Aula_4_Metodos+de+Analise

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Aula 4 
 Métodos de Análise 
 
Prof. Daniel Papoti 
daniel.Papoti@ufabc.edu.br	
Universidade	Federal	do	ABC	
BC	1519	-	Circuitos	elétricos	e	fotônica	
2o	Quadrimestre	-	2019	
Conteúdo	
Ø Análise	Nodal	
Ø Análise	de	malhas	
Ø Resolução	de	exemplos	
Métodos de Análise de Circuitos Elétricos 
Objetivos:	
Ø Sistematizar	a	análise	de	circuitos	
Ø Obter	um	sistema	algébrico	de	n	
equações	independentes	com	n	
variáveis	
Métodos de Análise de Circuitos Elétricos 
Ø Análise	Nodal	
(Para	circuitos	com	geradores	de	corrente)	
Ø Análise	de	Malhas	
(para	circuitos	com	geradores	de	tensão)	
Ø Outros	
5	
Nó Genérico i 
Análise Nodal 
Passo 1: escolher um Nó de 
referência. Em princípio é uma 
escolha arbitrária, mas na prática 
escolhe-se o terra do circuito 
(tensão=0 V) 
Tensão Nodal: tensão de cada 
nó com relação ao nó de 
referência: e1, e2, ..., ek 
Passo 2: Orientar as correntes 
relacionadas ao nó i, de forma 
arbitrária. 
j2 
j1 
j2 
j1 
6	
Análise Nodal 
Passo 3: Encontrar as tensões de cada 
ramo em função das tensões nodais, 
obedecendo a convenção de receptor. 
v1 
v2 vk 
v1 = e1 − ei
v2 = ei − e2
 !
vk = ek − ei
Nó Genérico i 
7	
Análise Nodal 
Passo 4: Aplicar a relação 
corrente/tensão nos ramos, em 
função das tensões nodais, 
encontrando as correntes de 
cada ramo. 
j1 =G1 ⋅ v1 =G1 ⋅ e1 − ei( )
j2 =G2 ⋅ v2 =G2 ⋅ ei − e2( )
 !
jk =Gk ⋅ vk =Gk ⋅ ek − ei( )
Nó Genérico i 
j2 
j1 
v1 
v2 vk ji =Gi ⋅vi
Nó Genérico i 
j2 
j1 
v1 
v2 vk 
8	
Análise Nodal 
− j1 + j2 +!+− jk − is1 + is2 = 0
Passo 5: Aplicar a 1º Lei de Kirchhoff 
(LKC) ao nó i. 
•  Corrente que entra no nó àNegativa 
•  Corrente que sai do nó à Positiva 
− G1 ⋅ e1 − ei( )+G2 ⋅ ei − e2( )+!−Gk ⋅ ek − ei( )⎡⎣ ⎤⎦= is1 − is2
9	
Análise Nodal 
Ø  Aplicação do procedimento a todos os nós do circuito, exceto 
ao nó de referência, leva a um sistema algébrico linear. 
•  Número de equações = número total de nós – 1 
•  Variáveis: tensões nodais 
Gn ⋅ e t( ) = isn t( )
Ø  Na forma matricial, temos: 
Gn=Matriz das condutâncias 
e(t) = vetor das tensões nodais 
Isn(t) = vetor das fontes de correntes 
Equação Geral 
10	
Exemplo 
Ø  Encontre as tensões de cada nó do circuito abaixo: 
3 nós à 2 equações 
11	
Exemplo 
Passo 1: escolher um Nó de referência (tensão=0 V) 
12	
Exemplo 
Passo 2: Orientar as correntes 
relacionadas ao nó i, de forma arbitrária 
Passo 3: Encontrar as tensões de cada 
ramo em função das tensões nodais. 
v1 = e1 − e2
v2 = 0− e1
v3 = e2 − 0
Passo 4: Aplicar as relações corrente/tensão nos ramos (em função 
das tensões nodais), encontrando as correntes de cada ramo. 
i1 =
v1
5 =
e1 − e2
5
i2 =
v2
2 =
−e1
2 = −0,5 ⋅e1
i3 =
v3
1 = e2
13	
Exemplo 
Passo 5: Aplicar a 1º Lei de Kirchhoff 
(LKC) aos nós: 
Nó 1: 
i1 − i2 −3,1= 0⇒ 0,2 e1 − e2( )− −0,5e1( ) = 3,1
Nó 2: 
−i1 + i3 + −1, 4( ) = 0⇒−0,2 e1 − e2( )+ e2 =1, 4
0, 7e1 − 0,2e2 = 3,1
−0,2e1 +1,2e2 =1, 4
e1 = 5V
e2 = 2V
Na forma matricial: 
0, 7 −0,2
−0,2 1, 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
e1
e2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
3,1
1, 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
14	
2135322513
35265414
3133241431
).(..
0.).(.
