Lista de Exercícios - Parábolas, Elipse e Hiperbole

Prévia do material em texto

N•N WNMMMN Of .....,__,,_ 
UFERS� 
+++ ---·· 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido-UFERSA 
Departamento de Ciências Naturais, Matemática e Estatística 
Curso: Ciência e Tecnologia 
Disciplina: Geometria Analítica (1200255) 
 
Lista Capítulo 7 - Parábola 
Em cada um dos problemas 1 a 18, estabelecer a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: 
1. Vértice: V(O,O); diretriz d: y=-2.
X
1
.-:: Z/Ji'
,> { == - z_ �>{!;: ttJ 
(x2,; fí Y) 
2. Foco: F(2,0); diretriz d: x+2 = O.
X:: -Z 1: >c.::-P :;;:,_/
Z-
3. Vértice: V(O,O); foco: F(0,-3).
F( o, 4) =;; : : -3 ==�É= -I) 
K2.= lPY :=-:>{_i7.: -128
7. Vértice: V(-2,3); foco: F(-2,1). 
,k-2- (x-AY,zf{y-1<) �:0J(i__ 1 zf:c -'ft{Y-s)}
!<�3 L::-
F( /t,, /(·f- -O :;? )(-,-f -- .J :..-9 3 r {: J :;:> /!5..31 
■ 
9. Vértice: V{4,L}; diretriz d: x+4=0.
[r^' 
€ x = L-! *2 '?= t't- r =2@
K--t k'DZ, ZP(2ç-D *>O-r)'= Sz(* -q) --> y?zr*l= .:e x 
-tzl
Ll
À., -V
frr3 :) s t!.f -Fl
=) xz+gx+J$. -8/tzç :-)
:..> r( __! 
=Z
lr t! 
--3z
-t */Vn
:2 z-vx *{t-rtz 
=o
L5. Vértice: V(3.,3); eixo paralelo ao eixo x, passando por P(-1",-1).
h.= l
K;3
(y-rr)z= zf (x 
-.,'.) 
-) (-t - 3)' = z p(-J -t) => çv)z= - e p :à
:?.1ô=-lpoFl
.> lrLzl+l- jzx f tzg,o 2@
10. Vértice: V{0,0); eixo y-0; passa por P(4,5).
)/z: zprc ,+ Zí 
- zp.v :->lQr--lLL)
y'= Z5x
LL. Vértice: V{-4,3); foco: F(-4,1}.
E (A- I k+{) .> Kú,J
Z
(x-h)2= ZP(y-r) à (xrtr)z,
.-:p 7z18xrJ6 + gl-ZÇ 
=0:)
12. Foco: F{2,3]i; diretriz d: y=-1.
k-t)L, zf(y-y1 t= -t 
€ )/= fi-l
í= (a ; r+!) 
-2 Ít! = 3- z/ L
h;Z
(x 'z)', g( r - D * xz^'/, *t/ a $Y 'g à ZK :z-
q y'- z5r< 
= o
Em cada um dos problemas 20a23, determinarvértice, ofoco, uma equação para a diretriz e uma
equação para o eixo da parábola. Esboçar o gráfico.
20.y2-100x. Yz-Zpx => ZF,-JoO *F_*l
1lr,rt
f({,r) à,
X= -J =>[A-l7
f v-il{.'
22.y2-x=0.
f q,a) *
lz, zPx
f G,'
=) ZP = I ->
x'-r*H
m
v (0,0
/'=-3r ê /z=z?K => zP,
f,({ ,) n, r,(i,o)
F (-'E'ü
23.Y2=-3Y.
Y=-4*19
UFERS� 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA 
Departamento de Ciências Naturais, Matemática e Estatística 
Curso: Ciência e Tecnologia 
Disciplina: Geometria Analítica (1200255) 
Lista Capítulo 7 - Elipse 
Em cada um dos problemas 1 a 08, determinar os vértices A, e A2, os focos e a excentricidade das elipses. Esboçar 
o gráfico: �
2 2 
2. � + .2'._ = 1
36 100
a::: 10 -41 .:( o, c..) ;:.-1(ó, J\))
b �6 A-z :,(o, -tfy;:Az(D,-�)
e ::: 15 A .; ( o, e.) ,> ( /) 1 �)
e� e.. o r =- ( o, -0--=-.> (O,-'&')
�
::: 
_!,_ 
81 ( b I o)-=-:> [51 ( 6, t!) 
l3z (-b, o)?.) B--.c. (-t,q) 
3. x2 + 25y2 = 25
2. 
