Álgebra III - Recuperação da Primeira Avaliação

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Recuperac¸a˜o da Primeira avaliac¸a˜o;Entregar dia 23/10/2019
A´lgebra III - Licenciatura em Matema´tica - Vitor
1. a) Defina grupo.
b) Defina subgrupo.
c) Mostre que R munido da operac¸a˜o ∗ dada por x ∗ y = 3√x3 + y3 e´ um grupo abeliano.
d) Construa a ta´bua de operac¸o˜es de um grupo G = {e, a, b, c, d, f}, de ordem 6 e operac¸a˜o ∗,
sabendo que:
• G e´ abeliano
• O elemento neutro e´ e.
• a ∗ d = b ∗ c = f
• a ∗ c = b ∗ b = d
• a ∗ f = b ∗ d = e
• c ∗ d = a
e) Seja G um grupo finito e e seu elemento neutro. Mostre que para todo x ∈ G existe inteiro
n ≥ 1 tal que xn = x−1.
f) Verifique se os seguintes conjuntos sa˜o subgrupos do grupo multiplicativo R∗ = R \ {0}
• A = {a + b√2 : a, b ∈ Q}
• B = {a + b 3√2 : a, b ∈ Q}
g) Quais dos seguintes subconjuntos de Z13 sa˜o grupos em relac¸a˜o a` multiplicac¸a˜o?
• {1¯, 1¯2}
• {1¯, 2¯, 3¯, 4¯, 6¯, 8¯, 1¯0, 1¯2}
• {1¯, 5¯, 8¯, 1¯2}
h) Dado um grupo G e um elemento x ∈ G, defina CG(x) o centralizador de x em G. Mostre
que CG(x) e´ subgrupo de G.
i) Defina subgrupo normal.
2. a) Descreva os elementos do grupo S3 das permutac¸o˜es do conjunto {1, 2, 3} e escreva a ta´bua
de operac¸a˜o deste conjunto.
b) Determine as classes de conjugac¸a˜o de cada elemento de S3.
c) Mostre que H = {f ∈ S3 : f(1) = 1} e´ um subgrupo de S3.
d) O subgrupo H definido no item anterior e´ normal em S3?
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3. a) Descreva os elementos do grupo D4 diedral de ordem 4 e a ta´bua de operac¸o˜es desse grupo.
b) Determine as classes de conjugac¸a˜o de cada elemento de D4.
c) Determine o centro de D4
d) Determine o centralizador de cada elemento de D4
e) Determine todos os Subgrupos de D4.
4. Enuncie e demonstre o Teorema de Lagrange.
5. Seja G um grupo e sejam a, b ∈ G diferentes da identidade e tais que:
a5 = e e aba−1 = b2
Prove que H = 〈b〉 = {bn;n ∈ Z} possui 31 elementos.
6. a) Defina homomorfismo de grupos e nu´cleo de um homomorfismo.
b) Mostre que o nu´cleo de um homomorfismo e´ subgrupo normal do domı´nio do homomorfismo
c) Mostre que a imagem de um homomorfismo e´ subgrupo do contradomı´nio do homomorfismo.
d) Descreva os poss´ıveis homomorfismos de S3 em D4.
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