Lista GAAL Dependencia Linear

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UFMG – GAAL MAT038
Lista de Exerc´ıcios – Espac¸os Vetoriais-Dependeˆncia e independeˆncia linear
1. Determine se o conjunto soluc¸a˜o do sistema 1 −2 22 −4 6
3 −6 9
 xy
z
 =
 00
0

e´ um subespac¸o de R3.
2. Quais dos seguintes conjuntos de R3 sa˜o subespac¸os vetoriais:
a) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x3 = x1 + x2.
b) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x
2
3 = x
2
1 − x2.
c) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x1 ≥ 0
d) O conjunto de vetores (a, b, c) tais que b = a+ c+ 1.
e) O conjunto de vetores (a, 0, 0.)
3. Mostre que os vetores v1 = (−1, 1, 0,−3), v2 = (−3, 3, 2,−1), v3 = (0, 1, 0, 0) e v4 = (0, 0, 0, 1)
sa˜o linearmente independentes.
4. Determine os valores de λ para os quais
a) Os vetores v1 = (1 − λ, 0, 2), v2 = (2, 1 − λ, 1) e v3 = (3, 0, 2 − λ) sa˜o linearmente
independentes.
b) Os vetores v1 = (3, 1, 0) e v2 = (λ
2 + 2, 2, 0) sa˜o linearmente dependentes.
c) Os vetores v1 = (λ,−12 ,−12), v2 = (−12 , λ,−12) e v3 = (−12 ,−12 , λ) sa˜o linearmente
dependentes.
d) Os vetores v1 = (0,−2, 2), v2 = (1, 3,−1) e v3 = (λ,−1, 5) sa˜o Linearmente dependentes.
5. Considere os vetores de R4, v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3,−1, 5, 2) e v3 = (−1, 0, 2, 1). Escreve, se
for poss´ıvel, o vetor (2, 3,−7, 3) e (1, 1, 1, 1) como combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2 e v3.
6. Encontre um conjunto de geradores para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = 0,
onde A =
 1 0 1 01 2 3 1
2 1 3 1
 .
7. Um conjunto de vetores e´ dito ortonormal se os vetores sa˜o ortogonais dois a dois e a norma
de cada um dos vetores do conjunto e´ 1. Para que valores de a e b o conjunto de vetores
u = ( 1√
2
, 0, 1√
2
) e v = (a, 0, b) sa˜o ortonormais.
8. Expresse o vetor (3a+ b+ 3c,−a+ 4b− c, 2a+ b+ 2c) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(3,−1, 2) e (1, 4, 1) e o vetor (2a − b + 4c, 3a − c, 4b + c) como combinac¸a˜o linear de treˆs
vetores na˜o nulos de R3..
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9. Mostre que os vetores v1 = (−1,−1, 2, 1, 0), v2 = (1, 1, 1, 1, 3) e v3 = (1, 0,−1, 1, 2) sa˜o
linearmente independentes. Encontre os valores de a, b ∈ R tal que v4 = (1,−1, 3, a, b)
esteja no espac¸o gerado por v1, v2 e v3 . Neste caso, encontre λ1, λ2 e λ3 tal que v4 =
λ1v1 + λ2v2 + λ3v3.
10. Diga se cada afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
a) Se os vetores v1, v2 e v3 sa˜o vetores de Rn linearmente independentes, enta˜o w1 = v1+v2,
w2 = v1 + v3 e w3 = v2 + v3 sa˜o L.I.
b) Se A uma matriz n× n, as colunas de A sa˜o L.I se e somente se, det(A) 6= 0.
c) O plano x+ y + 2z + 2 = 0 e´ um subespac¸o de R3. Justifique sua
d) A reta y = 2x e´ um subespac¸o de R2
e) A unia˜o de dois subespac¸os de um espac¸o vetorial V e´ tambe´m um subespac¸o de V
f) Se o conjunto gerado pelo conjunto S1 e´ igual ao conjunto gerado por S2 enta˜o os
S1 = S2.
g) Qualquer conjunto com um u´nico vetor e´ L.I.
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