Lista de Exercícios - Retas e Planos

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido- UFERSA 
Departamento de Ciências Naturais, Matemática e Estatística 
Curso: Ciência e Tecnologia 
Disciplina: Geometria Analítica (1200255) 
 
Lista Capítulo 4 - Reta 
1. Verificar se os pontos P1(S, - 5, 6) e P2(4, -1, 12) pertence à reta. r: x-
3 = y+l = z-z
-1 2 -2
f.1�5-3 . --- -5 +J � � ='? - z. .:: -<- � -z..; LtJ(JO P.1 é:: A..
-J z_ -z.
!X= 1- 2t
3. Determinar me n para o ponto P(3,m, n) pertença à reta. s: y = -3 - t
z = -4 + t
X;:J :=::;:) ;::-J-Z-é:_:73 ::-J-2."l-:::;?-Z{;;.-=3-J-=-?-Z.-6:::-Z...-�6::::-./ 
y ::= - 3 - -t- ;p j:::: -3 -(-1) ::::;;:, y;:: -3
-e- � -l/ t-. ,.:> i: , - 1./- J -� -ê ;:. -b 
J > >'::: -z L- ot: o � :=- - z. 7
�O{J;tJ E-=- - � J 
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Disciplina: Geometria Analítica (1200255) 
5. O ponto P(2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, -1, 4) e 8(4, -3, - 1). Calcular P.
,Al3
,> 
= 8-A �/ ltlÍ � (lf, -3, -J) -{3, -1, lf) ---> Aõ., :::(J, -z) -s)
(1<,Y 1 ê) , (3, -J, V)+. {J, -z, -5)é -> /l J,: _; ::-t
z;_ � 4-S'é
y == -J - z .. l -1)� -=- J 
� ;:- '1 - 5-(-1) �> -l:: C/ -
8. Determinar as equações reduzidas tendo z como variável independente, da reta que passa pelos
pontos P1( -1, O, 3) e P2(l, 2, 7).
::: - J .:z:.-3 ;:;:?
z_... 
;;::::: - Z-t ?!:" -3
z__ 
ê-5 -
z_ 
� = é-6-
z...._ 
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9. Mostrar que os pontos A(-1, 4, -3), 8(2, 1, 3) e C(4, - 1, 7) são colineares.
fJ,E; ( z., 1, 3) -{-1, '11 -JJ;:;;:, Alit � ('3/ -3, ,)
AC ::(y-11)-(-1 ,, -3\ :3?,l/c:(5-? .. 11}" , I , 1, ',,/ / / 1/ 
e? ,,. { lt 1 -1, 7) -( z, J -!) ;> JJC: ;;,; e l. r z / 'I) 
- • t'J -6 fJ -+ 6O --r �tJ 6 tJ .,., O/ t,, � os /?t!),lt}roS S A o 
COt...�Jt}fF A� €5, 
10. Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3,m, 1), 8(1, 1, -1) e C( - 2, 10, -4) pertençam
a mesma reta? 
)J m _/! LO�O J J - i .: 0 -::> 2- )() -1/ 
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12. Determinar as equações das seguintes retas:
a) reta que passa por A(l, - 2, 4) e é paralela ao eixo dos x;
AU, -z, Y) J/ 1-(.1, o, o) 
(x1 Y,l)"'(J,-Z, '9-1-(J1 ()1 (})t:, � /e y.:::-z ix ':J+-t.. ::. " 
b) reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano xOz;
8 C3,, L,1) J_ )( ol; L o(}o 13(31 li 1) // DY; /J{J z,i)/1.:F/ 0-', o)( x,�-l-) ;;{J, z, 1) f ( O, J,D)-l
e) reta que passa por A(2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
(z,3,,4)J.. xOY Í /J(z,-:s.v)/10-c- ltPt;o A(Z,3, 1.,)/!.i??(CJ, 111 1)
4 
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d) reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direção do vetor r -J;
(__/'- i? ;:e ( J, -J, {)) 
(x,Y,c) ==- (t;, -1 1 z) (J,:J,&)é 
e) reta que passa pelos pontos M(2, -3, 4) e N(2, -1, 3).