- .-,.,Y -{ z5 J -
/IJ =- (-5 / ()) 
Az_:(5,o) 
FJ = (- tfi;, o) 
� ;- (VÍY, tJ) 
e= t/2't' B1 =: {0, 1) 
5 !3-z, :::(0,-J) 
8. 9x2 + 25y2 = 25
xz
y
'­
- -f-- -;; J25 J-
C/ 
o-:: 5 
b :: J 
e :. lf
3 
e:;; !J.. 5 
.AJ(; ,o) 
A2-(f, o)
FJ (�1 ,o) 
r; (-ff ,o) 
BJ ( D, 1) 
Bz (0,-1) •
Em cada problema 9 ao 17, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:
9. Eixo maior mede 10 e foco (14,0).
2éi;-10 à g= 5-
f(c,o) =) c =!
Z5 . bz+ t6
b"q *b*-ffilz5 ? JL----"'=-
lt(o,t)
AÍ-g,o) /7 U, o)
$1o,-s)
Centro C(0,0), eixo menor mede 6, focos no eixo x e passa pelo ponto p(-UlS,Zl.12.
u
y.z
4Z
,é -) bú
-F=!'>g"f 
=,-
Lf
(o,z)
-/,t\-
r,o)\-,6 I /A,o) t
, 
-?)
.2 *=56 àa=6
L3. Centro C(0,0), focos no eixo x, excentricidade e = 2/3 e passa pelo ponto P{2,-5/31.
ê=4 c ê=4 => ê=Zq3e3
az= bz+cz 2 bt= ío. 
_> b'=S
4,t=r=74.Q'=r.,
=? h- *4 =J => J*,á :J à& qb, [z-'í*-'
a7= ? 2 a=3
>> J-9, j rJ
aLq
(-
!=)
* t=r
cf
É*t=rq5
17. Centro C(-3,0), um foco F{-1,0} e tangente ao eixo x.
r*(h,r)=, l=* ek--§
f (híc,r)=> â tc= -! => -Jtc---t -rg
Az( O, A) 
= Az(tt*o, k) = h+a, A ) *s+,.-=a
= 
-> e=bz+Q=)bt-5
94*u-n)z 1=)laZ gZ (rr+;)' o 0-a)z
A = (4lLrr)ítrk,-D
z=(0, -j.
F(Lt c, h) 
=:
=l-=,
rü ) t6, )
( x +3>z\ 
-+_
q
v
-lE,3q
Em cada um dos problemas a seguir, determinar o centro, os vértices Ar ê Az, os focos e a
excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
*)
-é/
25. 4x2 + 9y2 
- 
24x + 1.8y + 9 = 0.
t4(*z-6^) +ç(fz*z) +Ç-p 
=s
4 (>é-éxtr'-r) +Ç(/Ízr+ j,-rr) *J.=e:)
tr (x -312- 36 tqu+.t)r_f,q-_ 
c, __>
Q (x-z)ztq(r+lz 
_36 
- o 
.=)
=> cZ.á + c=16_
9rU, q) 5r 0,0)
? 
= lTaz
tSr (: , t)
Br(s,-s)
:) 4G4)z* q I
- 
--:3G ,f"'= 4 -'
=) (x-Dz 1 ytDz
tl
f(sÍt/?,-t)
28. 4x2 + 9y2 
-8x - 36y + 4 = 0.
ta(x'-zx) 
+ V( yL Ç r) * Ç : o à
36 3é :)
=> U(xl-zx +tz)-t .t+ V Ulqyar) -rk* Q--o-2
-) tt\ q),+ f ( y-z)r** 6ú 
= o _2
-> QUa)z+q7-z)z= 36
-6-
=>l (-r^!2'*u-zsz , )I q -;-='!
a.=3 L(h,as =J{))
brz h,J L-
c=tE K-L
q, Z) 
€ Az(r,.).4 (At", r)
UFERS� 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA 
Departamento de Ciências Naturais, Matemática e Estatística 
Curso: Ciência e Tecnologia 
Disciplina: Geometria Analítica (1200255) 
Lista Capítulo 7 - Hipérbole 
Em cada um dos problemas 1 a 07, determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles. Esboçar o 
gráfico: 
{).,--: J (} 
.b ;: 
c,:=2{0 
x2 y2 2. ---=1
100 64 
1/(01 :!o-)
A (O.+ JO) V > 
B(-b,o) 
13(±</,,0) 
<Flo, 2c) 
F( o,±zl0) 
4. 4x2 - Sy2 + 20 = O.
