Aula_2_Resistencia_Lei+de+Ohm_Leis+de+Kirchhoff

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Aula 2 
 Resistência, Leis de Ohm e 
Leis de Kirchhoff 
Prof. Daniel Papoti 
daniel.Papoti@ufabc.edu.br	
Universidade	Federal	do	ABC	
BC	1519	-	Circuitos	elétricos	e	fotônica	
2o	Quadrimestre	-	2019	
Conteúdo	–	aula	de	hoje	
Ø  Lei	de	ohm	
Ø  Resistência	elétrica	
Ø  Leis	de	Kirchhoff	
•  Lei	dos	nós	
•  Lei	das	malhas	
Ø  Resolução	de	exemplos	
Lei	de	Ohm	
Georg Simon Ohm 
Alemão (1787 – 1854) 
A lei de ohm afirma que a tensão v em um 
resistor é diretamente proporcional à corrente i 
através dele. 
v∝ i
v = R ⋅ i
Ø  A resistência R de um elemento apresenta 
a capacidade de resistir ao fluxo de 
corrente elétrica, sendo medida em ohms 
(Ω) 
v 
R i 
Resistência	elétrica	
R∝ l R∝ 1A
ρ:	Resistividade	do	material	[Ω.m]	
l:	comprimento	[m]	
A:	área	de	secção	transversal	[m2]	
lR
A
ρ=
σ =
1
ρ
Ø  Condutividade	elétrica	[(Ω.m)-1 ou Siemens/m]:	
Resistividade	de	alguns	materiais	comuns		
Material	 Resistividade	(Ω.m)	 Emprego	
Prata	 1,64	x	10-8	 Condutor	
Cobre	 1,72	x	10-8	 Condutor	
Alumínio	 2,8	x	10-8	 Condutor	
Ouro	 2,45	x	10-8	 Condutor	
Carbono	 4	x	10-5	 Semicondutor	
Germânio	 47	x	10-2	 Semicondutor	
Silício	 6,4	x	102	 Semicondutor	
Papel	 1010	 Isolante	
Mica	 5	x	1011	 Isolante	
Vidro	 1012	 Isolante	
Teflon	 3	x	1012	 Isolante	
Charles	K.	Alexander;	Mathew	N.	O.	Sadiku.	Fundamentos	de	Circuitos	elétricos.	5º	Edição	
Resistores	ideais	
Resistência: R = 5 ohms (Ω) 
 
Condutância: 
 