--> 
f'1 iJ .,, ( l, -J, 3) - { z, -3, t;) ;:::>PI"°?:::= ( o, "l-1 -J)
(x,Y,l) :?(z,- ,'r)+(°'Z1 -1)-t 
13. Representar graficamente as retas cujas equações são:
{ x=-l+t p1;:. (-J, -JtD/1.) � 
a) y = -10 + St 
)z = 9 - 3t fz = ( O 1 -'5, 6 
r 
I 
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e) {Y = 2x 
z=3 
PJ ;c((),0,3) 
fz:(1,z,3) 
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14. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
!x = -2 - Zt x y+6 z-1 i,j'R> - 1-z l -li)
a) r: y = 2t e s: - = - = - - 1.: ' '
4 2 2 � z = 3 - 4t Vs .: ( 'f, z, z) 
� 0;::: /-12.-/ 
Z-Lr 
/!_ � 6
0º]
6 
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{y = -2x - 1 y z+l 
b) r: e s: - = - : x = 2 
Z =X+ 2 3 -3
bJ; fJ-;:c /( J1-Z,J).(D1 3,-J)( 
j/l t-1- (-z) z-+ 1?foz.. + 3 z...,(-3}l7
{
X= 1 + "Vzt {X= Ü
e) r: y = t e s: y = 0z = 5 - 3t 
8) 0- = /(� J, -3) # lo, 011)/ 
y;;;:;.VJ -";:> 
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x-4 y z+l 
{ 
X = 1 
d) r: - = - = - e s: y+1 _ z-2 
2 -1 -2 -- - --
4 3 
0-::� f -✓/0:: l(g JJ 1 z_z l' 7 
--J 
!X= l + 2t
17. A reta r: y = t forma um ângulo de 60º com a reta determinada pelos pontos A(3,l,-2) e 
z=3-t
8(4,0,m). Calcule o valor de m.Í/2">.,-:= ( L1 J 1 -1) j 
Vz_ ;- (J I -J I 1'>1 -1"7) 
.:.-> /kJ 6 ::::- / -:- M - .1 / ::, 
/í,J +- J � ( -1 )Z � t/J l-1-(-1) "2.,.(1,,, f zJ r/i · V M �.., 't ·1wt6 1
&>to {);;½_ / 
�// 
{;p!r: 1>1iJ--=======::::, 
J/6-,,,, z. -f#'M � :¾
>::> ( 21>1 -t 2 yz. "$o (ôpYI z_ +- 2'-1-w t-36 -:::c:> l/-,,,, -z.. --t f; ?Y1-+ Y , (p-m -z. + zy--,,,, + '3ll ;";:> - Z:>,,J 2 -4 - 3 L : 0
LI , o E-,..,_ � -1, )
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21. A reta que passa pelos pontos A( - 2, 5, 1) e B(l, 3, O) é paralela à reta determinada por ((3, - 1,
- 1) e D(O, y, z). Determinar o ponto D.
-";, - I.;::,
� 
V;
;;,
, B-11 ,"> (3, -21 --1) E tlz.- ;;:: e-D--':::, (31
-J-7
1
-J-r) -"-7 0 = e;;:,(- z-
=-> ,x_:: ::_ -=-"?
J ;- - j- =? 
- -Cz_. � - j + J =>[i -= ({) J
28. Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelos ponto A(3, 2, 1) e é
. , {x = 3 
{
Y = -2x + 1
simultaneamente ortogonal as retas. r: z = 1 
e s: z = -x _ 3 
;:
:> 
� ( 0, 0 , 1) P1:s == )(;O=> Y.:: 1 e; "l. "'- -.3
1/5 >;: (J,-2 1 -1)
x = :s +zc
/Z.� Y� z+t
l, =)
-:;;,
f z_ � ( J ,z -J 11 J 1/
!J /j :: ( o, 1, -3) 
fz_s:; (__J, -1, -11) 
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33. Dados os pontos P1(7, -1, 3) e P2(3, O, -12), determinar:
a) o ponto P, que divide o segmento P1P2 na razão�
3 
X � x1 - /l - Xz
---- ,:::::y X ;;:­
J -/L 
y, YJ -.ll • Yz. ----
J ·-/L
"".2.. - i:,.J -/7�-z_ 
e;; - ---- ,::, 
J -/L 
b) o ponto Q, que divide o segmento P1P2 ao meio.