l!J2- 5 Y� -lO -::->
5 Y2 - lf z -= z o
- - - ::::-;> 
20 ZftJ 
--zo 
yZ z_ -- J
Íf 8 ;-
o =ê.
r.::-b ;:-V5 
e ;=- 3 
81 
- ..JO ,t
81 Bz. 
- cl$ r--t/j 
__. 
5. x2-2y2-8=0.
xz^l.fz*5 *)ít,;í ni\^l" tv'{ü«qÚ ) / F{ttt?a;t -y'' = r Ê{ : r(v,!Z'nq
a= lE
b-- z
çrZÚT
e=?=>erlE=>
l'6
Q=l
b rJ
c, t/T@
7. x2-y2= !
/(tj,0)
f:i t *Ç, ci)
E (0, t t)t
Em cada um dos problemas abaixo, determinar a
dadas:
l-l-. focos (15,0), vértices A(t3,0).
/
equação da hipérbole que satisfaz as condições
L=5
a:3
b,ü
\t 
__tq16
e= tE
Z
!r
I
2
20. focos Fr(-L,-5), Fz(5,-5), hipérbole equilátera.
a=b í(lLtL,t)
K,-5
L+c =5
h-c '='!
c(nrt)
c( z,-5)
- 
,!/r.ü.= J
q
á-=3
t;z- o,.7+bz
? =**az=?
az: I
z
22. Centro C{2,-31, eixo realparalelo a 0y, passando pelos pontos {3,-U e (-1,0).
ry -ry==! *lu*sr (r,-,) -, ry'-G'à'=14,b _ a-z b-z ,tuf,TÀ/ q-eJL-----
,f ;ursr. (- t, o) =? ( o *S)1 GJ -».2; J ;2
c& b'z
* o,-Z 
= Q -J6 +?az => garz o -a + 36
=2 -bZ, L> :),g 
-',
ü 
-l
-J-aa bz
=)?-
ca'
I 
-?62 b' ;/à+-a =.1OLL aL =J=>
Q-az
5
g
24. Focos em (3,4) e (3,-2), excentricidade e = 2.
Lr-_, 
_ 
(x 
-6)z
a'L t't- ?Ltf= (/t, Á tc)
j->3
/<+cr Q
h-c>-z i I
/-
1=1-rbZ
q
z-- q-!
q
=-) tzlYz- zYrt)- q(xz-6x *) -- ?. ? :)
:>
JZyz^ tlyz-zQl+Z(tx'+ JZ-36*27 ; O -2
-/
l<= la
€=9=z
&
bz; 3V
-
3
h; t6
L ê'
/
5( x-z)zT .. I
->fl,ã-)(_, I
Em cada um dos problemas abaixo, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das
hipér"boles dadas. Esboçar o gráfico.
25. 9x2 
- 
4y'- L8x 
- 
16y 
- 
43 = 0.
ct(*-zxe 
- ÇTlqy*Ç) 
= D t r - t6
e(x-t)Z- ü (/+z)z= s6tryL!-----3-
e7-- tí L ( h, k) 
=> c U t--z).
b? , tr(ttr, K) 
=> f (tt6,-4
c"' 13 
4 g:"{) =rÇÇfi3,-r1.' Yj-_Y 'Ílç rt-z7n7LJ1 ?)@trJntffiwu
28.4x2-1y' 
-32x+ 4y+24=A
a §z-Tx ilé) - (Y? 4 r + v) ; -zu+ 6 ? - v
h(x 
-q)z-(t-r)L- rC
(x-u)z 
- 
(y-z)z t
-4- a- ''
A=3 c(4,L) F=$tctx)
b=6 h->? F,(Vtzfí,2)
c -'3t6 trz
e 
= üÇ í,'[::;'^],rn,rs
4r= ( J,z) E(U;A)
30" t6x2 
- 
9y, 
- 
54x 
- 
19y + L99 = 0
lé(xa-vr+ v) - ? Ur+zrl +J) : -JÇÇ +6 ? -q .>
=> 16(x-z)z-Ç(l+t)z_- *J,r,t ->
=) W (x-r).,rt6 q
c+=,/ CG,-D ,q = (4 kro)
b ') /L-- Z At = (2,3)
a=5 jr 
= 
-J lz'(2,- í)
B (htO, r)
tu(í,-t)DzGl, -)
F= (lr,ttc)
f=(2,ç)
7r=Q,^é)
-s)