G= 1/R = 0,2 siemens (S) 
I= G.V 
I Fixo 
Variável 
Tipos	de	resistores	
Código de cores 
Exemplo: 
1 0 102 ±5% 
R= (1000 ± 50) Ω à R=1kΩ 
Exemplo	
Determine	a	resistência	de	um	resistor	de	filme	fino	(mostrado	na	
figura	abaixo)	se	sua	resistência	(definida	por	ρ/d)	é	RS=100Ω).	
R = ρ l
A
= ρ
0.6
0.3 ⋅d( )
=
ρ
d
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0.6
0.3
=
100Ω⋅0.6cm
0.3cm
 R = 200Ω
Exemplo	
Determine	o	aumento	na	resistência	de	um	condutor	de	cobre	se	sua	área	é	
reduzida	por	um	fator	de	4	e	seu	comprimento	é	dobrado.	A	resistência	
original	era	0.2	Ω	e	sua	temperatura	permaneceu	fixa.	
R = ρ l
A
= 0.2Ω
ʹR = ρ 2l
A
4
= ρ
8l
A
=1.6Ω
ʹR
R
=
1.6Ω
0.2Ω
= 8⇒ ʹR = 8R
10	
G=0 
R=∞ 
R=0 
G=∞ 
Casos	Especiais	
Circuito aberto Circuito fechado 
i = lim
R→0
v
R
=∞i = lim
R→∞
v
R
= 0
11	
aberto 
Resistor	não-linear	(não-ôhmico)	
12	
+ - Vd 
Id 
G baixo, R alto 
G alto, R baixo 
Id (mA) 
Vd (V) 
-Isat 
= 
.( 1)dVd satI I e
λ= −
catodo anodo 
Diodo	Real	
13	
p = v.i = R.i2 = v
2
R
Convenção do receptor : p sempre > 0 
Efeito Joule 
Potência	no	resistor	
i =G ⋅V ⇒ p =G.v2 = i
2
G
Em	função	da	
condutância:	
14	
Bateria 
I convencional 
I elétrons 
Convenção do gerador Convenção do receptor 
Exemplo	
(a)  Calcule a corrente i da figura abaixo quando a chave está na 
posição 1. 
(b)  Calcule a corrente quando a chave está na posição 2. 
i = v
R
=
40
100
= 0.4A
i = v
R
=
40
250
= 0.16A=160mA
Exemplo	
No circuito elétrico mostrado na figura ao lado, calcule a corrente 
i, a condutância G e a potência P. 
i = v
R
G = 1
R
p = i2R
v 
+ 
- 
i 
=
30
5×103
= 6mA
=
1
5×103
= 0,2mS
= 6×10−3( )
2
⋅5×103 =180mW
p =G ⋅ v2 = 0,2×10−3( )×302 = 0,18W =180mW
ou 
Topologia	de	circuitos:	nós,	laços	e	ramos	
Ø  Uma vez que os elementos de um circuito elétrico podem ser interconectados 
de diversas maneiras, torna-se necessário o conhecimento básico de alguns 
conceitos de topologia de redes. 
Ramo: representa um elemento único, 
como fonte de tensão ou resistor. 
Nó: é o ponto de conexão entre dois ou 
mais ramos. 
laço: é qualquer caminho fechado em um 
circuito. 
a b 
c 5 ramos 
3 nós: pontos a, b e c 
3 laços 
 
Ø  Uma rede com b ramos, n nós e l laços independentes satisfazem o teorema 
fundamental da topologia de redes: 
b = l + n−1
Diz-se que um laço é independente se ele contiver pelo menos 
um ramo que não faça parte de qualquer outro laço independente 
Topologia	de	circuitos:	nós,	laços	e	ramos	
a b 
c 
Redesenhando o circuito: 
Exemplo	
Determine o número de ramos e laços e nós no circuito abaixo: 
Ø  Existem 2 laços independentes à l = 2 
a 
 
b 
 
c 
 
b = l + n−1⇒ 4 = 2+3−1= 4 ✔ 
Ø  Existem quatro elementos no circuitos: 10 V, 5Ω, 6Ω e 2 A à b = 4 (4 ramos) 
Ø  Pode-se identificar 3 nós no circuito: a, b e c à n = 3 
Exemplo	
Quantos ramos e nós existem no circuito da figura abaixo? 
Identifique os elementos que estão em série e paralelo 
No ramos = 5 
No nós = 3 
 