/2_ ;: ?z_ )< -=- X J -.f-- 'Z. 7- --:? -·
J - 1
y -;: YJ - J. Yz 'Z-- y; -Z ----/ 
t _J__ .3 
l, 
J/l,
::::=;, 
-l-;; �J - ½ =t-z.. =/ -2: � 3 -f½""'fJZ)
�Z- h 
X:-. j 
="? e ::J 
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Lista Capítulo 5 - Planos 
1. Seja o plano rr :. 2x - y + 3z + 1 = O Calcule:
a) O ponto de rr que tem abscissa 4 e ordenada 3;
2 · ( 'f - 3 + 3 -e + J � o -> 3 �-= - 0 --:>{!_::: -z}
P{x1 Y1 z) --=> ?( lf13}-c) 
b) O ponto de rr que tem abscissa 1 e cota 2;
x:=J Z- ª J -jf + 3 � Z.-;-.J ,:=o � -g ::=, - Cf _;;:> fj-:::?
-r;:::=-2 
e) O valor de k para que o ponto P(2, k+l,k) pertença ao plano;
d) O ponto de abscissa O e cuja ordenada é o dobro da cota.
x�o z�{_D)--2-�+3ê-+_/:;{) --;? ê=--_f 
y-;::-Z,ê 
Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano.
2. Paraleloaoplano r:.2x-3y 
- 
z*5 = 0equecontémoponto A(4,-1,,21.
/;. -.,. -. ,.. /. , í : , ''t'' 1",. t i
t/i=(2,-3,-D- Ê
í, - Zx -3 /- t *d ;o SuBsE /:- z. (v) - sGt) - l'(z) + d=o -n/ = - f
Perpendicutar à reta , :. {::"".; I 
" 
contém o ponto A{1,2,3);
5c íTt z Lüó () ,*;:'Çi
6n= ( Z,J , -D -frr :) /f; - zx
-2 [t. z,(t) +(z) - G) *d o Q -2 cl= - J
\)ff = Zx+Y-z-l'o IL---
-J,Z)
9. Para[elo ao plano xOy e que contém o ponto A(5,-2,3];
sc rt//xa/ ",- u; ' F*, G, - (o,c/
* /- Z +d=o süDyf /4
7. Paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos A(-2,A,21e 8{0,-2,1);
rt // Y ea;cÃo 4Ê* .7= d
F:,',';,';/) =, *=lí,-i;f= oi-zj +zn >? ,ti,b,
íY' 0x-/rz>rd=o :>/t.0 
-e)frr)*/=o 
-rE:iJ
Tt:- Cxrol+Z+d=o =-> d= -3
ít:- Z-s =o
2
'7= zx-SY-t-l:O
-/+27-V=O
Nos problemas de 1,1a 3,4, escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:
11. A(-1,,2,01, 8{2,-1,,1) e C(1",1,-1);
7Ê , (z ,-1, t) - h, z 1c) :2 AGi- (s,'s,t)
,E = ( t,J,-I) - (-J,2,0+ E= (r,-t,O
t; 4x+51+JZ:!4 
-> q.(» rStt) 3
/'n 
=
+3-l
i3x
L2. Al7,1,Al, Bít-4,-2,-1), e C(0,0,1)
TÊ = (u , -z, t) -( t,l, C) *Ê '(é ,E, ( qo, D -(2, t,o) -sE .(-2,
r"' '4v+61+ob+d=o >>
-tu'+ Si r o^ +d= CoÍ(/?
