UNIVESP - Gabarito da atividade para avaliação - 2019 Semana 5_ MÉTODOS NUMÉRICOS - MMN001

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03/12/2019 Gabarito da atividade para avaliação - Semana 5: MÉTODOS NUMÉRICOS - MMN001
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MÉTODOS NUMÉRICOS - MMN001
Quadrados Mínimos5
A resposta correta da questão está identificada com a cor Vermelha.
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
(1.5 pontos) A aproximação de por um polinômio de grau um, no intervalo 
: 
JUSTIFICATIVA 
Com os dados da questão, temos que aproximar a função por uma reta, na
forma:
Com e solução de , em que: 
 sendo: 
Temos então o sistema na forma matricial:
Resolvendo o sistema, chega-se a solução:
1.
a.
b.
c.
d.
e.
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Logo, a aproximação por quadrados mínimos de , no intervalo [-1,1], por um
polinômio de grau 1, é a reta: 
(1.5 pontos) Considere os dados da tabela:
x -1 -0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.0
f(x) 36.547 17.264 8.155 3.852 1.82 0.86 0.406 0.246
Indique o ajuste de curva para os dados, linearizando a função e
definindo os parâmetros e .
JUSTIFICATIVA 
A linearização a ser feita é do tipo: 
Portanto, ao invés de ajustar y por quadrados mínimos, ajusta-se ln (y) por quadrados
mínimos para encontrar a e a . De modo que:
Então a função ϕ fica: 
Temos, então, a nova tabela:
A partir da qual podemos calcular: 
 
Matricialmente: 
Resolvendo o sistema, chega-se ao vetor solução: 
2.
a.
b.
c.
d.
e.
1 2
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Como 
E 
Assim a função φ = α e = 3.001e1 -α x2 -2.5x
(1.4 pontos) Os dados da tabela abaixo representam o número de pessoas infectadas por
aedes aegypti no Brasi, nos anos de 2010, 2011 e 2012.
Ano 2010 2011 2012
Infectados 4350 1225 2600
Usando uma parábola, aplique o método dos mínimos quadrados para estimar o número de
infectados no ano de 2013 e assinale a alternativa correspondente. Para simplificar os
cálculos, considere os valores de x = 0,1,2 e 3 para os anos 2010, 2011, 2012 e 2013,
respectivamente.
JUSTIFICATIVA 
Como estamos ajustando os dados a uma parábola, precisamos definir a , a e a , de modo
que: 
A partir dos dados fornecidos, podemos calcular: 
Com o conjunto de equações definidas no livro base, podemos escrever:
Matricialmente, temos:
Resolvendo o sistema por eliminação de Gauss, chega-se ao vetor solução:
3.
9420 pessoas.a.
8000 pessoas.b.
7500 pessoas.c.
8475 pessoas.d.
9750 pessoas.e.
0 1 2
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Substituindo os valores:
y(x) = 4350-5375x + 2250x
Por fim, podemos estimar o total de pessoas infectadas em 2013:
y(3) = 4350 - 5375(3) + 2250(3) = 8475
2
2
(1.4 pontos) A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove homens
entre as idades de 25 e 29 anos, extraída ao acaso entre funcionários de uma empresa:
Altura (cm) 183 173 168 188 158 163 193 163 178
Peso (kg) 79 69 70 81 61 63 79 71 73
Ajuste uma parábola que descreva o comportamento da altura em função do peso
(altura=g(peso)) e estime a altura de um funcionário com 80kg.
JUSTIFICATIVA 
Como estamos ajustando os dados a uma parábola, precisamos definir a , a e a , de modo
que: 
y(x) = a + a x + a x
A partir dos dados fornecidos, podemos calcular:
Com o conjunto de equações definidas no livro base, podemos escrever: 
Matricialmente, temos: 
Resolvendo o sistema por eliminação de Gauss, chega-se ao vetor solução:
4.
f(80) = 180 cm.a.
f(80) = 190 cm.b.
f(80) = 178 cm.c.
f(80) = 170 cm.d.
f(80) = 188 cm.e.
0 1 2
0 1 2
2
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Substituindo os valores: 
y(x) = 247.4193 - 3.7130x + 0.0372x
Por fim, podemos estimar a altura de um funcionário que pesa 80kg:
y(80) = 247.4193 - 3.713(80) + 0.0372(80) ≅ 188cm
2
2
(1.4 pontos) A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove homens
entre as idades de 25 e 29 anos, extraída ao acaso entre funcionários de uma empresa:
Altura (cm) 183 173 168 188 158 163 193 163 178
Peso (kg) 79 69 70 81 61 63 79 71 73
Ajuste uma parábola que descreva o comportamento da altura em função do peso
(altura=g(peso)) e estime a altura de um funcionário com 60kg.
JUSTIFICATIVA 
Como estamos ajustando os dados a uma parábola, precisamos definir a , a e a , de modo
que: 
y(x) = a + a x + a x
A partir dos dados fornecidos, podemos calcular: 
Com o conjunto de equações definidas no livro base, podemos escrever:
Matricialmente, temos: 
Resolvendo o sistema por eliminação de Gauss, chega-se ao vetor solução:
5.
f(80) = 180 cm.a.
f(80) = 190 cm.b.
f(80) = 178 cm.c.
f(80) = 170 cm.d.
f(80) = 159 cm.e.
0 1 2
0 1 2
2
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y(x) = 247.4193 - 3.7130x + 0.0372x 
Por fim, podemos estimar a altura de um funcionário que pesa 60kg:
y(80) = 247.4193 - 3.713(60) + 0.0372(60) ≅ 159cm
2
2
(1.4 pontos) Ajuste os dados da tabela abaixo pelo método dos mínimos quadrados por
uma reta e assinale a alternativa correta. Estime x = 5.
x 0 1 2 3 4
f(x) 27 42 60 87 127
JUSTIFICATIVA 
Com os dados da tabela, podemos calcular os seguintes termos:
Para a reta, precisamos definir a , e a , de modo que: y(x) = a + a x 
Matricialmente: 
Resolvendo o sistema, chega-se ao vetor solução:
Substituindo os valores na equação da reta:
y(x) = 19.6 + 24.5x 
O valor estimado para x = 5 fica, então, definido:
y(5) = 19.6 + 24.5(5) ≅ 142
6.
f(5) = 150a.
f(5) = 148b.
f(5) = 142c.
f(5) = 160d.
f(5) = 155e.
0 1 0 1
(1.4 pontos) Ajuste os dados da tabela abaixo pelo método dos mínimos quadrados por
uma parábola e assinale a alternativa correta. Estime x = 5.
x 0 1 2 3 4
f(x) 27 42 60 87 127
7.
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JUSTIFICATIVA 
Como estamos ajustando os dados a uma parábola, precisamos definir a , a e a , de modo
que:
y(x) = a + a x + a x
A partir dos dados fornecidos, podemos calcular:
Com o conjunto de equações definidas no livro base, podemos escrever:
Matricialmente, temos: 
Resolvendo o sistema por eliminação de Gauss, chega-se ao vetor solução:
Substituindo os valores: 
y(x) = 28.0286 + 7.6429x + 4.2143x 
Por fim, podemos estimar x = 5. 
y(5) = 28.0286 + 7.6429(5) + 4.2143(5) ≅ 172
f(5) = 172a.
f(5) = 152b.
f(5) = 144c.
f(5) = 169d.
f(5) = 180e.
0 1 2
0 1 2
2
2
2