R=1Ω, 2Ω, 4Ω e 10V estão em paralelo 
R=5Ω encontra-se em série 
Leis	de	Kirchhoff	
Ø  Lei de ohm não é suficiente para a análise de circuitos 
(determinação da tensão e corrente) à Leis de Kirchhoff 
21	
Ø  Lei de Kirchhoff das tensões (LKT): 
(Lei das malhas) 
Ø  Lei de Kirchhoff das correntes (LKC): 
(Lei dos nós) 
Gustav Robert Kirchhoff 
(1824 – 1887) 
1º	Lei	de	Kirchhoff	
A Lei de Kirchhoff para a corrente (LKC) diz que a soma algébrica 
das correntes que entram em um nó (ou limite fechado) é zero. 
−iA − iB + iC + iD = 0
N : número de ramos conectados ao nó
in : n-ésima corrente que entra (ou sai) do nó
in = 0
n=1
N
∑
iT (t) = i1(t)+ i2 (t)+ i3(t)+... qT (t) = q1(t)+ q2 (t)+ q3(t)+...
qk (t) = ik (t)dt∫
qT (t) = iT (t)dt∫
∫ ∫
Lei de conservação das 
cargas elétricas: qT (t) = 0→ iT (t) = 0
1º	Lei	de	Kirchhoff	
A Lei de Kirchhoff para a corrente (LKC) diz que a soma algébrica 
das correntes que entram em um nó (ou limite fechado) é zero. 
N : número de ramos conectados ao nó
in : n-ésima corrente que entra (ou sai) do nó
in = 0
n=1
N
∑
1º	Lei	de	Kirchhoff	
Exemplo: Associação de fontes de corrente em paralelo 
iT 
a 
b 
LKC: iT = i1 − i2 + i3 ⇒ iT − i1 + i2 − i3 = 0
iT 
Exemplo:	1º	Lei	de	Kirchhoff	
Encontre i1, i2 e i3 no circuito da figura abaixo: 
Nó A: 1A + (-6A) +i1=0 
 i1 = 5A 
Nó B: i2 -(-6A) +2 = 0 
 i2 = -8A 
Nó C: +2 –(-2) – i3= 0 
 i3 = 4A 
2º	Lei	de	Kirchhoff	
A Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) diz que a soma algébrica de 
todas as tensões em torno de um caminho fechado (ou laço) é zero. 
vm = 0
m=1
M
∑
M : número tensões no laço
vm : m-ésima tensão
v1 v4 
- v5 + 
+ v2 - + v3 - 
LKT: − v1 + v2 + v3 − v4 + v5 = 0⇒ v2 + v3 + v5 = v1 + v4
Ø  A soma das quedas de tensão é igual à soma das elevações de 
tensão. 
2º	Lei	de	Kirchhoff	
a 
b 
Vab 
Exemplo: Associação de fontes de tensão em série 
LKT: −Vab +V1 +V2 −V3 = 0
+ 
- 
b 
a 
Vab VS=V1 + V2 - V3 
+ 
- 
Vab =V1 +V2 −V3
Exemplo	
Ø  Nos circuitos abaixo, determine os valores da corrente, tensão e da 
potência no resistor. Indique a orientação das correntes e tensões 
calculadas. 
i = 122×103 = 6mA
v = R ⋅ i⇒ (2x103 ⋅6×10−3) =12V
P = v ⋅ i =12× (6×10−3) = 72mW
i 
i =1mA
v = R ⋅ i⇒ (6x103 ⋅1×10−3) = 6V
P = v
2
R =
62
(6×103) = 6mW
i 
Exemplo	
Ø  No circuito da figura abaixo, determine as correntes i1, i3, i4, i5 . 
Resp.: I1=1A; I3=1A; I4=4A; I5=5A 
Exemplo	
Laço 1: -24 + V1 – V2 = 0 
Laço 2: V2 + V3 + 12 = 0 
Laço 3: - V3 + 10 = 0 
à V1 = V2 + 24 = 2 V 
à V2 = -12 - V3 = -22 V 
à V3 = 10 V 
+ - 
+ 
- 
1 
2 
3 24 V 
Ø  Obtenha v1 e v3 no circuito abaixo. 
Exemplo-6	
Ø  Determine	as	tensões	elétricas	V1,	V2	e	V3	do	circuito	da	figura	abaixo	
Resp.: V1 = 12V; V2 = -7V; V3 = 15V 
Exemplo	
Resp.: Ps1 = -240W; Ps2=60W; PR1= 120W ; PR2= 60W 
Ø  No	 circuito	 abaixo,	 calcule	 a	 potência	 recebida	 em	 cada	 elemento,	
sabendo-se	que:	vs1	=	120	V,	vs2	=	30	V,	R1	=	30	Ω	e	R2	=	15	Ω	.	
Exemplo	
Encontre	a	corrente	i0	e	a	voltagem	v0	no	circuito	mostrado	abaixo.	
Aplicando	KCL	para	o	nó	a,	obtemos:				3+0.5i0	=	i0		è i0	=	6A	
Para	o	resistor	de	4Ω:	v0	=	4i0	=	24V