0 ;>d =O
-z-i) --o t'l)Kl
' 
.- l/- = /'6 -J-J / =
-t,t) /-z -t t f
-Çk) + gU) +Ord=
15. Determinar o valor de o para que os pontos A(u, -L,5), B{7,2,11, C(1, -3,-1} e D(1,0,3} sejam
coplanares; li t x I
fq = G,z,t)-(t, ú,J) )q: -G, 1'z). fr . 6 ; -'; I = -t,u tzrr - t%,>ü.t/y2tr,-$
re= (1,i,-t)-U,7J)àDé'kZt-3,-q) /-z'> -q I
-Jtrr +zl/ -tvZ +5é ,0 ê> suDsY- / --- -Jq *+ Zg(--!) -lq(il+5{ , o
.:) - Jtl d- = ZÇ +vo - 06 + -)Ça = 0Z :> oL--3
J,'t)
Nos problemas l-6 a 19, determinar a equação geral do plano
16. O plano passa pelo ponto A(6,0,-2) e é paralelo aí e 
- 
2j
t'-,(J,o,A) Gí'l:'fl
- 
"' lrpo lr ot'-Jl"-z,x =)
-z"i +F-- (0, -2,l) lo ., t t u
rOí1- z" l"tít" úx 
- 
y: zz+d=o 
-> ,ry- r.{ó) - z(z
rintes
/9, 
-
Oâ
segu
:1
d.,
. ['
-d
tos s
rÉ
,/2,
l-t-c
no
+
/,
)
Vx+8Y=
5i
4x-+51+31.-6 
=o
lS.OplanocontémospontosA(1-,-2,2leB(-3,L,-2)eéperpendicularaoplanon:.Zx*y-z*
B=0.
íf.,t"ry+y-t+g,.s G=(2,J,'D Çi lv, //,aa loéc Ê = ã rã
,46 , Gq,z, -D
-) lt lx IWa -- l;' í') f , -t, +!2s"+J0r -> /,i =(-t,J7,J0)
l-?a s -v I
ít; : . -X +!Z/ +JO* d,O 5;ttysr ,4 -> -(t) + JZGz) + tg(z)+d=o/{
Nos problemas 20 a 23, determinar a equação geral do plano que contém os seguintes pares de
;:; {! : zx- 3 e, . Í? :,+ 7; ' u, z,'! E= l' I -f / ,or- sr .áxLv'rrrlz=-x+z-""1y:-i T;,(2,o,5) tsosf \ .ü,(Jo,''8,-6)2(u,'zà
íP"'. 6r -v y-J V+ d = o süBsr p€tu pay'ra (Q -s,zS v-'' - \ '
à 5"o -v(-r)-s"k)+d.o * /= -é
Nos problemas de 24 a 28, determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta
:'0": { x=t ,1fi=(J,-J,z)24.A(3,-L,2) er.'. ly =Z-t rzl; :3*zt u =,r-o,,, :l) íi, (-j,j,D
-> 
ll'sn) z-'(s''/'z)Íi- = l =,, I = 7.t'n 4J +o/r -> Di- (2,*,0lt'r Ll u
f;. Vr+zl+d=O ;> ?'(e)+7Gt)*O'k)+d=o -' A-JV
fl'.", S x-L/y-3 t- 6 =o
?Y-lv =o
4
É, {-á,u,'Dif.', -6r +ZY-ztc!=o = süBst-|. ,4
-6tt)+z.G) -t.(t)+/=o
30. Representar graficamente os planos de equações:
a) x+y-3=0
-
o Í :2 lo 
= 
(-1, 'J, 0)
/-o
ln_J
0
t).t
o
*d
ln
'/
o,J)
-\-,/
t(0
,._t
c
eixo z,
€B
, 
'')
7.d
z.
I
eoe
',1)
l,l,
r0z sdBSf
:'o
íf." -x-/ =o
c) 2y+32-6=0
d)3x+4y+22-12=0
31". Dada a equação geral do plano r :. 3x 
- 
2y 
- 
z 
- 
6: 0.11q!erminlgm sistema de
equações paramétricas de n. fl(o r o, -6) í; =lí, => ú : (o,, !,-2.'l l, -z)X: Xp t atÁ + azt
/= !4t 
" 
btÁ +brt
Z=/o +ctfi tCzL
=)
?@t,r, t) E=íí, +E=(/,0,5)PsU,0,-3)
32. E
c(-1,
ít:.