..).(
ss
ss
iieGGGeGeG
eGeGGGeG
iieGeGeGGG
−−=+++−−
=−+++−
+=−−++
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++−−
−++−
−−++
32
31
3
2
1
53253
56544
34431
0.
ss
ss
ii
ii
e
e
e
GGGGG
GGGGG
GGGGG
Análise Nodal – Método de Inspeção 
Ø  O elemento (j,j) é a soma das condutâncias conectadas ao nó j 
Ø  O elemento (i,j) é o negativo da soma das condutâncias que interligam diretamente 
os nós i e j 
Ø  A j-ésima linha do vetor das fonte de corrente é a soma das corrente do nó j, 
com sinal negativo se a corrente sai do nó e positivo caso contrário 
Ø  Para n + 1 nós, os índices i e j variam de 1 a n 
15	
Exemplo	1	
Determine	as	tensões	nodais	no	circuito	abaixo.	
Exemplos 
16	
Exemplo 1 (cont.) 
nó de referência Resp.: v1= 5,4V; v2= 7,7V; 
v3=46,3V 
Exemplos 
17	
Ø  Malha é um laço que não engloba nenhum ramo do 
circuito em seu interior 
 
Exemplos: malhas 1, 2 e 3 abaixo 
Análise de Malhas 
18	
Ø  Malha externa: contém ramos do circuito em seu interior, e nenhum ramo 
em seu exterior. 
Análise de Malhas 
19	
Análise de Malhas 
Ø  Relações corrente de ramo / corrente de malha 
j1 = iI
j2 = iII
j3 = iIII
j4 = iI − iIII
j5 = iII − iI
j6 = iIII − iII
20	
Exemplo 
Passo 1: Associar uma corrente, em sentido arbitrário (ex. 
horário) a cada malha do circuito 
21	
Exemplo 
Passo 2: Encontrar as relações “corrente de ramo”/”corrente 
de malha” 
j1 = I1
j2 = I2
j3 = I1 − I2
22	
Exemplo 
Passo 3: Indicar as tensões nos elementos de cada malha 
−E1 +VR1 +VR3 = 0
Passo 4: Aplicar a 2º Lei de 
Kirchhoff (LKT) em todas as 
malhas. 
−VR3 +VR2 +E2 = 0
Malha 1: 
Malha 2: 
23	
Exemplo 
Passo 5: Aplicar as relações “tensão”/ ”corrente” nos ramos 
−E1 +VR1 +VR3 = 0
−E1 + R1 ⋅ j1 + R3 ⋅ j3 = 0
−21 + 2 ⋅ I1 + 4 ⋅ I1 − I2( ) = 0
Malha 1: 
Malha 2: 
−VR3 +VR2 +E2 = 0
−R3 j3 + R2 j2 +E2 = 0
−4 ⋅ I1 − I2( )+1⋅ I2 + 6 = 0
24	
Exemplo 
Passo 6: Resolver o sistema de equações lineares e 
encontrar as correntes das malhas 
6 ⋅ I1 − 4 ⋅ I2 = 2
−4 ⋅ I1 + 5 ⋅ I2 = −6
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
I1 = −1A
I2 = −2A
25	
Análise de malhas 
Ø Na forma matricial, temos: 
Rm ⋅ i t( ) = esm(t)
Rm=Matriz das resistências das malhas 
i(t) = vetor das correntes de malhas 
esm= vetor das fontes de tensão 
Ø Sistema Algébrico Linear! 
26	
Análise de malhas 
Ø  Encontre as equações do circuito na forma matricial 
27	
Análise de malhas – Método de inspeção 
28	
Exemplo 
Ø  Encontre as equações do circuito na forma matricial 
Rm ⋅ i t( ) = esm(t)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++−−
−+
−+
0
.0
0
21
1
3
2
1
64334
332
454
EE
E
I
I
I
RRRRR
RRR
RRR
•  O Elemento (i,i) é a soma das 
resistências em série na malha i. 
•  O elemento (I,j) é o negativo da 
soma das resistências comuns às 
malhas I e j. 
•  Cada linha do vetor das fontes 
equivalentes é a soma algébrica 
das tensões pertencentes `malha, 
com sinal positivo se a corrente de 
malha tem o mesmo sentido da 
tensão do gerador, e sinal 
negativo em caso contrário. 
29	
Análise Nodal vs Análise de Malhas 
Análise Nodal: nós 
Nó de referência 
Incógnitas: tensões nodais 
•  1o Lei de kirchhoff (LKC), 
exceto nó de referência 
•  Relações i/v nos ramos 
•  Tensões nos ramos à 
tensões nodais 
•  Fontes de corrente 
Análise de Malhas: malhas 
Malha externa 
Incógnitas: correntes de malha 
•  2o Lei de kirchhoff (LKC), 
exceto malha externa 
•  Relações v/i nos ramos 
•  Correntes nos ramos à 
Correntes de malha 
•  Fontes de tensão 
30	
Exemplo 2 
Utilizando transformação de fonte (no gerador de 
tensão), utilize análise nodal e calcule as correntes em 
todos os resistores do circuito abaixo. 
