cause a
contraction of the M-M distance and a
negative coefficient of thermal expansion.
Because of the asymmetry of a typical
M-O potential, however, longitudinal vi-
brations tend to lead to an overall increase
in M-M distances. As discussed above, the
network arrangement of ZrW208 leads to
a highly flexible structure that can readily
accommodate the changes in M-O-M
B
03
03
0101
Fig. 3. (A) The two crystallographically distinct W04 tetrahedra of low-tem-
perature ZrW208 in space group P213. (B) The W04 "tetrahedra" of high-
temperature ZrW208 in space group Pa3. The 04 position is only 50% occu-
pied, and the large ellipsoid of W is due to disorder along the threefold axis.
SCIENCE * VOL. 272 * 5 APRIL 1996
01
I ..l
91
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
18	
	
1.11.4 Usando-se	um	termômetro	de	gás	a	volume	constante	verificou-se	que	a	pressão	do	ponto	
triplo	 da	 água	 (0,01ºC)	 era	 igual	 a	 4,80x104	 Pa	 e	 a	 pressão	 do	 ponto	 de	 ebulição	 normal	 da	
água	(100ºC)	era	igual	a	6,50x104	Pa.		
(a) Supondo	 que	 a	 pressão	 varie	 linearmente	 com	 a	 temperatura,	 use	 esses	 dados	 para	
calcular	a	temperatura	Celsius	para	a	qual	a	pressão	do	gás	seria	igual	zero	(isso	é,	ache	a	
temperatura	Celsius	do	Zero	absoluto).	
(b) O	 gás	 neste	 termômetro	 obedece	 à	 equação	
1
2
1
2
P
P
T
T
= 	 de	 modo	 preciso?	 Caso	 esta	
equação	fosse	obedecida	exatamente,	e	a	pressão	a	100ºC	fosse	igual	a	6,50x104	Pa,	qual	
seria	a	pressão	medida	a	0,01ºC?		
1.11.5 Os	 trilhos	de	uma	estrada	de	 ferro	 são	 fixados	quando	a	 temperatura	é	de	 -5,0º	C.	Uma	
seção	 padrão	 de	 trilho	 tem	 12,0m	 de	 comprimento.	 Qual	 deve	 ser	 o	 espaçamento	 entre	 as	
seções	para	que	não	haja	compressão	quando	a	temperatura	subir	até	42º	C?		
1.11.6 Mostre	que	se	α	depende	da	temperatura	T,	então	
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+≅ ∫
T
T
dTTLL
0
10 α 		
onde	L0	é	o	comprimento	à	temperatura	de	referência	T0.	
1.11.7 A	área	A	de	uma	placa	retangular	(figura	abaixo)	é	ab	e	seu	coeficiente	de	dilatação	linear	é	
α.	Com	o	aumento	de	temperatura	∆T,	o	lado	a	dilata	∆a	e	o	lado	b,	∆b.		
Mostre	que	se	desprezarmos	o	termo	∆a∆b/ab,	então	 TAA Δ=Δ α2 .	
	
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
19	
	
1.11.8 O	 avião	 supersônico	 Concorde	 possui	 um	 comprimento	 igual	 a	 62,1	m	 quando	 está	 em	
repouso	no	solo	em	um	dia	 típico	 (a	15ºC).	Ele	é	basicamente	 feito	de	alumínio.	Quando	ele	
está	 voando	 com	 uma	 velocidade	 igual	 ao	 dobro	 da	 velocidade	 do	 som,	 o	 atrito	 com	 o	 ar	
aquece	 a	 parte	 externa	 do	 Concorde	 e	 produz	 uma	dilatação	 de	 25	 cm	no	 comprimento	 do	
avião.	O	 compartimento	dos	passageiros	está	apoiado	em	 rolamentos,	 e	o	avião	 se	expande	
em	torno	dos	passageiros.	Qual	é	a	temperatura	da	parte	externa	do	Concorde	durante	o	vôo?		
1.11.9 Determine	 o	 coeficiente	 de	 dilatação	 volumétrica	 da	 água	 à	 uma	 temperatura	 de	 9ºC.	
Utiliza	 a	 afigura	 do	 problema	 que	 descreve	 a	 variação	 do	 volume	 da	 água	 em	 função	 da	
temperatura.	
	
1.11.10 Uma	barra	de	latão	possui	comprimento	igual	a	185	cm	e	diâmetro	igual	a	1,60	cm.	Qual	é	
a	 força	que	deve	 ser	aplicada	a	 cada	extremidade	da	barra	para	 impedir	que	ela	 se	 contraia	
quando	for	esfriada	de	120ºC	para	10ºC?	O	módulo	de	Young	do	latão	vale	9	x1010	N/m2.		
1.12. Problemas	
1.12.1 À	uma	temperatura	T0,	a	aresta	de	um	cubo	é	igual	a	L0	e	ele	possui	densidade	igual	a	ρ0.	O	
material	constituinte	do	cubo	possui	coeficiente	de	dilatação	volumétrica	igual	a	β.		
Unidade	1:	Equilíbrio	térmico,	Temperatura	e	Dilatação	
	
______	
Carlos	Basílio	Pinheiro	-	Fundamentos	de	Termodinâmica	-	05/10/16	
20	
(a) Mostre	que	quando	a	temperatura	cresce	de	T0+∆T,	a	densidade	do	cubo	passa	a	ser	dada	
aproximadamente	por	 ( )TΔ−≈ βρρ 10 .	(Sugestão:	Use	a	expressão	 ( ) nxx
n +≈+ 11 ,	
válida	 quando	 x <<1)	 Explique	 porque	 este	 resultado	 aproximado	 é	 valido	 somente	
quando	∆T	for	muito	menor	do	que	1/β	e	explique	por	que	é	de	esperar	essa	aproximação	
na	maior	parte	dos	casos.	
(b) Um	cubo	de	cobre	possui	aresta	de	1,25	cm	a	20,0ºC.	Calcule	sua	variação	de	volume	e	de	
densidade	quando	sua	temperatura	passa	para	70º	C.	
1.12.2 Mostre	que	se	os	comprimentos	de	duas	barras	de	materiais	diferentes	são	inversamente	
proporcionais	a	seus	respectivos	coeficientes	de	dilatação	linear	à	mesma	temperatura	inicial,	
a	diferença	entre	os	seus	comprimentos	será	constante	em	todas	as	temperaturas.		
(a) Quais	deveriam	ser	os	comprimentos	de	uma	barra	de	aço	e	uma	de	latão	a	0ºC	para	que	
as	diferenças	de	seus	comprimentos	fosse	0,30	m	em	todas	as	temperaturas?	
1.12.3 A	equação	 TY
A
F
Δ−= α 	fornece	a	tensão	necessária	para	manter	a	temperatura	da	barra	
constante	à	medida	que	a	temperatura	da	barra	varia.	Mostre	que	se	o	comprimento	pudesse	
variarde	∆L	quando	a	sua	temperatura	varia	de	∆T,	a	tensão	seria	dada	por:		
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ−
Δ
= T
L
LY
A
F
α
0
	
Onde	F	é	a	tensão	da	barra,	L0	é	o	comprimento	original	da	barra,	A	é	a	área	da	seção	reta,	α	é	o	
coeficiente	de	dilatação	linear	e	Y	é	o	módulo	de	Young.