* (x=A+0/Lt-!t/t :lt,otJhtct
(z 
= -6 +r-z)h t jL
ít. (X- I rJhr(*àé
1t :' f t-- J r o^ r';{ 
-/L7, 0 +Jlur Qt
,stabelecer equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(1,1,0), B(2,L,3) e
2,4). -7 +(^,rê+c\)L+urL (§ '(!,ü,3)) ..4c 
-- 
(-2, ! , u))r= ro, fith-tlstt{.1=lto-rcll, rC,d
(x, t
f v =,(, 
= 
-( -zhrsL
--- -( *=J+b-zt
v{ ')// 
"' 
í y= J+t
/
LZ- JlLiqt
33. Determinar o ângulo entre os seguintes planos:
aln, :. x * 2y * z 
- 
L0 : 0 eTEz.:,Zx * 1t - z * L : 0
fr" = (t, z, J) r É =(2, J,'l)
€.r5 ú =Jtr:ü- * b o - / z+z4l/tr/./tr7 m_'
€n *,* =2 P>O.J7 c) O =&z'(, 1
c)Ír1 .'. 3x * 2y 
- 
S :0 e n2 ;. plano x\z
fi,fu,2,o) ,ll=(o,J,o)
É» u= I o*z+ of
-vb
&) *= /st
tG-,[7 -7
'D 
= 69"
ffi /?) e= ztE
35. Determinar a e b, de modo que os planos n1
2z * 5: 0 seiam paralelos.
t€ ílj // ít, é,rÍ7o A fla7ib e,urxr
ç6 lGu,a;s-
lt, (q,b,tr) :)
ll2 = (3,'s,-r)
:, ax * by * 4z- 1 
- 
ü er2.'. 3x 
- 
5y *
y'S coo4p€pt?p4g pos SíaS lafaWS y'oXlpls
-r/ú
:.1;-1
39. Determinar as equações reduzidas, em termo de x, da reta r que passa pelo ponto A{2,-1,4\ e
é perpendicular ao plano rr :. x 
- 
3y * 2z 
- 
L: 0
n Líü r."tcid ü=t6* 
^ 
{i:_í_rí =? z- x -L
ff-t!,-z,z) Lv,q+ze
( y= 
-s +lí
,rL: Í'(z-Zr
43. Mostrar que a reta r - (T :'+
5d ARzf,4 6So"Á'coPftp/l NO
y= 
-Zx+Z-l ='>Y=-zv*J)
4o
f ;. ,zo +t4*l 4-y' = o
;z = Sestá contida no plano trt :. 2x * y - 3z - X = A.
fuzlú sul3sv.rYi)í OS trêLoR€5 De s,zt.a leoÜvKê-
-f.9éPfÍ ?'+D€
O-O ,4 RÉü R êeun *l f€ 6 SY,â' e at)r'rpll do
7Le/úo
Z-o
=-2
Nos problemas 45 e 46, estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da
reta interseção dos planos:
45.n, :. 3x 
- 
y + z- 3 
- 
0 erc, :. x * 3y * 2z* 4 : 0
G) ) x+31+z(Jx+/+3)*?=o *) x+3y-6K+ z'y'+6+k=o :'>
( r) àZ = -3x + (x -') *: :2,
tD 
"/:= 3x'x-3't u,
V=-Zx+-{
=> -5x+iy+ro =o 
->fV:;a Ç Y, 4-z
,4: í(*= -zx+J
46.lr1:.3x 
-2y - z - | : 0er2:. x*2y - z -7 :0
/ D Z - 3n -zY'r
(r) x r?Y' 3x+ly'+l - ) =0 ;)'zx * 4Y- 6 -O
7 = ZX*Ll x+3/"Y=
"n: )(*=
z__
ZK-?
Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano 2..
r X:t
51.r .'. {, =, -Zt e trt :. 2x *y - z - 4 : 0l'z:-t
íÍ = Zt+(J'z+) - Gt)-l = o :? púl -V{nt't: : o =7 t-3'o :>ffi
x+3
Z
7 G, - 5,-)
projeÇão de r sobre o plano xOy? E sobre o plano xOz?
:) / ,J -Z( x i) -->
( x=3*t
57. Seja a reta r t. I I : | - 2t\z=-1,+2t
a) Quais as equações reduzidas da
-zx+7
Ot
y=
U?
Z, 
-J + Z (x'3) :7 = -.t+ zx -6 -2 z= zx-7
b) Qual o ângulo que r forma com o plano xOy?Ç, (t,-z,z)
i= (0,0,1) ,.7tn g- I Z
=-? "l2bt =) O= t4[o t/{' 3/,,*=33
: 
-ZY-t7
n:5"o
/* =u ^t
,xOz ;
I