Resp.: iR1= -3,27A; 
iR2= 1,27A; iR3=3,27A 
Exemplos 
31	
Exemplo 2 - Solução 
Resp.: iR1= -3,27A; 
iR2= 1,27A; iR3=3,27A 
Exemplos 
Ø  Transformando a fonte de tensão de 64 V e o resistor de 8Ω em uma 
fonte de corrente equivalente, temos o seguinte circuito: 
Ø  Por inspeção,temos: 
1
8 +
1
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
1
4
−
1
4
1
4 +
1
10
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⋅
e1
e2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟=
8− 2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Ø  Resolvendo o sistema: 
e1 e2 
e1 = 37,8V
e2 = 32, 7V
IR1 =
e1 − 64
R1
=
−26.2
8 = −3.27A
IR2 =
e1 − e2
R2
=
37.8−32.7
4 =1.27A
IR3 =
e2 − 0
R3
=
32.7− 0
10 = 3.27A
Ø  Calculando as correntes: 
32	
Exemplo	3	
No	circuito	abaixo,	calcule	as	tensões	nos	terminais	de	
cada	fonte	de	corrente.	
Resp.: v3A= 5,24V; v7A= 11,47V 
Exemplos 
33	
Exemplo	3	-	Solução	
Resp.: v3A= 5,24V; v7A= 11,47V 
Exemplos 
Ø  Por inspeção, temos: 
1+ 12
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −1 − 12
−1 1+ 14 +
1
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
1
4
−
1
2 −
1
4
1
2 +
1
4 +
1
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
3
⋅
e1
e2
e3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟⎟
=
−3
0
7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Ø  Resolvendo-se o sistema: 
e1 = 5,24V
e2 = 5,12V
e3 =11, 47V
Ø  Finalmente, calculando-se as tensões em cada 
fonte de corrente: 
v3A = e1 − 0 = 5,24V
v7A = e3 − 0 =11, 47V
e1 e2 e3 
34	
Exemplo	4	
Calcule	as	correntes	de	malha	i1	e	i2	no	circuito	abaixo.	
Resp.: i1= 0,67A; i2= 0 
Exemplos 
35	
Exemplo	4	–	Solução	
Resp.: i1= 0,67A; i2= 0 
Exemplos 
Ø  Utilizando análise por inspeção para o 
teorema de Malhas (ver slide 26), 
obtemos: 
2+12+ 4( ) −12
−12 12+ 9+3( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⋅
i1
i2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟=
12
−8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
18 −12
−12 24
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
i1
i2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟=
12
−8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Ø  Resolvendo-se o sistema, obtemos: 
i1 = 0,67A
i2 = 0A
36	
Exemplo 5 
a) Use análise de malhas para determinar a 
potência fornecida pelas fontes de tensão no 
circuito abaixo. 
b) Calcule a tensão vo no resistor de 8 Ω. 
Resp.: P40= 224W; P20= 16W; v0= 28,8V 
Exemplos 
37	
Exemplo 5 - Solução 
Resp.: P40= 224W; P20= 16W; v0= 28,8V 
Exemplos 
Ø  Utilizando análise por inspeção para o teorema 
de Malhas : 
2+8( ) −8 0
−8 6+ 6( ) −6
0 −6 6+ 4( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⋅
i1
i2
i3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟⎟
=
40
0
−20
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
i1 i2 i3 
Ø  Resolvendo-se o sistema, obtemos: 
i1 = 5,6A
i2 = 2A
i3 = −0,8A
Potência na fonte de 40V: P40V = 40 ⋅5, 6 = 224W (gerador)
Potência na fonte de 20V: P20V = −20 ⋅ −0,8( ) =16W (receptor)
V0 em R=8Ω: V0 = R ⋅ i1 − i2( ) = 8 ⋅ 5, 6− 2( ) = 28,8V
38	
Exemplo 6 
Use a análise de malhas para calcular a tensão Vo 
no circuito abaixo. 
2 Ω 4 Ω
V 24
V 12
+
–8 Ω
2 Ω +
+
Vo
Resp.: V0= -6,34V 
Exemplos 
39	
Exemplo 6 - Solução 
2 Ω 4 Ω
V 24
V 12
+
–8 Ω
2 Ω +
+
Vo
Resp.: V0= -6,34V 
Exemplos 
Ø  Utilizando análise por inspeção para o 
teorema de Malhas : 
8+ 2+ 2( ) −2
−2 2+ 4( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⋅
i1
i2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟=
−24
−12+ 24
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟i1 i2 
12 −2
−2 6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⋅
i1
i2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟=
−24
12
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Ø  Resolvendo-se o sistema, obtemos: i1 = −1, 76Ai2 =1, 41A
Ø  Calculando V0: 
V0 = 2 ⋅ i1 − i2( ) = 2 ⋅ −1, 76−1, 41( ) = −6,34V